“以生為本”的“學(xué)問思辨行”高效課堂教學(xué)
——“立體幾何中的最值問題”教學(xué)案例及反思*

王小青 (江蘇省如皋中學(xué) 266500)

1 問題的提出——“學(xué)問思辨行”高效課堂的解讀

“學(xué)問思辨行”，其名稱出處于《禮記·中庸》(第20章)：“博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之……果能此道矣，雖愚必明，雖柔必強(qiáng).”其含義是說：廣泛地學(xué)習(xí)，詳細(xì)地詢問，謹(jǐn)慎地思考，明白地分辨，堅(jiān)定地踐行……果真能夠按照此法而行，即使愚笨也一定能夠變得聰明，即使柔弱也一定能夠變得強(qiáng)大．

課堂教學(xué)應(yīng)經(jīng)歷學(xué)、問、思、辨、行五個環(huán)節(jié)，組織教學(xué)突出“以生為本”，使五環(huán)中的每一環(huán)都既有傳承，更有創(chuàng)新；五個環(huán)節(jié)既互相獨(dú)立，又互相聯(lián)系，且環(huán)環(huán)相扣，逐環(huán)深入；先知后行，知行合一，循環(huán)遞升．

2 問題的解決――教學(xué)案例解讀

2.1 “立體幾何中的最值問題”的背景

學(xué)情分析 這是一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課，上課對象是江蘇省四星級高中選修物理、化學(xué)、生物的學(xué)生，學(xué)生基礎(chǔ)較好，思維活躍，有較強(qiáng)的表達(dá)能力．

教學(xué)內(nèi)容分析 課程標(biāo)準(zhǔn)指出，立體幾何的教學(xué)要遵循從整體到局部，從具體到抽象的原則，幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，能用向量方法解決空間距離問題和夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序．

2.2 “立體幾何中的最值問題”教學(xué)設(shè)計(jì)簡案

學(xué)習(xí)目標(biāo) 會用長度、角度、坐標(biāo)等數(shù)量刻畫運(yùn)動的點(diǎn)、線、面，會用運(yùn)動的觀點(diǎn)解決立體幾何中的角、距離、體積等的最值問題；通過對動點(diǎn)、動直線、動平面的探究，體會數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法在立體幾何中的應(yīng)用，提升觀察、發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力．

學(xué)習(xí)過程

學(xué)

自主研學(xué)，橫向發(fā)展如圖1，正方體

ABCD

-

A

B

C

D

的棱長為1，點(diǎn)

O

為線段

BD

的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)

P

在線段

CC

上．

圖1

(1)求異面直線

OP

與

BB

所成角的正切值的最小值；(2)求直線

OP

與平面

A

BD

所成角的正弦值的最小值和最大值．

問

質(zhì)疑問難，合作探究

問1：你是如何解決上述問題的？你有什么收獲與困惑？

問2：上述問題中為什么會有最值？如何求最值？

問3：你還能提出新問題并解決它嗎？

思

深思熟慮，縱向開掘

思1：把自己提出的問題寫下來并解決它，再解決小組內(nèi)其他同學(xué)提出的問題．

辨

窮理明辨，點(diǎn)撥啟悟

辨1：如何解決動點(diǎn)影響下的最值問題？

辨2：還有哪些因素可以影響目標(biāo)的最值？

行

學(xué)以致用，遷移生成

行1：課堂總結(jié).

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你會解決哪些問題？有哪些收獲體會？

行2：鏈接高考.

如圖2，四棱錐

P

-

ABCD

的底面為正方形，

PD

⊥底面

ABCD

．設(shè)平面

PAD

與平面

PBC

的交線為

l

．

圖2

(1)證明：

l

⊥平面

PDC

；(2)已知

PD

=

AD

=1，

Q

為

l

上的點(diǎn)，求

PB

與平面

QCD

所成角的正弦值的最大值．

2.3 “立體幾何中的最值問題”教學(xué)過程分析

2

.

3

.

1

學(xué)：自主研學(xué)，橫向發(fā)展

教學(xué)過程

投影學(xué)生例1的解答．請同學(xué)們自主閱讀投影上的解答，對比分析，再次完善自己的解答，并思考“問”中的問1和問2．

設(shè)計(jì)說明

(1)提前發(fā)給學(xué)生課前自學(xué)．(2)教師批閱時發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生完成得較好，有傳統(tǒng)方法和空間向量法.求解空間異面直線所成的角和直線與平面所成的角，學(xué)生已經(jīng)掌握了求解角的基本方法，基本了解刻畫動點(diǎn)的方法，從線段長度和點(diǎn)的坐標(biāo)入手，表示目標(biāo)角的最值，但是不少學(xué)生在求最值時遇到了困難．另外，大多數(shù)學(xué)生選擇的是空間向量法，對傳統(tǒng)方法有一種抗拒感．(3)學(xué)生自主訂正完善，找出存在的問題，獨(dú)立思考，小組討論，進(jìn)入第二個環(huán)節(jié)“問”．

2

.

3

.

2

問：質(zhì)疑問難，合作探究

教學(xué)過程

(1)學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘．(2)學(xué)生點(diǎn)評投影儀展示的解答，總結(jié)解題思路及其書寫的細(xì)節(jié)，然后介紹自己用傳統(tǒng)法求解的思路．(3)教師追問：上述問題中為什么會有最值？如何求最值？其他同學(xué)有沒有需要補(bǔ)充的？有沒有困惑需要解答？(4)生生互問：總結(jié)得出動點(diǎn)影響了目標(biāo)的最值，可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值，或者利用圖形的幾何性質(zhì)求最值．(5)師生一起總結(jié)：運(yùn)動的元素——動點(diǎn)；刻畫的方式——動點(diǎn)的坐標(biāo)；影響的目標(biāo)——空間角；目標(biāo)的最值——一元函數(shù)求最值

/

數(shù)形結(jié)合求最值．

設(shè)計(jì)說明

(1)對于例1的求解方法，學(xué)生存在兩類困惑——傳統(tǒng)方法與空間向量法的選擇和最值問題的處理．教師不是把批閱試卷中發(fā)現(xiàn)的問題拋給學(xué)生，而是讓學(xué)生通過獨(dú)立思考，小組合作探究，自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的解決方案，通過生生互問、教師追問等方式讓學(xué)生自主建構(gòu)解決此類問題的基本方法．(2)學(xué)生掌握了基本方法后，特別期待這些基本方法能否用于解決其他問題，在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生自己提出新問題并解決，此時學(xué)生探究欲望強(qiáng)烈，積極深入地思考，進(jìn)入第三個環(huán)節(jié)“思”．

2

.

3

.

3

思：深思熟慮，縱向開掘

教學(xué)過程

(1)在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，小組討論，合作學(xué)習(xí)，并將小組中研究的問題展示到黑板上．(2)學(xué)生針對圖1展示的問題有：二面角

D

-

OP

-

D

的余弦值；二面角

D

-

PB

-

C

的余弦值；

OP

+

PD

的最小值；

A

到

OP

距離的最小值；

P

到面

ABD

距離的最小值；

BD

和

OP

距離的最小值；三棱錐

P

-

A

BD

體積的最大值；三棱錐

P

-

A

BD

外接球半徑的取值范圍和內(nèi)切球半徑的取值范圍；若點(diǎn)

P

在

B

C

上運(yùn)動，求

OP

與面

A

BD

所成角的余弦值．(3)教師追問：同學(xué)們是怎么想到提出這些問題的？(4)生生互動：分享思考問題的角度，從空間角，空間距離，幾何體的體積、表面積、側(cè)面積，幾何體的外接球和內(nèi)切球的半徑等度量關(guān)系探究最值問題，也可以變化動點(diǎn)的位置來影響目標(biāo)最值，比如將點(diǎn)

P

改為在線段

B

C

上運(yùn)動；追問是怎么想到將點(diǎn)

P

移到線段

B

C

上運(yùn)動？小組代表分享思考的角度，點(diǎn)

P

在線段

CC

上運(yùn)動時，由正方體的對稱性，用圖形研究比較簡單，當(dāng)點(diǎn)

P

變換到線段

B

C

上運(yùn)動時，就不可以利用圖形對稱性求最值，這時候作圖又有難度，應(yīng)該優(yōu)先用建立坐標(biāo)系的方法求解；要探究四面體內(nèi)切球的半徑的最值，某個小組不會解，就讓其他小組分享解決問題的方法，利用內(nèi)切球的性質(zhì)，用等體積法，球心與四面體的每個面構(gòu)成四個小三棱錐，這四個小三棱錐的體積之和等于原來四面體的體積．

設(shè)計(jì)說明

(1)通過學(xué)生自主探究，小組合作，學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析并解決問題的過程，可以解決空間角，空間距離，空間幾何體的表面積、體積，內(nèi)切球與外接球等相關(guān)問題，會將目標(biāo)最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用圖形的幾何性質(zhì)求解．

在教學(xué)過程中教師再點(diǎn)撥，提出兩個問題．

思2：若動點(diǎn)

P

在正方形

BCC

B

內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動，且

D

P

∥平面

A

BD

，則

BP

的最小值為

．思3：若動點(diǎn)

P

在正方形

BCC

B

內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動，且則

BP

的最小值為

．學(xué)生獨(dú)立思考后可以發(fā)現(xiàn)，動點(diǎn)

P

是用線面平行的位置關(guān)系和距離的度量關(guān)系來刻畫的．

設(shè)計(jì)說明

通過這兩道思考題的解決，學(xué)生解決最值問題的面更寬了，影響最值問題的動點(diǎn)不僅可以用度量關(guān)系(長度、角度、距離等)刻畫，還可以從位置關(guān)系探尋動點(diǎn)的軌跡進(jìn)而求目標(biāo)的最值．學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、探索、追問、完善等過程，進(jìn)一步厘清了基本概念和基本方法，積累了基本活動經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)思維能力．此時，讓學(xué)生再靜下心來回顧剛才解決問題的過程，反思感悟，進(jìn)入下一個環(huán)節(jié)“辨”．

2

.

3

.

4

辨：窮理明辨，點(diǎn)撥啟悟

教學(xué)過程

(1)學(xué)生感悟提升，影響立體幾何中目標(biāo)最值的因素可以有很多，我們可以利用動點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長度、動點(diǎn)的軌跡等求目標(biāo)的最值．(2)師生共同進(jìn)行課堂總結(jié)：運(yùn)動的元素——動點(diǎn)、動直線、動平面；刻畫的方式——動點(diǎn)的坐標(biāo)、線段的長度、動點(diǎn)的軌跡；影響的目標(biāo)——空間角、空間距離、表面積、體積；目標(biāo)的最值——一元函數(shù)求最值

/

數(shù)形結(jié)合求最值．(3)教師追問：那你覺得空間內(nèi)，除了動點(diǎn)可以影響目標(biāo)的最值，還有其他的元素影響目標(biāo)的最值嗎？學(xué)生完善：還可以是運(yùn)動的直線、運(yùn)動的平面等等．(4)進(jìn)一步提出問題：類比今天課上研究的動點(diǎn)影響下的最值問題去探究動直線、動平面影響下的最值問題．

設(shè)計(jì)說明

通過靜心獨(dú)立思考、辨析、分析、研讀等，學(xué)生總結(jié)解決問題的基本方法，進(jìn)一步提出問題，為課后進(jìn)一步學(xué)習(xí)思考和下節(jié)課的學(xué)習(xí)指明方向．

2

.

3

.

5

行：學(xué)以致用，遷移生成

課堂檢測，及時反饋．

3 問題的思考——教學(xué)反思

3.1 “以生為本”高效課堂的起點(diǎn)是“學(xué)”

學(xué)即是博學(xué)，博學(xué)是在科學(xué)的教學(xué)目標(biāo)指引下的自主研學(xué)與獨(dú)自學(xué)習(xí)．課堂教學(xué)操作上，教師提前制定計(jì)劃和學(xué)習(xí)目標(biāo)，準(zhǔn)備學(xué)習(xí)的文本材料或問題．新授課教學(xué)中，學(xué)是在課堂上進(jìn)行，約5～10分鐘，對于基礎(chǔ)年級的復(fù)習(xí)課或習(xí)題課、高三的復(fù)習(xí)課，都是將學(xué)習(xí)內(nèi)容提前給學(xué)生，課堂上再給學(xué)生2～3分鐘的時間熟悉完善，準(zhǔn)備交流．學(xué)習(xí)方式由勤學(xué)、學(xué)會到善學(xué)，再到在教師目標(biāo)和計(jì)劃引領(lǐng)下的會學(xué)．“學(xué)”的目的是掌握必備知識，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，力求50%的學(xué)生通過自學(xué)掌握50%的知識．學(xué)生通過“學(xué)”的解決，體會立體幾何中最值問題的常見求解策略．

3.2 “以生為本”高效課堂的呈現(xiàn)是“問”

問即是審問，是在充分博學(xué)基礎(chǔ)上的高質(zhì)量的自問、互問與合作探究．課堂教學(xué)操作方面，教師要提前將學(xué)生分為4人一組，為每個小組選好組長．課堂教學(xué)中，首先全體學(xué)生在各自的小組內(nèi)審問或善問．此環(huán)節(jié)的操作方式為自問、互問、小組合作．常見的問題有：我解決了哪些問題？真正解決了嗎？有沒有更簡便的解法？我還有哪些問題沒有解決？小組合作探究后，還有什么問題沒有解決？“問”的目的是落實(shí)關(guān)鍵能力，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，力求70%的學(xué)生解決70%的問題．通過學(xué)生自問、生生互問、師生互問、教師追問等方式，讓學(xué)生掌握立體幾何中最值問題的求解策略．

3.3 “以生為本”高效課堂的深入是“思”

思即是慎思，是在質(zhì)疑、合作前提下的多維思考與深度領(lǐng)悟．課堂操作上，一是教師讓組長將各小組的問題進(jìn)行匯總，二是教師要根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容提前預(yù)設(shè)．課堂教學(xué)中，讓各小組展示問題，然后讓學(xué)生慎思、深思、參悟．此環(huán)節(jié)的操作方式為學(xué)生獨(dú)立思考，深思已解決的問題、慎思未解決的以及新產(chǎn)生的有價值的問題．“思”的目的是提升關(guān)鍵能力，體現(xiàn)綜合性，力求80%的學(xué)生解決80%的問題．學(xué)生在上述問題解決的基礎(chǔ)上，結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的立體幾何中的度量關(guān)系，提出新問題，思考并解決問題，將知識和方法在寬度和廣度上延伸．

3.4 “以生為本”高效課堂的關(guān)鍵是“辨”

辨即是明辨，是立足于展示與點(diǎn)評基礎(chǔ)上的思維碰撞與爭鳴．明辨、辨明，疑惑越辨越清，思想越辨越深，真理越辨越明．課堂操作中，教師要選擇部分學(xué)生的成果進(jìn)行投影，讓學(xué)生展示成果，總結(jié)提煉方法，其他小組學(xué)生提問、質(zhì)疑，全體學(xué)生在課堂上爭辯、分辨、再存疑．此環(huán)節(jié)的操作方式為小組內(nèi)生辯，或者班級內(nèi)部生辯或師辯.讓真知獲得認(rèn)同，將課堂推向深入，讓思維引入活水，使素養(yǎng)得到提升．“辨”的目的是落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)，體現(xiàn)創(chuàng)新性，力求90%的學(xué)生解決90%的問題．學(xué)生展示后，通過追問學(xué)生為什么想到提出這些問題？提出這些問題時的思考角度有哪些？又是如何解決這些問題的？在學(xué)生與學(xué)生、教師與學(xué)生的互辯中，引領(lǐng)學(xué)生拓展思維．

3.5 “以生為本”的高效課堂的指向是“行”

行即是篤行，是立足于檢測反饋基礎(chǔ)上核心價值的落實(shí)與踐行．課堂操作中，教師提前根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)檢測問題．課堂教學(xué)中，總結(jié)和當(dāng)堂檢測．此環(huán)節(jié)的操作方式為學(xué)生獨(dú)立總結(jié)或解決問題．問題一是來自教師課前預(yù)設(shè)；二是課堂上學(xué)生在“問”的環(huán)節(jié)未解決的1～2個問題．在時間上做到課上與課后融為一體．“行”的目的是落實(shí)核心價值，體現(xiàn)應(yīng)用性，力求95%的學(xué)生掌握95%的問題．在上述問題解決的基礎(chǔ)上，學(xué)生再反思立體幾何中的最值問題，掌握基本方法，進(jìn)一步有更深層次的認(rèn)識．

“學(xué)問思辨行”高效課堂模型是傳承和發(fā)展傳統(tǒng)教學(xué)思想、回歸教學(xué)本真的一種教學(xué)模式，堅(jiān)持以學(xué)生為中心、教師為主導(dǎo)、問題串為載體，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的教育思想與新高考評價的核心理念，是一種科學(xué)高效的課堂教學(xué)模型．