基于偏振光的無人機(jī)航姿LM優(yōu)化解算方法*

孫慶飛，金仁成，劉 忱，黃啟鵬

(大連理工大學(xué) 遼寧省微納米技術(shù)及系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

0 引言

傳統(tǒng)組合導(dǎo)航系統(tǒng)多是以由陀螺儀和加速度計(jì)組成的慣導(dǎo)單元為基礎(chǔ)，結(jié)合磁力計(jì)和GPS來實(shí)現(xiàn)無人機(jī)航姿解算、導(dǎo)航和定位[1]。雖然GPS及磁力計(jì)能夠在很大程度上提高導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)角解算精度并獲得航向信息，但這兩種傳感器都極易受到自身機(jī)載電路及周圍電磁場的干擾，軍事上GPS甚至?xí)艿綌撤降墓襞c誘導(dǎo)，失去工作能力。因此，近些年針對無人機(jī)導(dǎo)航系統(tǒng)抗干擾和自主性的研究成為行業(yè)熱點(diǎn)，具有無源自主特點(diǎn)的仿生傳感器也在導(dǎo)航領(lǐng)域得到了應(yīng)用和推廣。

偏振光傳感器仿照蜜蜂、沙蟻等生物利用大氣偏振分布進(jìn)行導(dǎo)航尋蹤，獲取太陽光經(jīng)過大氣散射之后產(chǎn)生的偏振信息替代GPS或磁力計(jì)，輔助慣導(dǎo)系統(tǒng)完成航向信息的獲取與解算，具有自主性、不受電磁等外在干擾的優(yōu)勢[2]。2012年，澳大利亞學(xué)者Chahl J等[3]對固定翼無人機(jī)進(jìn)行了偏振導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)。2014年，中科大與中科院先進(jìn)制造所將偏振光傳感器加載至車載導(dǎo)航系統(tǒng)[4]。2020年，蔚彥昭[5]設(shè)計(jì)了梯度及共軛梯度算法，有效提高了偏振光與微慣導(dǎo)組合導(dǎo)航系統(tǒng)的姿態(tài)解算精度。

本文引入列文伯格-馬夸爾特(Levenberg-Marquardt，LM)算法，對偏振光傳感器和慣導(dǎo)元件輸出值進(jìn)行融合與求解，獲得三維姿態(tài)角信息。并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提LM法相較于梯度法(GG)、共軛梯度法(CG)以及牛頓法(Newton)具有更穩(wěn)定的靜態(tài)性能和更小的動(dòng)態(tài)解算誤差。

1 太陽偏振光定姿模型

1.1 三維坐標(biāo)系分布

設(shè)載體坐標(biāo)系為b系，導(dǎo)航坐標(biāo)系為n系，慣性坐標(biāo)系為i系，地球坐標(biāo)系為e系，無人機(jī)的姿態(tài)切換主要是載體坐標(biāo)系(b系)和導(dǎo)航坐標(biāo)系(n系)之間的坐標(biāo)變換。在太陽偏振光測量模型中引入偏振傳感器坐標(biāo)系(m系)和太陽坐標(biāo)系(p系)。各坐標(biāo)系的位置關(guān)系及偏振光測量模型如圖1所示。

圖1 各坐標(biāo)系位置關(guān)系及偏振光測量模型

圖1(b)中,瑞利散射最大偏振矢量E始終垂直于太陽矢量S和觀測矢量Z所構(gòu)成的平面，據(jù)此創(chuàng)建偏振光理論測量模型。

1.2 偏振角定姿原理

(1)

(2)

(3)

2 基于LM的航姿優(yōu)化解算方法

LM法是使用最廣泛的非線性最小二乘算法之一，是利用梯度求最大/小值的算法，同時(shí)具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)。無人機(jī)在靜止或勻速環(huán)境中，通過加速度計(jì)和偏振光傳感器獲取實(shí)測重力和偏振矢量，由慣性導(dǎo)航原理與偏振矢量導(dǎo)航原理算得理論重力矢量和理論偏振矢量，通過理論與實(shí)測之差構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，并通過LM優(yōu)化理論求解目標(biāo)函數(shù)在局部最小值時(shí)的解作為最優(yōu)的四元數(shù)解，補(bǔ)償陀螺儀輸出值，進(jìn)而解算出最終姿態(tài)估計(jì)值。

2.1 矢量誤差函數(shù)

(4)

(5)

(6)

由重力和偏振模型組合獲得綜合誤差函數(shù)F及其對應(yīng)的雅克比矩陣J，進(jìn)一步獲得函數(shù)梯度F：

(7)

2.2 LM優(yōu)化解算方法

LM法是一種非線性無約束最優(yōu)化算法，利用該算法對無人機(jī)的航姿進(jìn)行解算對其飛行過程中受到的噪聲干擾和陀螺儀漂移問題具有明顯抑制作用，不需要考慮非線性模型轉(zhuǎn)換成線性的問題。LM法使用的梯度方向與GG、CG等算法相同，將函數(shù)梯度F作為收斂方向，其中步長λk的選取類似于高斯牛頓法，由JTJ求得，為了避免出現(xiàn)奇異性，加入了調(diào)節(jié)因子μ，即：

λk=(JTJ+μI)-1.

(8)

其中：I為四階單位矩陣。

調(diào)節(jié)因子μ的取值決定了算法的收斂方式，μ值較大時(shí)收斂過程與GG相似，使求解函數(shù)快速收斂至目標(biāo)點(diǎn);μ值較小(接近于零)時(shí)幾乎與高斯牛頓法相同，以減慢下降速度，使收斂平穩(wěn)進(jìn)行。μ的調(diào)整是通過參數(shù)ρ實(shí)現(xiàn)的：

(9)

ρ的分子部分為求解函數(shù)實(shí)際的下降速率，分母部分可看作求解函數(shù)下降速率的近似值。ρ值大于0時(shí)，尤其ρ值接近1時(shí)，表明近似值可信，減小μ值，增大步長；ρ小于0時(shí)，表明近似值不準(zhǔn)確，增大μ值，縮短步長。

得到μ值后，重新計(jì)算步長λk，更新四元數(shù)微分方程，獲得最終姿態(tài)四元數(shù)：

(10)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 飛控平臺(tái)

實(shí)驗(yàn)飛控系統(tǒng)測量單元搭載慣導(dǎo)單元MPU6000、磁力計(jì)HMC5883和偏振光傳感器。將飛控系統(tǒng)放置于精密轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行測試實(shí)驗(yàn)，以慣導(dǎo)單元和磁力計(jì)輸出姿態(tài)信息為參考值，與轉(zhuǎn)臺(tái)精確姿態(tài)輸出值進(jìn)行對比，驗(yàn)證參考值的準(zhǔn)確性。精密轉(zhuǎn)臺(tái)測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 精密轉(zhuǎn)臺(tái)測試結(jié)果

由圖2(b)誤差曲線可知，飛控系統(tǒng)輸出誤差小于1°，可以將其作為參考值。本文使用LM算法融合慣導(dǎo)與偏振光求解三維姿態(tài)角，將解算值與參考值對比，驗(yàn)證LM算法可靠性。在大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院東樓樓頂(121.528 255 °E，38.881 419 2°N)分別進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)。

3.2 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)及分析

2021年5月21日下午17：29，晴，查天文歷表得知：太陽方位角18.41°，太陽高度角-78.43°。將飛控平臺(tái)置于地面360 s，靜態(tài)解算結(jié)果如圖3所示。

圖3 靜態(tài)解算結(jié)果

為了更直觀地查看各方法解算效果，得到靜態(tài)環(huán)境下各算法所求姿態(tài)角的均值和方差，如表1所示。

表1顯示，Newton法作為穩(wěn)定收斂算法，在靜態(tài)性能上具有一定優(yōu)勢，而LM算法靜態(tài)特性好于GG、CG等梯度算法，接近于Newton法，求解均值接近參考均值，且具有更小的均方差。

表1 靜態(tài)環(huán)境下姿態(tài)角均值與方差 (°)

3.3 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)及分析

2021年5月21日下午18:05，晴，查天文歷表得知：太陽方位角11.63°，太陽高度角-73.23°。將飛控平臺(tái)置于轉(zhuǎn)動(dòng)空間220 s，動(dòng)態(tài)解算結(jié)果如圖4所示，動(dòng)態(tài)解算誤差曲線如圖5所示。

圖4 動(dòng)態(tài)解算結(jié)果

圖5顯示，LM動(dòng)態(tài)解算精度相較于其他三種算法的橫滾角、俯仰角和航向角分別至少提升51.7%、40.9%和44.7%。

圖5 動(dòng)態(tài)解算誤差曲線

4 結(jié)論

本文將LM算法應(yīng)用到基于偏振光和慣導(dǎo)的組合導(dǎo)航系統(tǒng)，解算的三維姿態(tài)信息在靜態(tài)環(huán)境中具有良好的穩(wěn)定性，能有效濾除機(jī)體噪聲帶來的擾動(dòng)干擾；相較于傳統(tǒng)算法，動(dòng)態(tài)性能有了40%以上的提升，為提高組合導(dǎo)航系統(tǒng)姿態(tài)解算性能提供了一種可靠的算法參考。

因?yàn)槭噶空`差模型是在無非重力加速度干擾情況下構(gòu)建的，所以在實(shí)際飛行過程中加速度的產(chǎn)生會(huì)影響解算精度，下一步工作將重點(diǎn)研究如何降低非重力加速度對誤差模型的干擾。