線場分析法在斷續周期裂紋巖體拉伸斷裂破壞中的優化應用

唐紅梅，周福川，閆 凝，商 超

(重慶交通大學 巖土工程研究所，重慶 400074)

0 引 言

從A.A.GRIFFITH[1]采用能量理論研究材料的斷裂行為開始，斷裂力學已經發展了一個世紀。N.I.MUSKHELISHVILI[2]和H.M.W. WESTERGAARD[3]采用復變函數理論得出了兩種應力函數，為斷裂力學的發展提供了數學支撐。G.R.IRWIN[4]提出應力強度因子理論后，極大地加速了線彈性斷裂力學的發展，此后尋找應力強度因子便成為線彈性斷裂力學問題的重點和難點。

求解無限大裂紋體應力強度因子的方法已經出現很久，但是實踐中的裂紋體很少呈現無限大形式，絕大部分屬于有限邊界形態，因此將無限大裂紋體模型的研究成果擴展到有限裂紋體模型具有現實意義[5]。但目前對有限裂紋體模型的解析方法研究仍顯不足，且多采用數值計算方式代替，例如M.GONZALEZ 等[6]采用邊界元法分別求解了基于能量釋放率理論和圍道積分等數學公式的數值解；A.S.KOBAYASHI等[7]采用邊界配置法得到了有限大裂紋體的應力強度因子數值解；段樹金等[8]利用邊界配置法求解了含一切口的簡支梁在分布荷載作用下的應力強度因子；袁浩等[9]采用有限元手段對J積分、相互作用積分和位移外推法進行數值計算。不過數值分析仍然是一種近似解，不能完全取代理論上的真值。因此，開展有限裂紋體的斷裂理論研究屬于基礎科學研究范疇，仍是斷裂力學研究的一個重要方向。

洪起超[10]總結了不同條件下的無限邊界模型，整理了一些重要的應力強度因子解析式；鄭濤等[11]利用復雜的復變函數方法，推導出帶3條共線裂紋模型的解析解；高常輝等[12]利用復變函數方法求解了I型裂紋受面力作用的應力強度因子解析解。復變函數分析方法的復雜性也制約了斷裂力學在其他學科領域的推廣應用。易志堅[13]采用積分運算，提出的裂紋線場分析法是具有嚴格力學意義的實用可靠方法。

有限裂紋體斷裂問題十分普遍，許多巖體的破裂現象可以視為巖體拉伸破壞的力學行為，如高陡邊坡演化過程中坡肩拉應力集中形成拉裂面，以及在大地構造應力作用下巖層橫向縱彎導致背斜核部發育斷續或連續結構面的巖體拉斷破裂現象，其本質上均為拉伸下的巖體斷裂問題。將含有斷續結構面巖體簡化為斷續周期裂紋有不同稱謂，如非貫通斷續節理[14]、共線等間距裂紋[15]或共線等距等長裂隙[16]，其主要針對邊坡、危巖等地質體，但采用優化后的線場分析法探討背斜核部拉應力區裂紋的地質現象尚無報道。巖體拉伸斷裂破壞涉及拉伸強度問題，A.H.GHAZVINIAN等[17]發現節理的拉伸強度對巖體剪切行為具有顯著影響，據此修正了巴頓公式；I.VANICEK[18]通過工程案例展示了拉應力在地質工程領域的重要性，并系統介紹了巖石拉伸破壞試驗和發展方向；FENG Gan等[19]基于周向應力理論和試驗擬合得出了不同溫度下斷裂韌度和拉應力強度之間的關系；郭芳等[20]采用數值模擬方法對節理巖體邊坡穩定性進行分析，得出了考慮巖體拉伸破壞更加符合實際情況的結論。然而，線場分析法在巖體拉伸強度方面的應用罕見。筆者采用優化后的線場分析法研究背斜核部巖體在單向拉伸作用下的斷裂破壞機制，由地質模型概化出斷續周期裂紋模型，獲取中心裂紋力學模型；引入線場分析法，通過應力修正值和形狀修正系數研究背斜核部巖體拉裂紋拉伸斷裂問題，對解譯背斜核部巖體拉斷破裂現象和工程巖體拉伸強度問題等方面具有實際意義。

1 斷續周期裂紋巖體地質力學模型

背斜核部拉應力區裂紋具有以下主要特征：發育在巖體內部；以非連續分布形式展現；一組結構面包含多條平行非貫通結構面，一條結構面又由許多斷續裂紋組成；斷續裂紋以等距或非等距共線排布；裂紋長短隨機組合(圖1)。筆者據此提出背斜核部巖體的“斷續周期裂紋”模型(圖2)。

圖1 背斜核部拉應力區裂紋實物Fig. 1 Diagram of crack in tensile stress zone of anticline core

圖2(a)為地層背斜核部地質剖面示意。在區域上受水平構造應力σl作用，地層發生褶皺彎曲變形。背斜核部頂層的巖體位于單向拉伸區，局部應力場為單向拉應力狀態σ；背斜核部底層巖體位于壓剪區，局部應力場為壓剪復合應力狀態。文中研究對象限于背斜核部頂層巖體，即單向拉伸區。由于地層厚度h遠小于地球半徑R，可假定：①在頂層厚度h范圍內，拉應力σ沿x軸均勻分布，頂層巖體受拉應力σ作用衍生拉裂紋；② 巖層在沉積過程中受環境、氣候、物質組分等不均勻性因素影響，在一些薄弱部位發育拉裂紋，且沿巖層徑向(x軸向)呈斷續分布形態，沿巖層環向(y軸向)近似對稱排布，具有斷續周期裂紋特征。

在圖2(a)中用虛線框沿徑向x軸獲取一列斷續周期裂紋，經逆時針旋轉90°，進一步概化為斷續周期裂紋力學模型，如圖2(b)。裂紋出現周期為2b，相鄰裂紋之間巖橋長度為2(b-a)，所受單向拉伸應力與圖2(a)中局部單向拉應力σ相等。

在圖2(b)中通過虛線框獲取中心裂紋力學模型〔圖2(c)〕，分析兩側裂紋對中心裂紋斷裂擴展的影響。其中o1o2為中心裂紋，o1N和o2M為巖橋半長b-a，中心裂紋力學模型(基本單元)所受單向拉應力與圖2(b)中所受單向拉應力σ相等。

圖2(c)中的中心裂紋是圖2(b)中斷續周期裂紋的一個基本單元，而圖2(b)中斷續周期裂紋是圖2(a)背斜核部地層的一列子單元。因此，通過分析中心裂紋基本單元的斷裂問題，可以反映背斜核部斷續周期裂紋的宏觀斷裂破壞特征，而線場分析法是分析中心裂紋模型的實用力學方法，經優化后的線場分析法可以更好地應用于該類地質模型分析中。

圖2 中心裂紋模型概化流程Fig. 2 Simplified flowsheet of the central crack model

對于單向拉應力σ作用下的含中心裂紋巖體，將垂直于裂紋面o1o2方向、位于巖橋o1N和o2M上的巖橋內部拉應力σy進行修正，可得到既滿足裂紋面應力邊界條件的同時又滿足巖橋上應力邊界條件的解答。因此，按照線場分析法的力學思路，中心裂紋問題的重點轉化為求取修正系數。

線場分析法的目標是求得應力強度因子，如式(1)：

(1)

2 巖體斷裂特征參數

2.1 巖橋應力修正值與靜力平衡因子拆分

2.1.1 巖橋應力修正值

圖2(c)為單向拉伸下含中心裂紋巖體，直角坐標系xoy的原點建立在裂紋面中心點o處，x軸重合于裂紋面，y軸垂直于裂紋面。o1o2為裂紋長度為2a的裂紋面，巖體寬度為2b，M、N為巖橋與兩側自由邊的交點。

既滿足圖2(c)中裂紋面應力邊界條件，又滿足巖橋應力邊界條件的拉應力場為：

(2)

式中：σy為巖橋上的拉應力，kPa；T為應力修正值，kPa，是關于外荷載σ、巖體寬度2b及裂紋長度2a的函數。

沿MN切割形成A、B兩個區域。由于巖橋幾何尺寸相對側自由邊尺寸很小，屬于小邊界問題，可以按照圣維南原理對A區域建立沿y方向的靜力平衡方程：

(3)

將式(2)代入式(3)，由于應力修正值T與積分變量r無關，從積分式中提取得：

(4)

將式(4)代入式(2)即可得巖橋上的拉應力σy，再將拉應力σy代入式(1)，即求得應力強度因子KI。

2.1.2 巖橋靜力平衡因子拆分

求解應力修正值T的關鍵是求解式(4)中分母的定積分式，即：

(5)

式(4)的分母〔式(5)〕是求解靜力平衡方程式(3)的橋梁，故將式(5)左側命名為“巖橋靜力平衡因子”。為將巖橋靜力平衡因子的定積分求解問題一般化，可暫不討論積分區間，將式(5)轉化為不定積分式，如式(6)：

(6)

式中：被積函數的分子為關于矢徑r的一次多項式，可將其拆分為兩個不定積分式的線性組合：

(7)

(8)

式中：A0(r)表示不定積分中被積函數分子r的冪次為0，下文統稱零次冪積分因子；A1(r)表示不定積分中被積函數分子r的冪次為1，下文統稱一次冪積分因子。

對積分因子A0(r)和A1(r)進行線性組合，得到不定積分式B(r)，再給出相應的積分區間，即可得到巖橋靜力平衡因子〔式(5)〕。

2.2 巖體斷裂特征參數求解

2.2.1 積分因子求解

為了分析系統(9)—(10)的穩定性,首先由投影算子的非擴張性及常微分方程解的可延拓性,得到如下引理。

1)零次冪積分因子A0(r)

根據線性換元法和三角換元法，式(7)的解為：

(9)

2)一次冪積分因子A1(r)

與推求A0(r)相似，通過線性、三角換元法可得：

(10)

由積分公式結論[21]有：

(11)

當式(11)中j=2時，式(11)即為式(10)，可得：

(12)

通過線性、三角換元反解，式(12)化為：

(13)

由式(13)可得，當r=0時，A1(0)=C2，積分因子的線性組合如式(14)：

(14)

2.2.2 巖橋靜力平衡因子線性組合求解

(15)

(16)

2.2.3 巖橋應力修正值及拉應力求解

將式(16)代入式(4)可得巖橋應力修正值，如式(17)：

(17)

將式(17)代入式(2)可得巖橋拉應力，如式(18)：

(18)

2.2.4 應力強度因子及形狀修正系數求解

將式(18)代入式(1)，得到裂紋面兩端應力強度因子，如式(19)：

(19)

由式(19)可知，有限寬巖體較無限大巖體應力強度因子多一個修正系數F，如式(20)：

(20)

3 結果分析與討論

3.1 形狀修正系數F變化規律

將圖2(c)中裂紋長度2a與巖體寬度2b的比值視為裂紋貫通率n，即n=a/b(0≤n≤1)。當n=0時，表示完整巖石；當n=1時，表示巖體已經破壞。

由式(16)和式(20)可知，形狀修正系數F是關于裂紋貫通率n的一元非線性函數，F隨著裂紋貫通率n變化而變化。為了考察形狀修正系數F函數的形態，通過文獻[13]、文獻[16]和文獻[22]，結合式(20)，獲得了形狀修正系數對數值lg(F)分布，如圖3。

圖3 形狀修正系數對數值lg(F)分布Fig. 3 Distribution of shape correction coefficient lg(F)

由圖3可知：

1) 修正系數對數值lg(F)均隨著裂紋貫通率n的增加呈非線性單調上升趨勢，文獻[22]的裂紋貫通率n>0.8后形狀修正系數的增長速度低于其它3種的情況除外。隨裂紋貫通率n增加，形狀修正系數F總體上對裂紋尖端應力強度因子的調增作用越大。形狀修正系數大致分為三段式增長區間：裂紋貫通率n<0.3區間為慢速增長階段；裂紋貫通率n處于0.3～0.6區間為中速增長階段；裂紋貫通率n>0.6 區間屬于快速增長階段。

2) 當裂紋貫通率n→0時，F→1，式(19)退化為無限邊界中心裂紋尖端應力強度因子解；當裂紋貫通率n→1時，除文獻[22]外，其余曲線的形狀修正系數F→+∞，因為該條件下，其余曲線公式的分母趨近于0，而文獻[22]對應的Isida公式的最小二乘法是關于裂紋貫通率n的有限多項式，在數學上是有界的。實際上，當裂紋貫通率n→1時，即裂紋長度2a趨近于巖體寬度2b時，巖體接近破壞，在此種條件下，即便外部荷載不增加，但是受形狀修正系數的調整，應力強度因子將快速突破斷裂韌度，材料發生破壞。由此可知，文獻[22]中Isida公式的最小二乘法在裂紋貫通率n→1時不合理。

3) 文獻[16]裂紋共線等距等長解是斷裂力學中將無限邊界體結果推廣到有限寬度板條的經典解法，具有較高的精度，但是這種解法仍然是一種近似解；文獻[22]中Isida公式的最小二乘法是基于試驗統計數據，其為采用統計分析方法擬合的多項式公式，具有一定的統計意義，但也是一種近似解法；文獻[13]根據線場上靜力平衡方程得出的公式具有嚴格的力學邏輯，但其基于圣維南原理的積分因子，難以精確滿足線場上的應力邊界條件，而只是通過積分方式近似滿足其應力邊界條件，同時對積分因子進行整體積分具有相對復雜的數學技巧；文中解基于線場上的靜力平衡方程，采用拆分與組合方法進行改進，更方便快捷，也是合理可信的。

3.2 應力修正值T變化規律

聯立式(16)、式(17)，可得應力修正值T關于裂紋貫通率n和外荷載F(F=σ)的表達式(21)，并繪制函數曲線(圖4)。

(21)

圖4 應力修正值T函數曲線分布Fig. 4 Distribution of stress modified value T function curve

由式(21)和圖4可見：當外荷載不變，應力修正值T隨著裂紋貫通率n的增加呈非線性增加趨勢；當裂紋貫通率n不變，應力修正值T隨著外荷載的增加呈線性增加趨勢；當裂紋貫通率n→0時，式(21)無意義，即式(21)僅適用于帶裂紋巖體；當裂紋貫通率n→1時，應力修正值T→+∞，即巖橋上拉應力無窮大，巖體已經破壞。

4 算例分析

4.1 巖體抗拉強度對比

(22)

利用式(16)，結合K準則判據，可得巖體抗拉強度如式(23)：

(23)

根據式(23)，獲得灰巖巖體抗拉強度為0.337 MPa。按照文獻[22]和文獻[13]中的應力強度因子公式推導出巖體抗拉強度公式而獲得的灰巖巖體抗拉強度值見表1。由表1可知，4種解法所得巖體抗拉強度值介于0.325～0.341 MPa，平均值為0.334 MPa，標準差為0.007 MPa，變異系數為0.02，表明文中的解是合理的。

表1 巖體抗拉強度分布Table 1 Distribution table of rock mass tensile strength

4.2 基于文中解的巖體抗拉強度變化規律

裂紋貫通率n和裂紋半長a是影響巖體抗拉強度值的幾何特征指標。在式(23)中取裂紋半長a為0.2～2 m的數值，裂紋貫通率n為介于0～1之間的變量，據此繪制在不同裂紋半長a下的巖體抗拉強度關系曲線(圖5)。

圖5 巖體抗拉強度隨裂紋特征的變化規律Fig. 5 Variation law of rock mass tensile strength changing with crack characteristics

由圖5可見：

1)裂紋半長a一定時，巖體抗拉強度St隨裂紋貫通率n增大而降低；裂紋半長a介于0.2～0.8 m且裂紋貫通率n<0.6時，巖體抗拉強度值較大；裂紋半長a>0.8 m時，巖體抗拉強度隨裂紋貫通率n的增加，趨于平緩。

2)裂紋貫通率n一定時，巖體抗拉強度St隨著裂紋半長a增加而降低(St與a的二次根式成反比)。

3)裂紋貫通率n一定且0.2 m≤a≤1.0 m時，巖體抗拉強度St變幅較大；1.0 m

4)0.2 m≤a≤2.0 m時，灰巖巖體的抗拉強度均未超過1.0 MPa。

5 結 論

將背斜核部巖體拉裂紋的發育和斷裂問題概化為中心對稱拉伸斷裂破壞模型，引入經優化的線場分析法使中心裂紋模型計算過程方便快捷，物理概念清晰。巖橋靜力平衡因子是求解巖體斷裂特征參數如巖橋應力修正值、巖橋拉應力、應力強度因子及形狀修正系數的關鍵，并得出了中心對稱裂紋巖體抗拉強度表達式。主要結論如下：

1)形狀修正系數隨裂紋貫通率增大呈非線性單調上升，表明裂紋貫通率越高，形狀修正系數對裂紋尖端應力強度因子的調增作用越大；當裂紋貫通率趨近于0時，應力強度因子解退化為無限邊界中心裂紋模型解；當裂紋貫通率趨近于1時，形狀修正系數趨于無窮大，巖體破壞。

2)當外荷載不變，應力修正值隨裂紋貫通率增大呈非線性增加趨勢；當裂紋貫通率不變，應力修正值隨外荷載增大呈線性增加趨勢；當裂紋貫通率趨于0時，文中解無意義，即僅適用于帶裂紋巖體；當裂紋貫通率趨于1時，應力修正值趨于無窮大，即巖橋上拉應力無窮大，巖體破壞。

3)獲得了中心對稱裂紋巖體的抗拉強度表達式。以灰巖為例，計算對比發現：4種理論解法(含文中解)所得巖體抗拉強度值介于0.325～0.341 MPa，平均值為0.334 MPa，標準差為0.007 MPa，變異系數為0.02，表明文中解是合理的。裂紋半長一定時，巖體抗拉強度隨裂紋貫通率增大而降低；裂紋貫通率一定時，巖體抗拉強度隨裂紋半長增加而降低；巖體抗拉強度與裂紋半長的平方根成反比，表現出巖體抗拉強度變幅隨裂紋半長線性變化而呈非線性變化的規律；裂紋半長介于0.2～2.0 m時，灰巖巖體的抗拉強度均未超過1.0 MPa。