基于新閾值函數的小波去噪研究

趙淑君 農林舒真 黃曉文 寇俊克*

（桂林電子科技大學數學與計算科學學院,廣西 桂林541004）

在實際應用中,獲取的信號通常含有噪聲。這一現象的產生一方面是由于采集信號數據時容易受到外部雜音的影響,使得信號數據含有噪聲。另一方面原因在于信號采集設備的技術設計缺陷等,比如設備的數據精度、靈敏度等技術限制。噪聲的存在不僅影響信號的質量,嚴重時還會淹沒原始信號。因此,信號去噪研究是信號處理領域中的基本研究問題[1-2]。小波作為“數字顯微鏡”,以其獨特的局部時頻分析特性而被廣泛應用于信號去噪[3-5]。經典小波閾值去噪研究起源于Donoho[6]的工作,他依據小波信號分解特征提出了軟、硬閾值函數去噪算法,并取得了較好的去噪效果。然而,常規軟、硬閾值函數在數學表達式上存在一些缺陷,比如硬閾值函數在閾值處不連續,軟閾值函數在閾值處不可導。這些數學性質方面的不足可能會導致常規閾值函數進行信號去噪處理時出現邊緣模糊,甚至會出現信號部分失真的現象。為了克服常規軟硬閾值函數的上述缺點,牟雪姣等[7]借助圓切線的相關理論原理,提出了一種新的閾值函數,提高了非平穩信號的去噪效果。李維松等[8]針對小波閾值去噪算法中的閾值函數及閾值選取準則進行了改進完善,并選取Heavysine 信號以及Block 信號進行去噪效果驗證。為了最大程度上提高去噪效果,2021 年李樹勛等人[9]根據指數函數特性,在硬閾值函數的基礎上提出了一種改進的閾值函數,并通過仿真實驗驗證了改進閾值函數具有更優的去噪效果。然而,上述改進閾值函數沒有考慮大于閾值的小波系數處理問題,這就意味著該閾值函數并非最優。基于此,本文將從數學表達式以及去噪實效兩方面分析常規軟、硬閾值函數、改進閾值函數的優缺點,引入平滑因子構建一種新的閾值函數。同時,選取兩組具有不同特征的信號進行去噪仿真實驗,通過誤差分析對比發現新閾值函數具有更好的去噪效果。

1 小波閾值去噪

信號去噪的數學模型為

其中,S(t)為含噪聲信號,r(t)為原始信號,n(t)為噪聲。信號去噪的目的是盡可能的減少噪聲n(t)對S(t)的影響,進而獲得真實信號r(t)。在小波去噪過程中,含噪聲信號經過小波分解以后,信號的能量將會集中在一些幅值較大的小波系數上。相反地,噪聲能量則會分布在整個小波域,這就意味著幅值較小的小波系數很大程度上以噪聲為主。基于這一特點,一般情況下默認幅值較大的小波系數為信號,而幅值較小的小波系數為噪聲。借助小波上述去相關性特征,小波在信號處理、圖像處理、數據分析與預測等[7-11]方面發揮著極其重要的作用。下面簡單介紹一下小波變換的相關定義。一維連續函數r(t)的連續小波變換為：

其中,WTr(a,b) 為相應的小波系數,ψa,b(t)是小波函數,ψ(t)為基本小波,a 是伸縮因子,b是平移因子。另一方面,小波逆變換為

下面簡要敘述一下小波閾值去噪的關鍵步驟：

(1) 分析含噪聲信號特性,選擇合適的小波函數以及分解層數進行小波分解,獲得不同尺度參數下的小波系數Wj,k。

(2) 借助適切的閾值函數以及閾值參數,對獲取的小波系數進行閾值處理。

(3) 針對上述閾值算法處理后的小波系數進行小波重構,進而獲得去噪信號。

2 新閾值函數

縱觀小波閾值算法,閾值函數在去噪結果中發揮著決定性作用。下面我們將給出常規軟、硬閾值函數的定義,并分析其優缺點。

這里,Wj,k為含噪聲信號經過小波分解后得到的小波系數j,k是閾值算法處理后的小波系數, λ為閾值。其常規閾值函數圖像如圖1 所示。

圖1 軟、硬閾值函數圖像

通過閾值函數表達式可以看出,當小波系數絕對值小于閾值時,常規閾值函數都是直接將其變為零,這一處理方法在很大程度上可以有效地去除噪聲。同時,硬閾值函數只關注于較小的小波系數,這意味著硬閾值函數能夠保留原始信號更多的細節特征。然而,硬閾值函數在閾值處是不連續的,這會使得去噪處理后的信號產生局部抖動現象。對于軟閾值函數來說,該閾值函數整體上具有良好的連續性,所以利用軟閾值函數去噪處理后的信號較為平滑。但是,軟閾值函數算法中小波系數存在恒定偏差,進而導致信號去噪精度不高,甚至出現失真的現象。針對傳統軟、硬閾值函數的不足,李樹勛等[9]提出利用指數函數的衰減特性,結合硬閾值函數,通過在指數函數中加入參數來調整閾值函數的陡峭性,進而構造了一種改進的閾值函數,

其中,λ 為閾值, δ （δ ＞0）為調節因子。其函數圖像如圖2 所示。

圖2 文獻[9]閾值函數圖像

上述改進閾值函數通過結合硬閾值函數與指數函數,使得與閾值接近的一部分小波系數能夠被保留,防止了對信號的過度去噪,取得了較好的去噪效果。需要指出的是,當小波系數絕對值大于閾值時,雖然小波系數主要以原始信號為主,但是也有可能含有部分噪聲。為了達到更加理想的去噪效果,必須改進完善硬閾值函數的處理方法,使其盡可能最大程度上消除噪聲。

通過上述關于常規軟、硬閾值函數特性分析,為了取得更優的去噪效果,本文繼承了常規閾值函數的優勢,在文獻[9]閾值函數的基礎上提出了一種新的閾值函數,

這里,α 為新引進的平滑因子。當 α增大時,新閾值函數越來越接近于硬閾值函數。當 α減小時,新閾值函數則變得更加平緩。眾所周知,硬閾值函數在信號去噪處理中可以較好地保留原始信號的細節特征,這就意味著硬閾值處理后的信號不夠光滑。基于這一特征,在借助上述新閾值函數進行信號去噪處理時,如果要保留更多的細節特征,則平滑參數α 可適當增大；若期望得到較為光滑的去噪信號,可以通過減小平滑參數實現。通過上述分析可以得出,新閾值函數的去噪效果一定程度上也依賴于平滑因子的取值。下面給出新閾值函數(α=0.9)與其他幾種閾值函數的對比圖像。

圖3 新閾值函數與文獻[9]閾值函數、硬閾值函數、軟閾值函數圖像對比

從數學表達式以及圖像可以看出：新閾值函數在(- ∞, +∞)是連續的；新閾值函數是以y=x 為漸近線的,即隨著Wj,k增 大,小波系數j,k越來越接近于原始系數Wj,k。同時,新閾值函數在形式上也越來越趨近于常規硬閾值函數。綜上所述,新閾值函數通過引入平滑因子對閾值函數進行重新構造,改進了其對于大于閾值的小波系數的處理方式,理論上提升了信號的去噪質量。新閾值函數在定義域上是連續的,避免了去噪過程中偽吉布斯現象的出現。此外,新閾值函數在接近閾值部分對小波系數進行減弱處理,在遠離閾值部分十分接近硬閾值函數,盡可能保留了信號的有效部分。同時,利用新閾值函數進行信號去噪處理時,可以通過調整平滑參數進行去噪效果優化,這一特點使得新閾值函數就有更強的適應性。

3 仿真實驗

為了驗證本文所提新閾值函數的有效性,借助MATLAB 軟件進行信號去噪仿真實驗。選取Doppler 信號,添加噪聲強度為26dB 的隨機噪聲。在小波閾值算法中小波函數選用sym8 小波,分解層數為5,平滑因子α取值2.36,其去噪結果如圖4、表1 所示。通過觀察圖4可以看出,本文所選Doppler 信號具有非平穩特性,該信號的振蕩頻率逐步由強變弱,且前端部分振蕩極強,故針對此信號的去噪處理具有一定的難度和代表性。

圖4 Doppler 信號去噪結果

表1 信噪比和均方根誤差對比表

由圖4 可以看出,上述四種閾值函數均可以有效地消除噪聲。另外,信噪比作為衡量信號去噪效果的關鍵指標之一,其信噪比數值越大,表示信號去噪效果越好。均方根誤差旨在度量去噪處理后的信號與原始信號的差距,即均方根誤差越小,則去噪處理后的信號越接近于原始信號,去噪效果越好。利用表1 中數據對比常規軟、硬閾值函數、文獻[9]閾值函數、新閾值函數的去噪信噪比以及均方根誤差可以看出,新閾值函數去噪效果最好。為了驗證新閾值函數的一般性,下面采用quadchirp 信號進行處理,添加噪聲強度為19dB 的隨機噪聲,同樣選取sym8 小波函數,分解層數為5,平滑因子取值1.7,其結果如圖5、表2 所示。通過觀察圖5 可以發現,本文所選Doppler 信號以及quadchirp 信號均為非平穩信號。Doppler 信號的振蕩頻率為由強逐漸變弱,而quadchirp 信號的振蕩特性則為由弱變強。特別地,從圖5 還可以看出本文所選的quadchirp 信號在后端部分振蕩頻率極高。眾所周知,噪聲之所以稱之為噪聲,主要是由于噪聲相對于原始信號來說具有更高的頻率,也就是振蕩頻率較高。然而,本文所選的quadchirp 信號在后端具有極高的振蕩頻率,這一點在形式上與噪聲特征一致,這就大大增加了信號去噪的難度。但是,需要特別說明的是,從下述去噪實驗結果可以得出即使針對具有噪聲特征的含噪聲信號,本文所提出的新閾值函數仍然具有較好的去噪性能。

圖5 Quadchirp 信號去噪效果

表2 信噪比和均方誤差的對比表

通過觀察圖5 容易看出,常規閾值函數、文獻[9]閾值函數、新閾值函數都達到了有效去除噪聲的目的。然而,從表2誤差分析可以得出,新閾值函數相對于其他閾值函數具有更高的信噪比,且均方根誤差最小,這就表明了新閾值函數具有更好的去噪效果。

結束語

本文基于小波閾值去噪基本原理,通過分析傳統閾值函數和其他改進閾值函數的特點,提出了一種新閾值函數。新閾值函數不僅保持了常規軟、硬閾值函數的優點,同時又克服上述改進閾值函數的不足。仿真實驗結果表明：新閾值函數相對于其他閾值函數去噪效果更加明顯,具有較強的去噪優勢。