線圈在通電直導(dǎo)線旁平移過程中磁通量的變化量求解

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校 236652)

例1 如圖1所示，無限長絕緣直導(dǎo)線L通入的電流為I，與邊長為a的正△ABC線圈共面，且BC∥L，線圈沿其所在的平面按垂直于直導(dǎo)線的方向向上運(yùn)動(dòng).求從線圈頂點(diǎn)A剛接觸直導(dǎo)線L到BC邊離開直導(dǎo)線L的過程中，穿過正△ABC線圈磁通量的變化量.

圖1

上面這道題目是早前有老師在某個(gè)物理QQ群內(nèi)詢問的一個(gè)問題，我們嘗試分析一下可否求解.

△ABC線圈穿越通電直導(dǎo)線L某一時(shí)刻的情形如圖2所示，設(shè)此時(shí)頂點(diǎn)A到直導(dǎo)線L的距離為x，因?yàn)樵诰€圈按題目要求向上平移穿越通電直導(dǎo)線的過程中，其平移運(yùn)動(dòng)方向的變化不影響穿過線圈磁通量的變化量，所以，為便于分析，我們可以按線圈沿AB邊所在直線的方向平移進(jìn)行求解.

圖2

圖2中，線圈斜向上運(yùn)動(dòng)一個(gè)豎直微元距離dx達(dá)到△A′B′C′位置，由于通電直導(dǎo)線L上下兩側(cè)的磁場方向相反，所以，若取垂直紙面向外的方向?yàn)榇磐康恼较颍瓉硖幱凇鰽BC位置時(shí)穿過線圈的磁通量相比，線圈到達(dá)△A′B′C′位置后，穿過線圈磁通量的增量dΦ將等于穿過面S3的磁通量dΦ3減去分別穿過面S1和S2的磁通量dΦ1和dΦ2之和：

dΦ=dΦ3-(dΦ1+dΦ2)

dΦ1=S1B1

由于面S2和S3的縱向長度較大，不像S1那樣縱向長度是一段微元，而這兩個(gè)面上到通電直導(dǎo)線L距離不等的點(diǎn)磁場強(qiáng)度不等，所以無法用上述求解dΦ1的方法那樣去求解dΦ2和dΦ3.我們不妨將dx視為常量，采用定積分的方法來求解dΦ2和dΦ3.

如圖3所示，在面S3上到通電直導(dǎo)線L距離為y的位置取一段豎直寬度為dy的微元，則有：

圖3

這里ln0是一個(gè)沒有意義的數(shù)，求解將無法再繼續(xù)進(jìn)行下去.那么，問題出在何處？

圖4

解析無論是傾斜向上平移還是豎著向上平移，在△ABC線圈豎直向上運(yùn)動(dòng)同樣距離的過程中，穿過三角形線圈磁通量的變化量相同，所以，我們可讓線圈沿AB邊所在直線斜向上平移進(jìn)行求解.設(shè)平移過程中線圈在某一時(shí)刻的位置如圖5所示，此時(shí)三角形線圈的頂點(diǎn)A到通電直導(dǎo)線L的距離為x，接下來讓線圈向上平移一段微元距離dx(dx是線圈傾斜平移過程中在豎直方向運(yùn)動(dòng)的微元距離)，跟△ABC線圈原來所在位置相比，平移微元距離dx到達(dá)△A′B′C′位置之后，穿過線圈磁通量的變化量dΦ等于穿過面S2的磁通量dΦ2與穿過面S1的磁通量dΦ1之差：

圖5

dΦ=dΦ2-dΦ1

為表示dΦ2，將x和dx視為常量，在面S2上到線圈頂點(diǎn)A豎直距離為y處取一豎向微元dy，則有：

∴dΦ=dΦ2-dΦ1

運(yùn)用上述方法，我們可以對(duì)其它具有固定幾何形狀的平面狀線圈，在一條無限長通電直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場中沿確定方向平移運(yùn)動(dòng)確定距離過程中(平移過程中線圈的任何部位不觸碰通電直導(dǎo)線)，穿過線圈磁通量的變化量.