基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ的主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方法研究

趙鑫，劉曉勇，蘇鐵熊，任日娜，郭亞新

(1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.中北大學(xué)能源動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051；3.中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051；4.蜂巢能源科技有限公司，河北 保定 071000)

在我國(guó)碳達(dá)峰和節(jié)能減排的發(fā)展背景下，高功率密度是新時(shí)期動(dòng)力發(fā)展的必然趨勢(shì)[1]。相比于傳統(tǒng)柴油機(jī)，高功率密度柴油機(jī)具有高緊湊性、高燃燒壓力及高轉(zhuǎn)速等特點(diǎn)[2-5]。主軸承組合結(jié)構(gòu)作為柴油機(jī)最重要的主承力結(jié)構(gòu)之一，隨著柴油機(jī)功率密度的提升，其所受各項(xiàng)工作載荷大幅增加，導(dǎo)致曲軸與主軸承耦合變形增加，軸承副邊緣接觸應(yīng)力增加。此外，由于主軸承組合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)空間的限制，高工作載荷下其典型零部件的部分區(qū)域易產(chǎn)生強(qiáng)度失效。這些可靠性問題直接影響著柴油機(jī)主軸承組合結(jié)構(gòu)的工作狀況。

為了提高主軸承組合結(jié)構(gòu)的可靠性，研究人員以強(qiáng)度、剛度等作為目標(biāo)，對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)性設(shè)計(jì)開展了大量的研究。吳斌輝[6]建立了曲軸、機(jī)體的有限元模型，分析了主軸承在預(yù)緊工況、過盈工況、潤(rùn)滑油膜載荷工況下的剛度情況，并歸納了不同參數(shù)對(duì)主軸承截面失圓度和多個(gè)主軸承整體協(xié)調(diào)變形的影響規(guī)律。但該研究?jī)H針對(duì)剛度進(jìn)行研究,沒有考慮強(qiáng)度及接觸強(qiáng)度等可靠性，并且研究中僅考慮了主軸承單個(gè)部件的變形，沒考慮各部件間的變形協(xié)調(diào)。關(guān)志偉、蘇鐵熊等[7]以某V型柴油機(jī)作為研究對(duì)象，揭示了預(yù)緊工況和最大主軸承載荷工況下典型設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度的影響規(guī)律，并提出了該機(jī)型的改進(jìn)結(jié)構(gòu)。雖然該研究討論了主軸承組合結(jié)構(gòu)多方面可靠性的影響規(guī)律，但僅依據(jù)影響規(guī)律通過參數(shù)優(yōu)選初步地提出了改進(jìn)方案，沒有形成系統(tǒng)科學(xué)的主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方法。

針對(duì)上述問題，本研究以主軸承組合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、接觸強(qiáng)度及質(zhì)量作為匹配目標(biāo)，制定各匹配目標(biāo)的協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，基于改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行主軸承組合的協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)，以期形成科學(xué)完善的主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方法，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)性設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

主軸承組合結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)是指基于協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，通過引入多目標(biāo)優(yōu)化理論對(duì)組合結(jié)構(gòu)各方面協(xié)調(diào)性進(jìn)行優(yōu)化匹配的設(shè)計(jì)方法，使主軸承組合結(jié)構(gòu)在外界載荷的作用下呈現(xiàn)強(qiáng)度協(xié)調(diào)(機(jī)體和主軸承蓋強(qiáng)度安全系數(shù)提高)、變形協(xié)調(diào)(主軸瓦變形減小)、接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)(考察接觸面接觸強(qiáng)度安全系數(shù)高)且質(zhì)量協(xié)調(diào)(質(zhì)量可控)的綜合最優(yōu)狀態(tài)。

基于研究人員前期對(duì)組合結(jié)構(gòu)響應(yīng)協(xié)調(diào)評(píng)價(jià)體系的研究[8]，歸納主軸承組合結(jié)構(gòu)的協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則如下。

1.1 強(qiáng)度協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

強(qiáng)度協(xié)調(diào)性是指主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中強(qiáng)度可靠性的好壞程度。主軸承組合結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性的主要考察部件是機(jī)體與主軸承蓋。強(qiáng)度協(xié)調(diào)性的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為：1)各部件強(qiáng)度安全系數(shù)高于許用最小安全系數(shù)的限值，即強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求；2)在強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，考察部件強(qiáng)度安全系數(shù)，其值越高，組合結(jié)構(gòu)強(qiáng)度協(xié)調(diào)性越優(yōu)。強(qiáng)度協(xié)調(diào)性采用強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)可通過部件的強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子體現(xiàn)。

1.1.1 強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子

強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子表征的是部件的強(qiáng)度裕度，采用部件的最小安全系數(shù)與安全系數(shù)限值比值的對(duì)數(shù)進(jìn)行定義。當(dāng)組合結(jié)構(gòu)第i個(gè)部件的強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子ξi>0時(shí)，該部件的強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求。強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子越大，該部件的強(qiáng)度裕度越優(yōu)。強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子ξi的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(1)

式中：S,D,M分別為結(jié)構(gòu)、載荷和材料性能參數(shù)(以下未經(jīng)特別說明，S,D,M的代表含義不變)；FOSi為組合結(jié)構(gòu)中第i個(gè)部件的最小安全系數(shù)；FOSref,i為第i個(gè)部件安全系數(shù)限值，為常數(shù)。

1.1.2 強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)

強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)是主軸承組合結(jié)構(gòu)強(qiáng)度協(xié)調(diào)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用各部件強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子的加權(quán)和進(jìn)行定義。強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)越大，組合結(jié)構(gòu)整體強(qiáng)度協(xié)調(diào)性越優(yōu)。強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)Δξ的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(2)

1.2 變形協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

變形協(xié)調(diào)性是指主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中剛度可靠性的好壞程度。主軸承組合結(jié)構(gòu)靜剛度主要關(guān)注主軸瓦的失圓變形。變形協(xié)調(diào)性的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為：1)各部件的最大變形量低于該部件最大變形量的限值，即部件的剛度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求；2)在剛度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，考察部件最大變形量，其值越小，組合結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)性越優(yōu)。變形協(xié)調(diào)性采用變形協(xié)調(diào)性系數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，變形協(xié)調(diào)性系數(shù)可通過各部件的變形協(xié)調(diào)因子計(jì)算得到。

1.2.1 變形協(xié)調(diào)因子

變形協(xié)調(diào)因子是表征部件剛度裕度的物理量，采用部件的最大變形量限值與最大變形量比值的對(duì)數(shù)進(jìn)行定義。當(dāng)組合結(jié)構(gòu)第i個(gè)部件的變形協(xié)調(diào)因子φi>0時(shí)，部件的剛度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求。部件變形協(xié)調(diào)因子越大，其剛度裕度越優(yōu)。部件變形協(xié)調(diào)因子φi的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(3)

式中：δi為組合結(jié)構(gòu)中第i個(gè)部件最大變形量；δref,i為組合結(jié)構(gòu)中第i個(gè)部件最大變形量限值，為常數(shù)。

1.2.2 變形協(xié)調(diào)性系數(shù)

變形協(xié)調(diào)性系數(shù)是主軸承組合結(jié)構(gòu)整體變形協(xié)調(diào)性優(yōu)劣的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用各部件變形協(xié)調(diào)因子的加權(quán)和進(jìn)行定義。該系數(shù)越大，組合結(jié)構(gòu)整體的變形協(xié)調(diào)性越優(yōu)。變形協(xié)調(diào)性系數(shù)Δφ的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(4)

1.3 接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性是指主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中接觸強(qiáng)度可靠性的好壞程度，其重點(diǎn)考察的接觸面為機(jī)體與主軸承蓋端面。接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為：1)接觸面的最大接觸壓力低于接觸部件材料的許用最大接觸壓力，即接觸強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求；2)在接觸強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，考察接觸面的接觸強(qiáng)度安全系數(shù)，其值越高，組合結(jié)構(gòu)接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性越優(yōu)。接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性可采用接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)可通過各接觸面的接觸協(xié)調(diào)因子體現(xiàn)。

1.3.1 接觸協(xié)調(diào)因子

接觸協(xié)調(diào)因子表征的是各接觸面的接觸強(qiáng)度裕度，采用接觸面材料的許用最大接觸壓力與接觸面最大接觸壓力比值的對(duì)數(shù)進(jìn)行定義。當(dāng)主軸承組合結(jié)構(gòu)第j個(gè)接觸面的接觸協(xié)調(diào)因子γj>0時(shí)，表明該接觸面的接觸強(qiáng)度可靠性滿足設(shè)計(jì)要求。接觸協(xié)調(diào)因子越大，接觸強(qiáng)度裕度越優(yōu)。接觸協(xié)調(diào)因子γj的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(5)

式中：σj為第j個(gè)接觸面的最大接觸壓力；σref,j為第j個(gè)接觸面材料的許用最大接觸壓力。

1.3.2 接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)

接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)是主軸承組合結(jié)構(gòu)整體接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性好壞的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用各接觸面接觸協(xié)調(diào)因子的加權(quán)和進(jìn)行定義。接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)越大，組合結(jié)構(gòu)整體的接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性越優(yōu)。接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)Δγ的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(6)

1.4 質(zhì)量協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

質(zhì)量協(xié)調(diào)性是指主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中輕量化設(shè)計(jì)表現(xiàn)的好壞程度。質(zhì)量協(xié)調(diào)性的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為：1)主軸承組合結(jié)構(gòu)的質(zhì)量低于其質(zhì)量限值(本研究中為78.76 kg)，即質(zhì)量滿足設(shè)計(jì)要求；2)在質(zhì)量滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，組合結(jié)構(gòu)質(zhì)量越低，其質(zhì)量協(xié)調(diào)性越優(yōu)。

質(zhì)量協(xié)調(diào)性系數(shù)是主軸承組合結(jié)構(gòu)質(zhì)量協(xié)調(diào)性好壞的評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用主軸承組合結(jié)構(gòu)單隔板模型質(zhì)量限值與實(shí)際質(zhì)量比值的對(duì)數(shù)進(jìn)行定義。當(dāng)質(zhì)量協(xié)調(diào)性系數(shù)Δψ>0時(shí)，質(zhì)量滿足設(shè)計(jì)要求。質(zhì)量協(xié)調(diào)性系數(shù)越大，質(zhì)量協(xié)調(diào)性越優(yōu)。質(zhì)量協(xié)調(diào)性系數(shù)Δψ的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(7)

式中：mref為主軸承組合結(jié)構(gòu)單隔板模型質(zhì)量的限值；m′為優(yōu)化后主軸承組合結(jié)構(gòu)單隔板模型的質(zhì)量。

1.5 總體協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則

總體協(xié)調(diào)性是指主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中強(qiáng)度協(xié)調(diào)性、變形協(xié)調(diào)性、接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性和質(zhì)量協(xié)調(diào)性4項(xiàng)考察要素的總體協(xié)調(diào)程度，采用組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性系數(shù)進(jìn)行評(píng)判。總體協(xié)調(diào)性的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為：1)各考察要素的協(xié)調(diào)性系數(shù)大于0，即考察要素的設(shè)計(jì)具備協(xié)調(diào)性；2)在各考察要素具備協(xié)調(diào)性的前提下，組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性系數(shù)越大，各考察要素間的總體協(xié)調(diào)性越優(yōu)。總體協(xié)調(diào)性系數(shù)采用各考察要素協(xié)調(diào)性系數(shù)的加權(quán)和進(jìn)行定義，其數(shù)學(xué)表達(dá)為

Δ=κ1Δξ+κ2Δφ+κ3Δγ+κ4Δψ。

(8)

式中：Δ為組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性系數(shù)；κ1，κ2，κ3，κ4分別為強(qiáng)度協(xié)調(diào)性、變形協(xié)調(diào)性、接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性及質(zhì)量協(xié)調(diào)性在主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)中所占的權(quán)重。

1.6 權(quán)重的確定

在主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)體系中，各項(xiàng)權(quán)重的分配是否合理對(duì)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)結(jié)果有著的重要影響。基于層次分析法對(duì)協(xié)調(diào)評(píng)價(jià)體系中的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算[9-10]。建立的層次結(jié)構(gòu)模型見圖1。

圖1 主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性層次結(jié)構(gòu)圖

采用九級(jí)標(biāo)度法對(duì)各考察要素及其評(píng)價(jià)指標(biāo)的優(yōu)先級(jí)進(jìn)行量化。構(gòu)造各層級(jí)判斷矩陣，求解特征向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)體系中的各項(xiàng)權(quán)重如表1和表2所示。

表1 主軸承組合結(jié)構(gòu)考察要素的權(quán)重

表2 主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重

表2 (續(xù))

2 模型的建立

2.1 有限元模型的建立

采用Abaqus軟件進(jìn)行有限元仿真分析。主軸承組合結(jié)構(gòu)主要包含的部件為機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓、豎拉螺栓及曲軸(見圖2)。

圖2 主軸承組合結(jié)構(gòu)示意

位移邊界條件：對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)單隔板模型的兩側(cè)對(duì)稱面施加對(duì)稱位移約束；機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦及曲軸之間的接觸均采用“面對(duì)面”接觸方式；機(jī)體與主軸承蓋側(cè)壁采用間隙裝配，初始間隙量為0.1 mm；主軸瓦與主軸承孔采用過盈裝配，初始過盈量為0.16 mm。

力邊界條件：主軸承組合結(jié)構(gòu)主要承受三方面載荷，分別為螺栓載荷(橫拉螺栓98 kN，豎拉螺栓200 kN)、過盈載荷和來自曲軸的主軸承載荷(豎直方向-78 365 N，水平方向-195 769 N)。

采用四面體網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格劃分。對(duì)于組合結(jié)構(gòu)的接觸面及可能產(chǎn)生應(yīng)力集中的危險(xiǎn)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化處理。經(jīng)網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證，確定該模型的網(wǎng)格數(shù)量為202 538。

2.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

2.2.1 設(shè)計(jì)變量的確定

根據(jù)研究人員對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)可靠性的研究成果[11]，以典型的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)、裝配參數(shù)及載荷參數(shù)等作為設(shè)計(jì)變量，根據(jù)實(shí)際工程中設(shè)計(jì)參數(shù)取值的限值，確定設(shè)計(jì)變量的取值范圍，如表3所示。構(gòu)造設(shè)計(jì)變量向量X，其可表示為

X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T。

(9)

表3 設(shè)計(jì)變量及其取值范圍

2.2.2 目標(biāo)函數(shù)的確定

1) 強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)強(qiáng)度協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，以機(jī)體和主軸承蓋的強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子作為強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)。提取機(jī)體、主軸承蓋強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域的第一主應(yīng)力，如圖3和圖4所示。

圖3 機(jī)體強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域示意 圖4 主軸承蓋強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域示意

機(jī)體的材料為鑄鋁，其抗拉極限為250 MPa；主軸承蓋的材料為鋼，其抗拉極限為980 MPa。取最小安全系數(shù)的限值FOSref為1.2。根據(jù)強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子的定義，強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)可表示為

(10)

(11)

式中：F1和F2分別為機(jī)體和主軸承蓋的強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)；σJ和σZ為機(jī)體強(qiáng)度和主軸承蓋強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域的第一主應(yīng)力。

2) 變形協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)

將主軸瓦的變形協(xié)調(diào)因子作為變形協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)變形協(xié)調(diào)因子的定義，δref,i為組合結(jié)構(gòu)中第i個(gè)最大變形量的限值，即主軸瓦與曲軸之間的最小裝配間隙，為0.11 mm。δi為主軸瓦最大徑向變形量[12]，將已知參數(shù)代入式(3)，可得

(12)

式中：φW為主軸瓦最大徑向變形量。

3) 接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)

接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性重點(diǎn)考察的接觸面為機(jī)體與主軸承蓋端面，如圖5所示。以該接觸面的接觸協(xié)調(diào)因子作為接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)。機(jī)體材料許用接觸壓力為380 MPa，根據(jù)接觸協(xié)調(diào)因子的定義，可得

(13)

式中：pJZ為機(jī)體與主軸承蓋端面的最大接觸壓力。

圖5 接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性考察接觸面示意

4) 質(zhì)量協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)

主軸承組合結(jié)構(gòu)單隔板模型質(zhì)量的限值為78.76 kg。以質(zhì)量協(xié)調(diào)性系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，可表示為

(14)

式中：m′為組合結(jié)構(gòu)單隔板模型的質(zhì)量。

2.2.3 約束條件的確定

1) 強(qiáng)度約束條件

主軸承組合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求為各部件的強(qiáng)度安全系數(shù)不低于1.2。機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦及橫、豎螺栓材料的抗拉極限分別為250 MPa，980 MPa，430 MPa和1 200 MPa。根據(jù)強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子的定義，提取各部件強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域的第一主應(yīng)力，主軸承組合結(jié)構(gòu)各部件的強(qiáng)度約束條件如下：

(15)

式中：g1(X)至g5(X)分別為機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓及豎拉螺栓的強(qiáng)度約束條件；σJ，σZ，σW，σH，σV分別為機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓及豎拉螺栓強(qiáng)度危險(xiǎn)區(qū)域的第一主應(yīng)力。

2) 剛度約束條件

主軸承組合結(jié)構(gòu)的剛度設(shè)計(jì)要求為各部件的最大變形量低于該部件最大變形量的限值。根據(jù)研究人員對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)各部件剛度可靠性的研究成果，主軸瓦、機(jī)體、主軸承蓋、橫拉螺栓及豎拉螺栓的最大變形量的限值分別為0.11 mm，0.48 mm，0.30 mm，0.78 mm及1.00 mm。提取各部件變形較大區(qū)域的最大變形量，主軸承組合結(jié)構(gòu)各部件的剛度約束條件如下

(16)

式中：g6(X)至g10(X)分別為機(jī)體、主軸承蓋、主軸瓦及橫、豎拉螺栓的剛度約束條件；φW為主軸瓦的最大徑向變形量；φJ(rèn)，φZ(yǔ)，φH，φV分別為機(jī)體、主軸承蓋及橫、豎拉螺栓變形較大區(qū)域的最大變形量。

3) 接觸強(qiáng)度約束條件

主軸承組合結(jié)構(gòu)的接觸強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求為接觸面的最大接觸壓力低于接觸部件材料的許用最大接觸壓力。機(jī)體材料的許用最大接觸壓力為380 MPa。根據(jù)接觸協(xié)調(diào)因子的定義，提取各接觸面的最大接觸壓力，接觸強(qiáng)度約束條件可表示為

(17)

式中：g11(X)至g13(X)分別為機(jī)體與主軸承蓋接觸面、機(jī)體與主軸瓦接觸面、機(jī)體與橫拉螺栓接觸面的接觸強(qiáng)度約束條件；pJZ為機(jī)體與主軸承蓋端面的最大接觸壓力；pJW為機(jī)體與主軸瓦接觸面的最大接觸壓力；pJH為機(jī)體與橫拉螺栓接觸面的最大接觸壓力。

4) 質(zhì)量約束條件

主軸承組合結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)要求為組合結(jié)構(gòu)單隔板模型質(zhì)量低于78.76 kg。根據(jù)質(zhì)量協(xié)調(diào)因子的定義，質(zhì)量約束條件可表示為

(18)

式中：m′為組合結(jié)構(gòu)單隔板模型的質(zhì)量。

綜上，以主軸承組合結(jié)構(gòu)的典型設(shè)計(jì)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以各協(xié)調(diào)性重點(diǎn)考察部件或接觸面的協(xié)調(diào)因子為目標(biāo)函數(shù)，以各部件或接觸面滿足強(qiáng)度、剛度、接觸強(qiáng)度及質(zhì)量的設(shè)計(jì)要求為約束條件，主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型如下：

MaximizeF1(X)～F5(X)，
X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T，
Subject tog1(X)～g14(X)成立。

3 改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法

3.1 基于FSCS-ART算法的種群初始化方法

為了增加種群的多樣性，保證優(yōu)化解的良好分布，基于FSCS-ART算法[13-14]對(duì)種群初始化方法進(jìn)行改進(jìn)。具體方法如下：首先按照均勻分布原則隨機(jī)生成k個(gè)候選個(gè)體，創(chuàng)建候選個(gè)體集C={c1,c2,…ck}，并計(jì)算每個(gè)候選個(gè)體ci(i∈[1,k])與初始化種群S={s1,s2,…sq}中的所有個(gè)體的最短距離。其中，q表示當(dāng)前初始化種群中已存在q個(gè)個(gè)體。選擇最短距離中最大的候選個(gè)體作為下一個(gè)初始化個(gè)體，其數(shù)學(xué)表達(dá)為

(19)

式中：distij(ci,sj)為ci和sj兩個(gè)體在設(shè)計(jì)變量超維空間的距離。基于FSCS-ART算法改進(jìn)的種群初始化偽代碼如表4所示。

表4 基于FSCS-ART算法的種群初始化偽代碼

表4 (續(xù))

為了盡可能地使初始化個(gè)體在設(shè)計(jì)變量空間中均勻分布，取q=1，即初始化種群中只有一個(gè)隨機(jī)生成的個(gè)體。此外，為了控制種群初始化的計(jì)算規(guī)模，一般取候選種群個(gè)體的數(shù)量為10，即k=10。

3.2 基于混合自適應(yīng)策略的遺傳方式研究

針對(duì)傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算效率偏低的問題，在傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法的基礎(chǔ)上引入了混合自適應(yīng)遺傳策略，其核心思想為：將種群的進(jìn)化過程依據(jù)設(shè)定的分期條件(進(jìn)化代數(shù))分為前期和后期。算法計(jì)算前期，為了避免優(yōu)化陷入局部最優(yōu)解，種群以傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法的交叉、變異方式進(jìn)化；算法計(jì)算后期，以基于距離的自適應(yīng)交叉、變異概率進(jìn)化。構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)如下：

(20)

式中：Fit(X)為種群個(gè)體的適應(yīng)度；dis(X)為個(gè)體映射的目標(biāo)函數(shù)距離超維空間坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。將當(dāng)前進(jìn)化代中dis(X)的最大值作為D的取值。dis(X)可通過下式求解：

(21)

式中：f(X)為目標(biāo)函數(shù)；n為多目標(biāo)優(yōu)化中目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量。

根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度的計(jì)算，可以對(duì)自適應(yīng)交叉和變異的概率進(jìn)行計(jì)算：

(22)

(23)

式中：pc和pm分別為自適應(yīng)交叉和變異的概率；k1,k2,k3為常數(shù)，與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法中的交叉、變異概率有關(guān)；fc為兩待交叉?zhèn)€體中適應(yīng)度較大個(gè)體的適應(yīng)度值；fm為待變異的個(gè)體的適應(yīng)度值；fmax為種群個(gè)體的最大適應(yīng)度；favg為種群個(gè)體的平均適應(yīng)度。基于混合自適應(yīng)策略的交叉、變異概率計(jì)算方法的偽代碼見表5。

表5 基于混合自適應(yīng)策略的遺傳概率計(jì)算偽代碼

3.3 算法參數(shù)的設(shè)定

改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法采用二進(jìn)制交叉方式和多項(xiàng)式變異方式。設(shè)置主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性多目標(biāo)優(yōu)化的種群數(shù)量為12，進(jìn)化代數(shù)為50，初始交叉概率為0.9，初始變異概率為0.1。根據(jù)對(duì)主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性多目標(biāo)優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算，設(shè)置區(qū)別優(yōu)化算法進(jìn)化前期與算法進(jìn)化后期的進(jìn)化代數(shù)閾值為24。

4 結(jié)果與討論

4.1 數(shù)學(xué)模型的求解

主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)采用Matlab軟件和Abaqus軟件進(jìn)行聯(lián)合仿真。改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法在Matlab軟件中通過編寫程序代碼實(shí)現(xiàn)。主軸承組合結(jié)構(gòu)的有限元仿真過程是基于對(duì)Abaqus軟件的二次開發(fā)，將整個(gè)有限元分析過程及計(jì)算結(jié)果的后處理以Python程序的形式呈現(xiàn)。

采用Matlab軟件和Abaqus軟件聯(lián)合仿真的數(shù)據(jù)傳遞過程為：通過以Matlab程序?qū)崿F(xiàn)的改進(jìn)NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法對(duì)父代設(shè)計(jì)變量進(jìn)行交叉、變異后，將子代設(shè)計(jì)變量傳遞到主軸承組合結(jié)構(gòu)局部參數(shù)化有限元模型的Python程序中對(duì)模型進(jìn)行重建。調(diào)用Abaqus內(nèi)核進(jìn)行分析，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)數(shù)值。將計(jì)算結(jié)果反饋至Matlab中，采用改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)與分析，并生成新的設(shè)計(jì)變量。Matlab軟件和Abaqus軟件的數(shù)據(jù)交互如圖6所示。

圖6 Matlab和Abaqus的數(shù)據(jù)交互流程

4.2 協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)結(jié)果

依據(jù)Pareto優(yōu)化理論分析，主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)的Pareto優(yōu)化解不存在單一的最優(yōu)解，取而代之的是搜索空間中對(duì)應(yīng)目標(biāo)向量元素不能再被同時(shí)改進(jìn)的解的集合。通過Matlab軟件和Abaqus軟件的聯(lián)合仿真求解得到的Pareto最優(yōu)解為包含10組最優(yōu)解的解集，如表6所示。

表6 主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)結(jié)果

將每一組Pareto最優(yōu)解用一組封閉的折線來表示。折線的端點(diǎn)越靠近五邊形頂點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的目標(biāo)越優(yōu)，如圖7所示。

依據(jù)考察要素權(quán)重分析，優(yōu)化目標(biāo)優(yōu)先級(jí)從大到小依次為變形協(xié)調(diào)性、強(qiáng)度協(xié)調(diào)性、接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性及質(zhì)量協(xié)調(diào)性。從表6和圖7中可以看出，變形協(xié)調(diào)性目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的匹配方案為方案5和方案6，但二者之間的差距很小，在實(shí)際工程問題中基本可以忽略不計(jì)。對(duì)比方案5和方案6的其他優(yōu)化目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于強(qiáng)度、接觸強(qiáng)度及質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)，方案6均優(yōu)于方案5，故認(rèn)為實(shí)際工程問題中匹配方案6更加合理。因此，以方案6作為最終的主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方案。對(duì)比優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量的數(shù)值，結(jié)果如表7所示。

圖7 Pareto最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)雷達(dá)圖

表7 優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量取值對(duì)比

依據(jù)主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，計(jì)算優(yōu)化前后主軸承組合結(jié)構(gòu)各部件及接觸面的協(xié)調(diào)因子，計(jì)算優(yōu)化前后各考察要素的協(xié)調(diào)性系數(shù)及組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性系數(shù)，如表8所示。主軸承組合結(jié)構(gòu)的有限元仿真分析中曲軸采用的是簡(jiǎn)化模型，故不考慮曲軸的強(qiáng)度協(xié)調(diào)性、變形協(xié)調(diào)性及接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性。

對(duì)于主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)重點(diǎn)關(guān)注的部件及接觸面，優(yōu)化后機(jī)體強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子和主軸承蓋強(qiáng)度協(xié)調(diào)因子分別提升了48.72%和10.15%；主軸瓦的變形協(xié)調(diào)因子提升了45.56%；機(jī)體與主軸承蓋端面的接觸協(xié)調(diào)因子提高了12.75%。對(duì)于非重點(diǎn)關(guān)注的部件和接觸面，其各協(xié)調(diào)因子有不同程度的增減變化，但均滿足主軸承組合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求。

考察要素方面，優(yōu)化后組合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)提升了16.63%，變形協(xié)調(diào)性系數(shù)提升了19.06%，接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性系數(shù)提升了3.99%。盡管優(yōu)化后總體質(zhì)量略有上升，但其漲幅不足1%，滿足輕量化設(shè)計(jì)要求。總體協(xié)調(diào)性方面，優(yōu)化后總體協(xié)調(diào)性系數(shù)提升了14.49%，表明優(yōu)化后主軸承組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性更優(yōu)。

綜上所述，經(jīng)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)后主軸承組合結(jié)構(gòu)總體協(xié)調(diào)性更優(yōu)，分別實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)度協(xié)調(diào)(機(jī)體、主軸承蓋強(qiáng)度安全系數(shù)提高)、變形協(xié)調(diào)(主軸瓦變形減小)、接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)(機(jī)體與主軸承蓋接觸面的接觸強(qiáng)度安全系數(shù)高)及質(zhì)量協(xié)調(diào)(質(zhì)量可控)的設(shè)計(jì)目標(biāo)，證明了所提出的主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方法的有效性。

表8 優(yōu)化前后主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)性對(duì)比

4.3 改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法性能驗(yàn)證

4.3.1 改進(jìn)初始化方式的性能驗(yàn)證

主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)變量較多，不方便直觀地對(duì)比采用傳統(tǒng)的和改進(jìn)的初始化方式生成個(gè)體分布的差異性。故采用僅有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的驗(yàn)證模型，其取值范圍均為[0，100]，設(shè)種群規(guī)模為100，分別采用基于隨機(jī)分布的傳統(tǒng)初始化方式和基于FSCS-ART算法的改進(jìn)初始化方式對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行初始化，種群個(gè)體分布見圖8。左圖為采用基于FSCS-ART算法的種群初始化方式生成的種群個(gè)體，其既沒有明顯的空隙，又沒有相互緊貼甚至重疊。右圖為采用傳統(tǒng)初始化方式生成的種群個(gè)體，其出現(xiàn)了不同程度的“聚集”現(xiàn)象，設(shè)計(jì)變量平面內(nèi)出現(xiàn)了明顯的“空白”，種群個(gè)體分布不均勻。

圖8 采用不同初始化方式的種群個(gè)體分布

參考ART算法生成的測(cè)試用例分布均勻程度的度量指標(biāo)[15]，初始化種群個(gè)體的分布性可以采用如下指標(biāo)進(jìn)行評(píng)判：

1) 分散度

式中：ei∈E；dis(a,b)表示個(gè)體a和個(gè)體b之間的距離；neighbour(p,E)表示集合E中距離p個(gè)體最近的個(gè)體；|E|表示集合E中的個(gè)體數(shù)量；MDispersion表示集合E中任意個(gè)體具有的最大圓形平面(平面中有且僅有該個(gè)體)。MDispersion的值越小，則可認(rèn)為集合E中個(gè)體間具有近似相等的距離，即分布越均勻。

2) 最近相鄰個(gè)體的平均距離Mavg

式中：ei∈E。(MDispersion-Mavg)的值越小，集合E中的個(gè)體分布越均勻。

基于FSCS-ART算法的種群初始化方式和基于隨機(jī)分布的種群初始化方式生成種群個(gè)體的MDispersion分別為5.787 4和6.432 9，二者的Mavg分別為5.636 3和5.141 3。改進(jìn)初始化方式生成個(gè)體的(MDispersion-Mavg)值明顯更小，表明采用該方法生成的種群個(gè)體的分布更加均勻。

4.3.2 改進(jìn)遺傳方式的性能驗(yàn)證

分別采用改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法和傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法求解主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，計(jì)算每代種群個(gè)體的平均適應(yīng)度與最大適應(yīng)度，結(jié)果如圖9所示。

圖9 改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算得到的種群個(gè)體適應(yīng)度對(duì)比

采用兩種方法計(jì)算得到的種群個(gè)體適應(yīng)度在算法前期均迅速升高，算法后期適應(yīng)度增加的趨勢(shì)變得平緩。這一現(xiàn)象說明了設(shè)置區(qū)分進(jìn)化前、后期的進(jìn)化代數(shù)閾值為24的合理性。

對(duì)比改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算得到的種群個(gè)體平均適應(yīng)度曲線可以發(fā)現(xiàn)，二者在進(jìn)化前期的平均適應(yīng)度變化趨勢(shì)基本相同，但進(jìn)化后期由于自適應(yīng)交叉、變異概率的影響，采用改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算得到的個(gè)體平均適應(yīng)度明顯更快地貼近最大適應(yīng)度曲線，表明算法后期改進(jìn)NSGA-Ⅱ具有更好的解的收斂效率。此外，當(dāng)算法進(jìn)化到第50代時(shí)，采用改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算得到的種群個(gè)體平均適應(yīng)度與種群最大適應(yīng)度的差距更小，表明改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法計(jì)算得到的優(yōu)化解具有更高的適應(yīng)度。

5 結(jié)論

a) 協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)后，主軸承組合結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度協(xié)調(diào)性、變形協(xié)調(diào)性和接觸強(qiáng)度協(xié)調(diào)性分別提升了16.63%，19.06%和3.99%，總體協(xié)調(diào)性提升了14.49%，說明了主軸承組合結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)匹配設(shè)計(jì)方法的有效性；

b) 與傳統(tǒng)初始化方法相比，采用基于FSCS-ART算法的改進(jìn)初始化方式生成的種群個(gè)體分布更加均勻，表明基于FSCS-ART算法的改進(jìn)初始化方法具有先進(jìn)性；

c) 與傳統(tǒng)遺傳方式相比，基于混合自適應(yīng)策略的遺傳方式具有更好的解的收斂效率，其優(yōu)化解具有更高的適應(yīng)度，說明了改進(jìn)遺傳方式的先進(jìn)性。