基于問題驅動 探索教學設計

曾玲莉 邵勇

摘 ?要：問題驅動教學法從“以問題為基礎的學習”模式拓展而來，它是強調在課堂教學中突出師生雙主體互動，以問題為導向，以探究問題解決之道為核心展開的教學方法。文章通過高等數學中“極坐標系下平面圖形面積計算”這節教學實例的解析反思，探索如何設計恰到好處的數學問題，將問題驅動教學法有效運用到高等數學的課堂教學中，進而提高學生發現、分析、解決問題的能力，促進創新型人才的培養。

關鍵詞：問題驅動教學法;高等數學;極坐標系下平面圖形面積計算

中圖分類號：G640 ? ? ? 文獻標志碼：A ? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2022）18-0050-04

Abstract： The Problem-Based Learning is expanded from the model of "problem-based learning". It is a teaching method that emphasizes the interaction between teachers and students in classroom teaching， is problem-oriented， and takes exploring the solution of problems as the core. Through the analysis and reflection of the teaching example of "plane figure area calculation under polar coordinate system" in higher mathematics， this paper explores how to design the appropriate mathematical problems， and effectively applies the problem driven teaching method to the classroom teaching of higher mathematics， so as to improve the students' ability of finding， analyzing and solving problems， and promote the cultivation of innovative talents.

Keywords： Problem-Based Learning; advanced mathematics; area calculation in polar coordinate system

問題驅動教學法（Problem-Based Learning）也稱作“以問題為基礎的學習”，旨在使學習者構建起寬厚靈活的知識基礎，發展協同高效的問題解決技能，培養其獨立自學、動手實踐、團隊合作、終生學習等全方位的能力，問題驅動教學模式最早可追溯到20世紀50年代[1]。問題驅動教學法要求教育者將學習與問題掛鉤，以當前需要解決的問題為學習者的學習起點，讓學習者在相對真實的、復雜的和有意義的問題情景中采取自主探究、相互合作的方式解決問題，從而學習問題涉及到的學科理論，掌握解決問題的技能。起初廣泛運用于醫學教育領域，后來，因其以學習者為中心，又面向全體學習者，力求達成教與學的最優化結合而逐步發展成為跨學科的教學方法。

正如著名數學教育家波利亞（George Polya）強調“問題是數學的心臟”，一切數學教學活動必定始于問題。問題驅動教學法這種以問題為導向引領教學目標、以問題為核心設計教學內容、以探究問題解決之道而開展的教學方法，能激發學習者的求知欲，活躍學習者的數學思維，增強學習者課堂參與度，提高學習者的學習主動性，使其對個人的學習自然反饋、有效評價，進而達成人人學有價值的數學，實現高等數學科學思維現代化培養的戰略目標[2]。

一、極坐標系下求平面圖形面積問題驅動教學法的嘗試

2019年7月12日，科技部辦公廳、教育部辦公廳、中科院辦公廳、自然科學基金委辦公室聯合制定并印發了《關于加強數學科學研究工作方案》，這一方案的出臺，充分體現了國家層面對國民教育中學習者數學能力提升的強烈要求。改革開放短短數十年，社會發展變革一日千里，未來是可預見的科技未來，而科技一刻也離不開數學。無論哪個領域的先進技術，背后的支撐不都是數學在發揮作用？比如，長征五號火箭的推力要用數學計算加以明確;嫦娥五號探測器的各部分體積、曲率要通過數學方法得到精確值;衛星的發射時間窗口要用數學反復計算預演……顯而易見，數學在科學系統中的基礎地位越筑越牢靠，高等數學更成為大學課程體系中非數學專業用以構建學習者理性思維和培養學生數學素養的核心學科。其嚴謹的思維方式和解決問題的科學方法更是成為支撐學生適應未來社會多樣性變革需求的可持續發展潛能之一。本節將以定積分知識為基礎，從求解極坐系下平面圖形面積問題切入，結合教學實踐與課后反思，提煉出采用問題驅動教學法處理的一些做法和體會。

（一）課前分析，宏觀掌控

問題驅動教學法對問題的選擇必須要考慮到學習者的知識儲備、技能水平和動機態度。“極坐標系下平面圖形面積計算”是在學完定積分概念及直角坐標系下平面圖形面積計算后的內容。在高等數學中，定積分的概念高度抽象，基礎理論知識容量大，但用定積分解決相關問題的計算方法卻簡單明了。可如今高等數學教材的內容體系，一般都是在介紹具體操作之前，給出一大堆理論準備，教師直接講授讓學生如盲人摸象，只見樹木不見森林，把簡潔明了的方法肢解成一個個生硬的抽象符號，聽起課來如墜云霧。即使等到某些學生開始摸清全貌豁然開朗，這種不斷完善豐富的定積分基礎理論知識，卻早已使大部分學生因超負荷的數學抽象思維而不得不在死記硬背中喪失掉學習數學的積極性。鑒于此，本節內容展開之前我們應重點關注學生對定積分計算方法技巧的掌握以及對直角坐標下平面圖形面積計算微元法的理解。教師對這個學情的把握，結合問題驅動教學法中問題的形成、設計和采用：粗放的處理方式，可以在課前布置預習任務;精細的處理方式，可以通過課前小測驗，讓學生用已掌握的定積分方法求解圓x2+y2=r2圍成的平面圖形面積。對于這兩個處理方式（問題）的設計，主要還是基于訓練和加強學生主動學習的能力，激發學生的學習動機，以便可以喚起學生對定積分內容最基礎的知識儲備，由此引起學生自我檢視該模塊的掌握情況，對師生的教與學都能起到查漏補缺的作用，從而達到教學相長的實效。

（二）循序漸進，確立目標

問題驅動教學法對問題的選擇除了必須能引導學生引出所學概念和理論知識外，還要考慮到課堂教學目標。我國著名數學教育家張奠宙教授將數學學習內容梳理為三種形態：“第一，數學家構建數學思想、發現數學定理時的原始形態;其次，公開發表，寫在論文、教科書里的學術形態;最后，數學教師在課堂上向學生講課時的教育形態”[3]。對于課堂教學目標的設計，這句話給我們指明了行之有效的方法，就是教育者如何將寫在論文、教科書里的學術形態，通過數學課堂上師生之間的教學互動，展現出數學家構建數學思想、發現數學定理的“原始形態”。本節課的教學目標就是期望學生在掌握定積分運算法則及直角坐標系下微元法求平面圖形面積的基礎上，以原有概念、理論和策略進一步使學生遷移到極坐標系下求平面圖形的面積。從這個角度出發，首當其沖需要解決的問題便是熟悉了定積分運算法則，掌握了直角坐標系下平面圖形面積的求法，為什么還要學習極坐標系下平面圖形面積的求解？這個問題過渡的順利與否，直接關系到學生對定積分解決平面圖形面積問題應用觀念的通達。我們在這里還是圍繞用定積分方法求解圓x2+y2=r2圍成圖形的面積問題來鋪墊。顯然通過上一節內容的學習，學生能基本掌握直角坐標系下圓的面積計算方法，也更能切身體會到直角坐標系下圓的面積計算處理方式的繁瑣程度。在問題驅動教學法中教師設計的問題需要是開放性的，教師對問題的答案不能限定于唯一的標準，而學生解決問題的過程性活動又是他們相對不難勝任的。如此，教師就需要及時幫襯、提示和點撥學生，讓學生通過翻查資料、動手操作、相互討論以及自我反思來獲取和理解這種解法繁瑣的根源出在什么地方，爭取讓每個學生都提出自己的觀點和想法，并嘗試引導學生印證發現，解決問題的“原始形態”主要還是由于坐標系的原因引起了解析式的不同，進而造成了計算形式的繁瑣。這樣的邏輯思辨，以問題為導向的設計，讓學生去自然而然地探究隱藏于數學問題中的“原始形態”，平面圖形面積的求解，不同坐標系下繁簡有別。

（三）引入實例，探究問題

原東北師范大學史寧中教授認為“數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型”[4]。本課在前一問題引導下，解決了為什么要引入極坐標系。接下來，在學生自主獲取了這個認知后，通過抽象數學與現實建筑的聯系，拋出計算立交橋綠化面積的實際問題，作為學生本節課的學習起點，讓學生在相對真實、復雜和有意義的問題情境中采取自主探究、相互合作的方式，充分發揮自己的獨立性、主動性和創造性，建構問題解決涉及到的新知識，反復實踐反思，最終學會極坐標方程與直角坐標方程的互化，掌握極坐標系下面積微元的表示，進而獲得解決平面圖形面積問題的基本方法途徑。

詳細教學設計過程如下。

首先展示“南京玄武大道立交”圖片，給出求解中間綠化區域面積問題。雖然該問題的提出是由教師完成，但后續如何將這一看似簡單卻毫無數據的實例轉變成能用所學知識解決的數學問題，需要讓學生自己去探索。我們鼓勵學生動手描出立交橋綠化區域中蘊含的曲線圖，去通過自己搜尋數據嘗試構造數學模型。譬如，教師可以讓學生用智能手機網上搜索“南京玄武大道立交”工程設計圖，也可以在學生明確解決問題需要的資料后主動提供設計圖，潛移默化地培養學生的數學意識和數學思維，樹立用數學語言探索實際問題的信心（如圖1所示）。

圖1 數學模型

其次，在學生普遍將綠化區域對應成四葉玫瑰線圍成的面積模型后，根據教學目標，給出直角坐標系下曲線的方程（x2+y2）3=a2（x2-y2）2，并設計如下一系列問題：

（1）如何在直角坐標系下計算四葉玫瑰線所圍成圖形的面積？有何困難之處？

（2）四葉玫瑰線的極坐標方程是什么？

（3）直角坐標系下曲邊梯形面積的求解理論是什么？

（4）是否可類比問題（3）的求解理論，得到極坐標系下曲邊扇形面積的求解理論？

（5）如何用微元法計算極坐標系下四葉玫瑰線所圍成圖形的面積？

基于學生已掌握直角坐標系下微元法求平面圖形面積的學情，教師可以讓學生獨立思考問題（1）。但由于曲線方程的顯示表達式難以給出，即便是利用對稱性只考慮第一象限的二分之一部分，也很難計算出結果。我們需要尋求其他方式，提示學生轉換坐標系，解答問題（2）。學生很容易得到四葉玫瑰線的極坐標方程為？籽=a·cos（2？茲）。讓其切身體會不同曲線在不同坐標系下的繁簡差異。那么，如何計算極坐標系下平面圖形的面積呢？先引導學生回顧問題（3）的解答，再讓學生分組討論，類比問題（3），大膽嘗試，探究問題（4）的求解方法。討論過程中可以適當引導學生注意面積微元從小矩形面積向小扇形面積的過渡。然后，教師針對學生討論結果，進行反饋，給出極坐標系下曲邊扇形面積的求解理論（如圖2所示）。最后，鼓勵學生學以致用，嘗試求解問題（5），即課堂開始的綠化面積求解問題。

問題是思維的動力，而解題是數學課堂中最基本的教與學，貫穿整個數學課堂教學過程的問題求解活動正是促使學生獨立自主學習的動力所在，亦是學生持續付出努力的最佳途徑。經過以上過程，學生順理成章地理解并掌握極坐標系下求平面圖形面積求解的微元法。同時，讓學生體會數學研究的具體方法和過程，有利于培養學生科學思維的能力，提高學生自主探索的意識，激發學生學習數學的興趣。

二、極坐標系下求平面圖形面積的兩個要點

雖然極坐標系下平面圖形的面積求解問題所需要的知識都已經在前面提到，但作為方法運用上的新內容，教師有必要對學生在問題解決過程中出現的新基礎知識和新解題技能實施恰當的協調、歸納、整合及提煉。比如本節內容，我們需要重點關注：（1）積分表達式（即面積微元）的確定;（2）積分上下限（即極角范圍）的確定[5]。

三、課堂教學中問題驅動教學法的優勢與缺陷反思

基礎教育新課程改革倡導教育者關注學生的學習過程，關注學生的情感世界和情感體驗，關注學生發現問題、分析問題、研究問題和解決問題的能力，并強調改革成敗的重點指標就是學生學習方式的轉變，而這些要求都與問題驅動教學法的思想非常符合。問題驅動教學法基于現實生活地情境設計，將學習與要解決的真實問題掛鉤，強調以問題解決為中心，鼓勵自主探究;強調多種學習途徑相整合，鼓勵對學習內容和過程的批判性反思;強調社會性交流合作的作用，鼓勵協作與爭論;強調教師支持與引導，激發和維護學生的高水平思維。不過，作為教育工作者，我們要清醒把握“教學是一種藝術而不是技術”的原則，因此，與傳統教學方法對比，問題驅動教學法有其突出優勢，亦有其不適應的缺陷。

（一）問題驅動教學法的優勢

1. 問題驅動教學法的課堂教學中，使學生面對具體的真實問題，這個接近實際的問題情境與學生所具備的背景知識和生活經驗密切相關。真實問題情境能夠在教學目標要求的學習內容和學生當前所處的求知心理之間設置一種聯系，將學生較快引入獲取新知識的過程中;貼近學生生活經驗的真實問題能夠激發學生的學習動機，調動個體主觀能動性，長久保持數學學習興趣;獲取新知識的問題情境與未來應用知識解決問題的情境高度相似，能加快知識提取和技能應用的遷移，提高學生對知識的綜合實踐和自主學習能力。

2. 問題驅動教學法的課堂教學中，“以學生為主體、以教師為主導、以問題為中心”，在教師的全程把控和指導下，讓學生借助圖書館、學習軟件、文獻檢索、音頻影視、實物模型以及移動互聯網等多種形式獨立自學、動手實踐，并通過與同伴、教師的合作、交流，不斷反思、評價，不斷調整自己思維定式的學習習慣和思考方式，在獲取新知識的過程中形成解決問題的技能，從而讓學生更加善于獨立思考、主動學習，如此良性循環，能有效地促使學生成為獨立自主的學習者。

3. 問題驅動教學法的課堂教學中，學生依靠簡單提取自身現有知識儲備不足以達到解決問題的目標狀態，需要經過一定努力，激發聯想，喚醒長時記憶中的相關知識、經驗或表象，進而確定研究范圍，誘發研究動機，使學生能充分利用自己原有認知結構中的背景知識與解題經驗去同化當前問題情境中的新知識，并在賦予新知識某種意義的同時，將自身先前具備以及后來學到的學科概念和理論知識相互滲透，融會貫通，從而培養學生以問題解決為中心的發散思維和橫向思維，大大提升學生靈活運用“學術形態”知識的能力，使學生在獲取知識技能過程中逐步具備發現問題、分析問題、研究問題和解決問題的能力。

（二）問題驅動教學法的缺陷

1. 問題驅動教學法的課堂教學中，來自于現實生活世界的問題情境雖然容易引發學生共鳴，但不合適的真實問題往往會將課程內容幼稚化或者使問題討論偏離教學目標要求的主線任務，造成教學過程與結果無法兼顧平衡，特意強調過程而輕視知識的掌握。因此，恰到好處的問題設計非常重要。

2. 問題驅動教學法的課堂教學中，一個只需要幾分鐘講解的問題，讓學生自己搜集資料、分析研討、得出方案可能會花上數小時;并且，不僅僅真實問題情境的創設需要教師花費大量時間，在解決問題的教學過程中，教師的全程把控、協調、幫困、引導和評價都比較耗費時間。

3. 問題驅動教學法的課堂教學中，師生局限于同一課堂，搜索信息的來源不暢，獲取資料的數量與質量相當有限;同一個班級學生的思維同質性相對較高，問題思考討論難以達到深層次思維，導致問題解決的技能缺乏創造性;整個課堂教學需要師生具有很強的綜合素質，教學成本更高。

四、結束語

本文針對極坐標系下平面圖形面積計算知識點，在摸清學生知識儲備基礎上，以立交橋綠化面積計算的實際問題為切入點，采用問題驅動教學法，設計一系列問題情境，期望學生逐步理解掌握極坐標系下平面圖形面積求解的微元法，變被動接受為主動思考，提高自身發現問題、分析問題、解決問題的能力。問題驅動教學法重新詮釋了傳統的“粉筆+黑板”模式，更能突出課堂“學生主體、教師主導”，將師生的教與學在問題解決中有機結合，尊重學生個性差異、情緒生活，營造學習方法與解題策略多樣化，做到“參與、互動、提高”，人人學有價值的數學。

參考文獻：

[1]周忠信，陳慶，林藝雄，等.PBL教學模式的研究進展和現實意義[J].醫學與哲學，2007（8）：72-74.

[2]袁勇.問題驅動式教學模式在理工類高等數學中的應用探索[J].教育與教學研究，2015，29（9）：82-85.

[3]張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數學研究，2006（2）：2-4.

[4]張繼勇.核心素養在高中數學課堂教學中體現與落實[J].新課程（下），2018（2）：16.

[5]同濟大學數學系.高等數學（第7版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2014.