求三角函數中參數的取值范圍的幾種題型

田素偉

(上海市泥城中學 201300)

常考常新的三角函數問題，一直是高考的一個重點，近年來，數學高考中出現了一些重視基礎，考查能力的新型試題，特別是在三角函數中含參數的問題更是精彩紛呈，如何求這類三角函數中參數的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說明.

1 構造函數解不等式

例1已知實數a滿足sina2+sina>a2+a，則a的取值范圍是____.

解析將sina2+sina>a2+a變形為

sina2-a2>-(sina-a).

構造函數f(x)=sinx-x，

所以sina2-a2>-(sina-a)可化為

f(a2)>-f(a).

又因為f(-x)=sin(-x)-(-x)=-(sinx-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數.

所以f(-a)=-f(a).

所以f(a2)>f(-a).

由f′(x)=cosx-1≤0知，f(x)在R上為減函數.所以a2<-a.解得-1

所以a的取值范圍是-1

評析本題是通過觀察題中式子特征構造函數f(x)=sinx-x，然后利用函數的性質解不等式.

解析把eα-eβ=cosα-2cosβ變形為

eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ，

所以eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ可化為

f(α)=f(β)-cosβ.

因為f(x)=ex-cosx,則f′(x)=ex+sinx>0.

所以f(β)-f(α)=cosβ>0.

所以f(β)>f(α).所以β>α.

2 雙變量問題先確定主變量

解析由f(x)=x2021+x，顯然f(x)為奇函數，且單調遞增.

因為f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，

即f(msinθ)>f(m-1)恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

設t=sinθ,則t∈[0,1].

所以msinθ>m-1可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個變量m和t，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數.

設f(t)=mt-m+1,

(1)當m=0時,此時f(t)=1>0符合題意;

(2)當m≠0時,函數f(t)=mt-m+1是關于t的一次函數,

解得m<1且m≠0.

綜上可知,實數m的取值范圍是(-∞,1).

評析本題利用函數的性質轉化為關于兩個變量m和t的不等式，因為t的取值范圍已經確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉化為關于t的函數,一般情況下含兩個變量m和t的不等式，如果其中一個變量的取值范圍能確定，那么就以這個變量為主變量，另外一個變量作為參數.

3 利用函數單調性求解

評析本題是含參數的三角不等式的恒成立問題，不等式的恒成立問題一般轉化為函數的最值問題.一般方法是不等式同解變形為a>f(x)或者af(x)恒成立(有解)?a>fmax(x)(a>fmin(x))；a

4 利用換元轉化為函數問題

因為t=cosx+sinx，所以t2=(cosx+sinx)2.

所以sin2x=t2-1.

不等式2sin2x-a(sinx+cosx)≤0可化為

2(t2-1)-at≤0.

所以本題可轉化為

評析本題通過換元把三角問題轉化為給定區間上的不等式恒成立問題，再轉化為函數的最值問題.

5 數形結合求解

圖1