多視角切入 擇方法妙解
——談2021年新高考Ⅰ卷第19題

楊偉達(dá)

(廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510800)

縱覽2021年高考數(shù)學(xué)卷，細(xì)細(xì)品讀，一道新高考Ⅰ卷第19題解三角形試題引起筆者的注意，冥思苦想的解答過程，感受著不一樣的數(shù)學(xué)味道.

1 展示考題，綻放別樣的解法

題目(2021年新高考Ⅰ卷19)如圖1，記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

圖1

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析主要考查三角形正、余弦定理的綜合運(yùn)用.第(1)問與傳統(tǒng)設(shè)問不同，依托已知條件，要么從正弦定理入手，要么作輔助線入手，利用三角形相似即可；第(2)問設(shè)問常規(guī)，方法較多，入口容易.要么列方程組，利用余弦定理，要么利用三角形相似找到邊角關(guān)系等即可.

1.1 第(1)問解析

解法1(邊角互化公式)由正弦定理，得

b=2RsinB,c=2RsinC.

代入BDsin∠ABC=asinC,得BD·b=ac，且b2=ac,所以BD=b.

解法3(三角形相似)如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

圖2

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以sin∠BDA=sin∠ABC.

經(jīng)檢驗(yàn)，若∠ABC,∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角時(shí)，則AD

所以∠BDA=∠ABC(同為銳角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以b·BD=ac且b2=ac,

所以BD=b.

解法4(正弦定理公式)如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC.

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，∠ABC,∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角或同為鈍角時(shí)，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA(同為銳角)，∠ABD=∠C.

所以b·BD=ac且b2=ac,

所以BD=b.

1.2 第(2)問解析

①

②

因?yàn)閎2=ac,

③

由①②③,得6a2-11ac+3c2=0.

即9b2=c2+4a2+4accos∠ABC

④

⑤

因?yàn)閎2=ac,

⑥

由④⑤⑥,得6a2-11ac+3c2=0.

下面部分與解法1后面部分相同.

若∠B為鈍角，b為最大，與b2=ac矛盾，舍去.

因?yàn)锽H=BDsin∠BDA=ainC,

又因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，若∠ABC,∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角時(shí)，則AD

所以∠ABC=∠BDA(同為銳角)，∠ABD=∠C.

又因?yàn)椤螦BC=∠BDA,BDsin∠ABC=asinC,

⑦

⑧

解法4(作輔助線)如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥AC交于點(diǎn)H，則BH=BDsin∠BDA=asinC.

因?yàn)锽Dsin∠ABC=asinC,

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

經(jīng)檢驗(yàn)，∠ABC,∠BDA為一個(gè)銳角一個(gè)鈍角或同為鈍角時(shí)，都與已知條件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA(同為銳角)，∠ABD=∠C.

下面部分有幾種思路：

(1)正弦定理+余弦定理.

(2)相似三角形+余弦定理.

所以∠ABC=∠BDA(銳角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

(3)相似三角形+方程組.

所以∠ABC=∠BDA(銳角)，∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

由三角形射影定理,得a=ccosB+bcosC,

⑨

bsinB=asinC.

⑩

2 解后反思，緊扣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

解三角形常常涉及到有關(guān)角度、長度、周長、面積等問題,主要運(yùn)用正、余弦定理，試題入手容易、難度不大，但在解題中用到的公式、定理多、變化大，對(duì)計(jì)算能力、思維能力的要求比較高，學(xué)生稍有不慎，就容易出錯(cuò).為改變這種“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的局面，學(xué)生必須做到：(1)要樹立做對(duì)的信心，對(duì)相關(guān)題目不能滿足會(huì)做，更不能滿足“似曾相識(shí)”；(2)對(duì)典型的例題、做過的高考題進(jìn)行分析總結(jié)，找出規(guī)律，掌握方法；(3)關(guān)注細(xì)節(jié)，對(duì)解題過程中暴露的問題精準(zhǔn)定位，弄清楚哪一個(gè)環(huán)節(jié)出問題，及時(shí)有效地解決.

新教材不再將《解三角形》作為一章，安排在人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)第六章向量應(yīng)用之后，成了一線教師對(duì)新教材新教學(xué)的熱門話題，其作用和地位是否減弱？今年新高考第19題的出現(xiàn)正好回答了一線教師的疑云，一切水落石出、煙消云散.具體如下：(1)題號(hào)順序靠后，以前是容易題，一般放在解答題的第17題，而這次安排在第19題；(2)題設(shè)條件全部用字母形式，設(shè)問的問法也不同.傳統(tǒng)的題設(shè)條件一般有數(shù)值表示，第一問常常是求角的大小(常常30°,45°,60°中取舍)或長度.

新高考新在哪？命題專家們結(jié)合《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》考查學(xué)生關(guān)鍵能力，緊緊圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做文章，走開放創(chuàng)新之路.目的是避免刷題、套路，改變相對(duì)固化的試題形式，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)、體驗(yàn)和探索數(shù)學(xué)問題的過程.

3 變式題組， 拓展主體框架體系

當(dāng)前有一種比較認(rèn)可的有效課堂，那就是變更條件、編寫變式題組，然后進(jìn)行題組化訓(xùn)練. 其目的是讓學(xué)生熟悉考試題型，在短時(shí)間內(nèi)記住題型的解題方法，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助.

3.1 變更題設(shè)條件，結(jié)論不變

變式1(2021年高考Ⅰ卷19改編)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c分別成等比數(shù)列，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式2(2021年高考Ⅰ卷19改編)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且它們分別成等比數(shù)列，點(diǎn)D在邊AC上，AC邊上的高為BDsin∠ABC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

變式3(2021年高考Ⅰ卷19改編)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，b2=λac(λ≠0為常數(shù))，點(diǎn)D在邊AC上，∠ABC=∠BDA.

(2)若AD=2DC時(shí)， 求cos∠ABC.

3.2 變更題設(shè)條件、結(jié)論

變式4(2021年高考Ⅰ卷19改編)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，點(diǎn)D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

(1)求證：b2=ac；

(2)若AD=λDC(λ為常數(shù))，BD=b，求cosC.

變式5(2021年高考Ⅰ卷19改編)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，a=3,c=2，點(diǎn)D在邊AC上，且邊AC上的高為bsin∠ABC.

(1)求AC的長度；

(2)若AD=2DC，求BD的長度.

4 鏈接高考，拓寬解題視野

鏈接高考，尋找似曾相識(shí)題，比對(duì)感悟，觸類旁通，歸納出一類題，形成一個(gè)系統(tǒng)塊，進(jìn)而拓寬解題視野.

圖3

(1)求BD的長；

(2)求△ABC的面積．