逐階自我訓練 提升數學教師質疑水平

葉新和 (江蘇省泰州醫藥高新區(高港區)教育局 225300)

陳 鋒 (江蘇省無錫市太湖格致中學 214125)

1 問題的提出

《義務教育數學課程標準(2011年版)》以及《普通高中數學課程標準(2017年版)》都在課程目標中提出：通過數學學習，學生能增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．然而現實情況并不理想，人大復印資料《初中數學教與學》2020年第4期(專題：問題提出能力研究)的“編者按”指出：通過各類測評和調研發現，學生發現和提出問題的能力相對薄弱，而且很多教師對于引導學生從數學角度提出問題也缺乏有效的策略．

筆者以為，之所以出現上述情況，主要原因在于教師自身質疑能力不夠．要有效改變現狀，首先要從提升教師自身質疑水平做起．

2022年2月19日，筆者登錄“中國國家圖書館”讀者門戶云平臺，在“期刊”欄選擇“中國人民大學復印報刊資料”進行“高級搜索”：“數據庫”選擇“全文數據庫”，“時間”選擇“1995—2021”，“學科分類”選擇“全選”，“關鍵詞”為“質疑”并且“教師”，在“精確”與“模糊”中選擇“模糊”，得到592條搜索結果，其中有4條與培養學生質疑能力有關，有1條部分內容對培養政治教師的質疑能力有所啟迪，不過難以遷移．在中國知網選擇“核心期刊”進行搜索，沒有搜索到涉及教師自身質疑能力培養的文獻．

看來對數學教師自身質疑能力的關注與培養目前可能是空白．通過一定訓練不斷提升數學教師自身的質疑水平雖然難度較大但既有價值也很必要．

2 進階訓練的探索

筆者試圖從“內化”與“生長”兩個角度來探索進階訓練的方法．“內化”指消化、吸收外界信息，結合到已有認知結構中．“生長”指觀點、思路等由自身萌芽、發展而來．建構主義認為，學習過程是學生自己主動建構知識的過程．在新知識的學習中，學生往往基于以往經驗去推出合乎邏輯的假設，新知識是以已有知識經驗為生長點而“生長”起來的．學習者在消化吸收或者在主動建構時可能遇到矛盾信息或者產生困難，此時如能進行審視與反思，產生的疑惑得以確認便會萌發“質疑”意識，在有意識訓練中會不斷發展“質疑”能力．

2.1 初級水平進階訓練

具備一定的質疑意識為初級水平，其表現為：對遇到的部分情境或者事情，會就其中的某個環節或者某個方面表示疑惑或者質疑，能夠說出自己之所以有這樣感覺的原因或者部分理由．可試從以下方面進行訓練．

(1)閱讀、學習商榷類文獻

在中國知網“學術期刊”中“主題”選擇“問題商榷”，“學科”選擇“中等教育”進行搜索，可得到諸多文獻，仔細閱讀、感受進而形成質疑意識．

(2)對試題及其解答進行質疑

不妨從質疑中考試題、教材例習題開始．日常教研中發現很多一線教師認為中考試題不會有科學性問題，更是從未懷疑過教材中例習題會有問題，但實際上存在“千慮一失”的可能性．一旦教師發現有文獻指出或者自行發現其中存在問題，那么其思想上受到的沖擊會比較大，容易逐步樹立質疑的意識．

對于具體試題而言，試題是否科學、答案是否正確、解法是否簡潔客觀性比較強，容易形成共識，可以從這些角度來進行質疑以提升數學教師自身質疑意識．

案例1

以下內容選自某教材，試加以質疑．

1)例題：2007年10月24日，我國成功發射“嫦娥1號”探月衛星，經繞地調相軌道、地月轉移軌道飛行后，“嫦娥1號”于11月7日順利進入繞月工作軌道，共飛行326 h，行程約1 800 000 km，其中在地月轉移軌道飛行了436 600 km．試用科學記數法表示這兩個行程．解：1 800 000 km=1.8×10km， 436 600 km=4.366×10km．

2)練習：用科學記數法表示下數：地球的半徑大約為6 400 km．習題：用科學記數法表示下數：同步衛星在赤道上空大約36 000 000 m．教師用書中相應答案分別為6.4×10km,3.6×10．

分析 根據教材定義“一個大于10的數可以寫成

a

×10的形式，其中1≤

a

<10，

n

是正整數，這種記數法稱為科學記數法”可知科學記數法表示的是“數”．“行程”是“量”，不是“數”，“用科學記數法表示行程”說法欠妥，建議修改為“試用科學記數法表示1 800 000,436 600”，解答過程為： 1 800 000=1.8×10，436 600=4.366×10．練習答案應該將單位去掉，為6.4×10．習題答案正確．

2.2 中級水平進階訓練

具備一定的質疑能力視為中級水平，通常表現為：對遇到的部分情境或者事情，會對其中的某些環節或者某些方面表示質疑，能從邏輯角度利用推理(包括合情推理)的方式說出原因或者理由．可試從以下方面進行訓練：

(1)學習邏輯方面的有關知識、方法

閱讀入門類著作,如楊樹森編著的《普通邏輯學》(第四版)，并努力應用于審視日常生活中的行為、觀念等．

案例2

以下內容選自某教育專著，試判斷表述是否符合邏輯．

1)教師的工作不是傳授知識，也不是促進學習，而是為學生營造有效的學習環境．有效學習環境的關鍵特征是，它們能讓學生參與進來，讓教師、學習者及其同伴確保學習朝著預期的方向進行．

2)本章提供了一些教師可用的向學生提供促進學習的反饋的實用技術．

分析 “不是促進學習，而是為學生營造有效的學習環境”，表述自相矛盾．作者認為“有效學習環境”能夠“確保學習朝著預期的方向進行”，這表明“營造有效的學習環境”(手段)能夠“促進學習”(目的)．

“教師給學生提供促進學習的反饋”，這與“教師的工作不是促進學習”相矛盾．

“教師的工作不是傳授知識，也不是促進學習”與事實矛盾．實際上傳授知識、促進學習都應該是教師的工作，只不過后者更加重要．

(2)評價權威試題的編擬

對權威試題的編擬進行評價，主觀性比較強，要提出令人信服的不同看法甚至加以否定，難度往往會比較大，評價者的質疑水平通常要比較高．評價的角度可以有多個．如果是中考試題，那么可從試題的信度、效度、難度、導向作用等角度來進行評價．如用于教學，則要站在學生立場來評價，如例習題的編寫安排是否符合學生的認知規律、解答所需要的數學“四基”是否超出學生的接受能力，等等．

案例3

以下為某九年級教材中的例題及解答，試進行質疑．

例題：如圖1，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面積(結果保留小數點后兩位)．

圖1 圖2

解：如圖2，連結

OA

,

OB

，作弦

AB

的垂直平分線，垂足為

D

，交弧

AB

于點

C

，連結

AC

．因為

OC

=0.6 m，

DC

=0.3 m，所以

OD

=

OC

-

DC

=0.3 m，故

OD

=

DC

．又

AD

⊥

DC

，所以

AD

是線段

OC

的垂直平分線，故

AC

=

AO

=

OC

．從而∠

AOD

=60°，∠

AOB

=120°．因此，有水部分的面積分析 水面是平面，“水面高”指水面和與之平行的參考平面間的距離，距離的確定要應用立體幾何有關知識，這已超出九年級學生的接受能力．題目中僅告知“水平放置”，未指明參考平面，故線段

CD

長未必等于水面高，建議將“水面高”改為“水的最大深度”，解答時進行必要說明．

案例4

以下內容選自某七年級教材與教師用書，試對試題及解答進行質疑．

試題：桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻轉2只，能否經過若干次翻轉使這3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使這7只杯子的杯口全部朝下？如果用“+1”“-1”分別表示杯口“朝上”“朝下”，你能用有理數的運算說明理由嗎？

答案：設杯口朝上記為“正”，3只杯口朝上的茶杯記為+1，+1，+1，這3個數的乘積為+1．每翻轉2只杯子，即改變3個數中2個的符號，這3個數的乘積仍為+1.所以，3只杯口朝上的杯子，每次翻轉2只，不能使杯口都朝下；7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，可以經過若干次翻轉使杯口全部朝下．

分析 “每翻轉2只杯子，即改變3個數中2個的符號”，對此表述學生感到難以理解：“翻2只杯子”跟“改變2個數的符號”有什么關系？這需要分為兩步來理解．

首先要理解茶杯翻轉效果：翻轉1次茶杯，相當于將表示杯口方向的數進行1次乘以-1的運算．或許可以這樣來幫助學生理解：翻轉1次茶杯，“杯口朝向”發生了改變，對應地，數

a

乘以-1得到其相反數-

a

．翻轉奇數次，杯口朝向發生改變；翻轉偶數次，杯口朝向不變．相對應地，(-1)2+1結果為 -1，(-1)2結果為+1．其次要理解乘法原理,原理內容可借助實例來理解．因為關注的是“所有杯口的朝向”，改變其中一只的朝向只是完成任務的一個步驟，要應用乘法原理來解決,這樣，“1次翻轉2只杯子”看成是其中的2個數同時乘以-1，或者說“改變其中2個的符號”．

基于上述分析，筆者以為試題的解答是超出七年級學生接受能力的．

用“+1”表示杯口“朝上”時“朝下”用“-1”表示，這是需要推理的，編者直接給出，其意圖可能是為減少學生理解難度，不過因為沒有揭示出翻轉茶杯的效果，意圖難以達成.也許可做如下修改：如果用“+1”表示杯口“朝上”，翻轉一次茶杯相當于將表示杯口的數乘以-1，你能用有理數的乘法運算說明理由嗎?

2.3 高級水平進階訓練

當質疑成為思維方式時，往往意味著質疑能力已達到高級水平，可從廣度、深度層面進行描述：對所遇到的事情或者情境，習慣于找出行為背后隱含的假設或者觀念，習慣于審視之后再接受或者反對，有足夠證據來支撐自己觀點．可試從以下方面進行訓練：

(1)學習系統思維、辯證思維等有關論著，如《思維力：高效的系統思維》(王世民)、《哲學思維方式與領導工作方法》(韓慶祥等)，自覺用于審視日常教育教學、教科研中行為、觀念以及背后隱藏的假設，等等．

(2)對教材內容的編寫提出自己的不同看法，并努力提供比較充分的理由或者證據．對教材內容的編寫進行質疑，主要從是否超出學生的接受能力、是否符合學生的認知規律、能否更好地突顯學科育人價值、能否改進與優化等方面思考．

案例5

以下為某版本教材中“平方根”主要內容，試進行質疑與修改．

第1課時：

(1)情境：試計算小方格紙中線段

AB

,

A

′

B

′的長.提出問題：研究當

x

=

a

時，

x

是什么數？(2)探索活動.(3)引入平方根定義與表示.(4)探索平方根的特征.(5)例題教學，例1：求一個正數的平方根．

第2課時：

(1)算術平方根定義.(2)例題教學，例2：求正數的算術平方根；例3：判斷含根號的式子是否有意義；例4：解決簡單的實際問題．

分析 此處內容的編排給人感覺在牽著學生鼻子走：在學生經驗中線段長只能是正數，而正數的平方根有一正一負兩個．利用線段長作為平方根情境，這與學生已有經驗不一致，接受會有難度．當學生調節已有認知結構剛接受平方根知識時，接著學習算術平方根，回到結果是一個的情形，又要再次調整認知結構．此時再看情境，難免認為“平方根”定義與特征的學習是多此一舉．

計算器上沒有平方根按鍵，只有算術平方根按鍵，這說明比更為重要．正數

a

的平方根中一個是另一個為其相反數看來可由生成據此對學習內容的呈現順序可做調整：根據情境引出算術平方根概念，接著探索算術平方根特征，最后“根據互為相反數的兩數平方相等”，將平方根知識轉化為算術平方根來處理．文[10]提供了一種設計，供讀者批評參考．

案例6

試將案例4中“翻茶杯”問題修改為數學活動素材以體現學科育人價值．

分析 從“學科育人”角度看，學生不斷在操作中試著用數學的眼光來觀察、用數學的思維來思考、用數學的語言來表達，從而逐步發展學科關鍵能力、提升學科核心素養．試提供一種活動素材如下：

(1)7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使這7只杯子的杯口全部朝下?如能，提供一種翻轉方法．

(2)桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻轉2只，能否經過若干次翻轉使這3只杯子的杯口全部朝下?如果不能，試說明理由．

(3)如果杯子為7只，每次翻轉2只呢？

(4)如果杯子只數為奇數，每次翻轉2只，你有何猜測？試說明你的猜測是正確的．

(5)如果杯子只數為7數，每次翻轉4只，你有何猜測？試說明你的猜測是正確的．

(6)如果杯子只數為奇數

m

，每次翻轉

n

只(其中

m

>

n

，

n

為偶數)，你有何猜測？你能夠說明猜測是正確的嗎?(7)如果杯子只數為

m

，每次翻轉

n

只(其中

m

,

n

為正整數，

m

>

n

)，你能夠提出數學問題嗎？

第(2)問可以通過試驗得解：最初狀態為“3上”，第1次翻轉后為“2下、1上”，此時無論選擇哪2只翻轉，要么是回到“3上”狀態，要么還是“2下、1上”狀態，均為無效翻轉，因此不可能變成“3下”情況．

第(3)問中杯子個數較多，再用試驗的方法解答會比較繁瑣.引導學生回顧、分析第(2)問中試驗，發現不考慮茶杯位置影響時有兩種無效翻轉：一是將杯口分別朝上、朝下的茶杯各翻轉1次；二是將杯口方向相同的茶杯翻轉2次．利用該結論可以比較簡便地解答第(3)問：翻轉3次后為“6下、1上”，此時選擇“1下、1上”或者“2下”進行翻轉都是無效翻轉，所以不可能全部朝下．該思路可用于解答 問題(4)．

當一次翻轉4只茶杯時，進行第二次翻轉便需要分類討論，第(5)問用試驗的方法會不勝其繁．仍然回顧、分析問題(2)中翻轉，研究翻轉次數可以發現：杯口要改變朝向，每只茶杯要翻轉奇數次，3個奇數相加，和仍然為奇數．每次翻轉2只，翻轉正整數次，翻轉總次數均為偶數．由于偶數不可能等于奇數，因此不可能杯口全部朝下．該思路考慮的是必要條件，必要條件滿足不了，當然無法完成要求，由于沒有考慮充分條件因此顯得比較簡潔．在不斷翻轉中繼續引導學生觀察、體會，發現翻轉1次茶杯，其效果相當于將表示杯口方向的數乘以-1，在此基礎上再讓學生理解用有理數乘法運算解答的思路會容易些．這兩種思路都容易遷移用于解決問題(6)．

3 說明與建議

(1)提升質疑水平，重要的是多學習、多運用．要盡可能多閱讀經典著作或者權威文獻，以盡快形成自身正確的認知結構和完善的思維方式．運用時可以選擇熟悉的內容進行，還要重視對自身的質疑．要努力尋找出隱含在行為背后的假設再質疑．因為觀念決定行為，不少時候審視行為背后隱藏的假設往往能夠發現問題．

(2)形成質疑習慣，養成質疑的思維方式，意味著不被表象所迷惑或者誤導，對于外界信息會進行符合邏輯的判斷與推理，形成正確的、深刻的認識．既不要為質疑而質疑，也不要滿足于質疑，對于發現的問題要努力提出建設性解決辦法，以有效提升自身能力的同時具有較好的應用價值．

(3)提升教師自身質疑能力主要意圖是培養學生發現問題能力．學生自己發現和提出問題是創新的基礎，教學中要指向學生創新意識的培養，為國家培養具有創新精神的人才．

(4)筆者試圖提供有效訓練思路，對涉及的教材內容也盡可能給出改進建議．思路適用性如何，建議是否妥當，歡迎讀者質疑．此外，是否有其他有效訓練方法，感興趣者可以繼續研究．