基于Wiener 過(guò)程首超概率的結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估

張熙

（長(zhǎng)沙礦冶研究院有限責(zé)任公司，湖南長(zhǎng)沙 410012）

0 引言

混凝土結(jié)構(gòu)耐久性退化的研究是工程界和學(xué)術(shù)界關(guān)注的重要課題。 對(duì)于一些傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，即使結(jié)構(gòu)退化和損傷機(jī)理非常清晰，但其退化和損傷過(guò)程在使用壽命期間仍會(huì)表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性。 因此從隨機(jī)過(guò)程的角度來(lái)模擬結(jié)構(gòu)的退化和損傷過(guò)程是十分必要的[1]。

基于隨機(jī)過(guò)程理論，學(xué)界提出了許多模型來(lái)模擬結(jié)構(gòu)關(guān)鍵指標(biāo)的退化，如Gamma 過(guò)程模型、路徑退化模型、Wiener 過(guò)程模型、累積損傷模型、純跳躍過(guò)程模型、擴(kuò)散過(guò)程模型。Wiener 過(guò)程模型由于具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)受到很多學(xué)者的青睞，在工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-3]。 Doksum[4]首次將Wiener 過(guò)程應(yīng)用于工程領(lǐng)域，研究了Wiener 過(guò)程退化產(chǎn)品的可變應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀iu[5]基于維納過(guò)程對(duì)復(fù)合材料在高周彎曲疲勞載荷作用下的劣化行為進(jìn)行了研究。 在研究結(jié)構(gòu)退化方面，Wiener 過(guò)程同樣扮演著重要角色。如Wang[6]通過(guò)考慮退化率與退化變量的比例關(guān)系，提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)維納過(guò)程模型，用于結(jié)構(gòu)剩余使用壽命在線預(yù)測(cè)。 Li[7]提出了一種基于維納過(guò)程變異系數(shù)的一致性檢驗(yàn)方法來(lái)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的剩余使用壽命，并通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和經(jīng)典裂紋退化數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證。Wang[8]提出了一種基于時(shí)間尺度變換的二元維納退化過(guò)程的自適應(yīng)剩余壽命估算方法,并通過(guò)一個(gè)疲勞裂紋的數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

Wiener 過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程中的經(jīng)典模型，由于良好的解析性質(zhì)得到廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，基于維納過(guò)程的工程結(jié)構(gòu)性能退化和剩余壽命預(yù)測(cè)的研究變得越來(lái)越重要。 本文以Wiener 過(guò)程為研究對(duì)象，從Wiener 過(guò)程的對(duì)稱性推導(dǎo)了其首次超越概率的精確解析解，為后續(xù)結(jié)構(gòu)耐久性的評(píng)估打下理論基礎(chǔ)。然后通過(guò)自相關(guān)函數(shù)法對(duì)比Wiener 過(guò)程和混凝土動(dòng)彈性模量退化過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)圖像，進(jìn)而以Wiener 過(guò)程對(duì)動(dòng)彈性模量的退化過(guò)程進(jìn)行建模。 最后，以某案例為例，評(píng)估了不同服役年限下結(jié)構(gòu)的耐久性，驗(yàn)證本文所提方法的正確性。

1 Wiener 過(guò)程首超概率分析

1.1 Wiener 過(guò)程定義

隨機(jī)過(guò)程{X（t），t≥0}的狀態(tài)空間為E=（-∞，∞），如果滿足下列數(shù)學(xué)模型：

（1） X（t）是一個(gè)平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；

（2） 任意增量X（t）-X（s）服從均值為μ（t-s），方差為σ2|t-s|（σ〉0）的正態(tài)分布，如：

則稱隨機(jī)過(guò)程{X（t），t≥0}為Wie ner 過(guò)程。 廣義Wiener 過(guò)程均值為μt，方差為σ2t，參數(shù)μ 為漂移系數(shù)，σ 為擴(kuò)散系數(shù)。當(dāng)μ=0，σ=1 時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)Wiener 過(guò)程。

在動(dòng)態(tài)環(huán)境中，由于各種因素的影響，結(jié)構(gòu)性能會(huì)隨著時(shí)間的推移而遭到破壞。大量試驗(yàn)表明[9-10]，混凝土結(jié)構(gòu)性能退化過(guò)程是由許多隨機(jī)小損失疊加的過(guò)程，當(dāng)損失達(dá)到一定閾值后，結(jié)構(gòu)失效。 故結(jié)構(gòu)性能退化過(guò)程應(yīng)看作一個(gè)具有不確定性的隨機(jī)過(guò)程[11]，用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述結(jié)構(gòu)某關(guān)鍵指標(biāo)的退化過(guò)程能更好反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。 Wiener 過(guò)程的良好數(shù)學(xué)性質(zhì)和解析特性能較好描述非單調(diào)退化過(guò)程，若混凝土材料和結(jié)構(gòu)的退化過(guò)程符合Wiener，那么就能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)失效的概率。

1.2 基于Wiener 對(duì)稱性的首超概率推導(dǎo)

Wiener 過(guò)程在任意狀態(tài)滿足對(duì)稱性，即當(dāng)X（t0）=x0時(shí)，后續(xù)狀態(tài)X（t0+t）≥x0和X（t0+t）≤x0都以等概率發(fā)生，如下：

令Wiener 過(guò)程首次超越閾值b 的時(shí)間Tb呈現(xiàn)為：

根據(jù)全概率公式可知：

由于Wiener 過(guò)程的連續(xù)性[12]，上式右邊第二項(xiàng)P{X（t）≥b|Tb〉t}=0。 因此：

根據(jù)Wiener 過(guò)程的對(duì)稱性，當(dāng)Tb≤t 或X（Tb）=b，{X（t）≥b}和{X（t）≤b}的概率是相等的，為：

將式（5）帶入式（4），可得：

將式（7）帶入式（6）可得：

式（8）即為Wiener 過(guò)程首次超越概率分布的解析表達(dá)式。 由首超概率分布函數(shù)可得首超概率密度函數(shù)：

式中，I［0，∞）（t）代表反正態(tài)分布函數(shù)。

故Wiener 過(guò)程在[[0，T]時(shí)段內(nèi)的失效概率為：

Wiener 過(guò)程在[0，T] 時(shí)段內(nèi)的可靠概率為：

2 基于首超概率的結(jié)構(gòu)剩余壽命及可靠性評(píng)估

2.1 混凝土耐久性退化機(jī)制

在自然環(huán)境中，溫度會(huì)產(chǎn)生周期性的升高或降低，導(dǎo)致凍融循環(huán)引起結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷。 當(dāng)溫度下降時(shí)，混凝土中的孔隙水結(jié)成冰，導(dǎo)致體積膨脹，當(dāng)混凝土處于水飽和狀態(tài)時(shí)由于孔徑較小，凝膠孔中溫度較低的水不會(huì)結(jié)冰，而毛細(xì)管孔內(nèi)的水則會(huì)結(jié)冰。 由于凝膠孔和毛細(xì)管孔中兩種蒸發(fā)壓力的不同，混凝土將同時(shí)承受壓力和滲透壓。 當(dāng)壓力或滲透壓超過(guò)混凝土既定強(qiáng)度時(shí)，孔隙壁破壞從而導(dǎo)致混凝土內(nèi)部裂縫。 然后，混凝土內(nèi)部裂縫繼續(xù)擴(kuò)展直到裂縫之間相互滲透，這一過(guò)程會(huì)導(dǎo)致混凝土強(qiáng)度下降。 現(xiàn)階段，混凝土強(qiáng)度的降低或裂縫的發(fā)展可以通過(guò)混凝土動(dòng)彈性模量的變化來(lái)反映，因此混凝土動(dòng)彈性模量可以視為混凝土結(jié)構(gòu)耐久性退化的合理指標(biāo)[13]。 文獻(xiàn)[14]通過(guò)快速凍融試驗(yàn)測(cè)量了混凝土動(dòng)彈性模量和抗壓強(qiáng)度，得到了兩者之間的關(guān)系曲線。文獻(xiàn)[15]以摻有粉煤灰的混凝土為研究對(duì)象，通過(guò)測(cè)量混凝土動(dòng)彈模的損傷，發(fā)現(xiàn)混凝土動(dòng)彈模隨時(shí)間的增加而增加，當(dāng)損失達(dá)到規(guī)定閾值時(shí)，混凝土性能失效。

假定混凝土動(dòng)彈性模量在時(shí)段內(nèi)的退化量為X（△t）=X（t1+△t）-X(t1)，X（△t）是混凝土中許多隨機(jī)且獨(dú)立的小損失累積量，顯然，X（△t）是一個(gè)隨機(jī)變量。 根據(jù)中心極限定理，若被研究的隨機(jī)變量是大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起到微小的作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布[16]，故X（△t）近似服從正態(tài)分布。

圖1 為混凝土相對(duì)動(dòng)彈性模量隨時(shí)間的變化曲線[17]。由圖1 可知，混凝土相對(duì)動(dòng)彈性模量（t 時(shí)刻動(dòng)彈性模量/初始動(dòng)彈性模量）在0～10 天內(nèi)不斷下降，但10～20天時(shí)動(dòng)彈性模量有恢復(fù)的趨勢(shì)。故混凝土動(dòng)彈性模量的變化是一個(gè)非單調(diào)的發(fā)展路徑，而Wiener過(guò)程適用于描述非單調(diào)遞減過(guò)程（圖2）。

圖1 混凝土相對(duì)動(dòng)彈模退化曲線

圖2 Wiener過(guò)程樣本路徑

2.2 混凝土動(dòng)彈性模量退化過(guò)程的識(shí)別

隨機(jī)過(guò)程有限維概率分布族函數(shù)能代表一個(gè)隨機(jī)過(guò)程既有的統(tǒng)計(jì)特性，并且隨著維度的增加，隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性也越精確。但實(shí)際中，n 維隨機(jī)過(guò)程的概率分布函數(shù)難以計(jì)算。 因此，工程上多研究隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征。 其中，自相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過(guò)程的一項(xiàng)重要數(shù)字特征，它代表隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的相互聯(lián)系。文獻(xiàn)[18]通過(guò)對(duì)比Wiener 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，將產(chǎn)品性能退化過(guò)程建模為Wiener 過(guò)程。 研究表明，若性能退化數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)圖像與Wiener 過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)圖像在一定程度上相似，便可對(duì)其進(jìn)行Wiener 過(guò)程建模。

已知Wiener 過(guò)程自相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為：

根據(jù)MATLAB 繪制其自相關(guān)函數(shù)圖像，如圖3 所示。

根據(jù)已有的加速退化試驗(yàn)結(jié)果，混凝土相對(duì)動(dòng)彈性模量的退化增量數(shù)據(jù)如表1 所示，測(cè)量的時(shí)間間隔為7 天。

表1 相對(duì)動(dòng)彈模損失經(jīng)時(shí)變化

樣本在時(shí)刻tj的動(dòng)彈模損失均值公式為：

則樣本自相關(guān)函數(shù)的矩估計(jì)為：

根據(jù)式（13）、（14）及表1，利用MATLAB 軟件繪制相對(duì)動(dòng)彈模損失的自相關(guān)函數(shù)圖像，如圖4 所示。

對(duì)比圖3 和圖4，發(fā)現(xiàn)兩自相關(guān)函數(shù)圖像相似。 接下來(lái)將混凝土相對(duì)動(dòng)彈性模量的損失建模為Wiener 過(guò)程，利用Wiener 過(guò)程首次超越公式對(duì)結(jié)構(gòu)的剩余壽命及可靠性進(jìn)行評(píng)估。

圖3 Wiener自相關(guān)函數(shù)

圖4 混凝土動(dòng)彈性模量損失的自相關(guān)函數(shù)圖像

2.3 剩余壽命及可靠性評(píng)估

令W(t)作為結(jié)構(gòu)在t 時(shí)刻的退化量（與未損傷狀態(tài)相比），隨機(jī)過(guò)程{W(t)，t≥0}代表結(jié)構(gòu)退化時(shí)變量。 由2.2 節(jié)可知，{W(t)，t≥0}可進(jìn)行Wiener 過(guò)程建模。 結(jié)構(gòu)在一定時(shí)間t 的退化失效概率可由退化量W(t)和失效閾值b 確定，表示為P{W(t)≤b}。 根據(jù)退化失效的定義，結(jié)構(gòu)的剩余使用壽命T，即為W(t)首次到達(dá)閾值b的時(shí)間。 因此，T 可以表示為：

根據(jù)1.2 節(jié)的分析，T 服從反正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)為：

進(jìn)而，結(jié)構(gòu)在[0,t]時(shí)段內(nèi)的耐久性可靠度為：

如果結(jié)構(gòu)在t 時(shí)刻的退化量W(t)=l（l〈b），那么結(jié)構(gòu)在T1時(shí)刻的剩余使用壽命可表示為：

根據(jù)Wiener 過(guò)程的獨(dú)立增量性和馬爾科夫性，T1可表示為：

故結(jié)構(gòu)的剩余使用壽命為：

基于上述分析可知，結(jié)構(gòu)的剩余使用壽命及可靠性評(píng)估實(shí)際上是計(jì)算退化量首次達(dá)到失效閾值的時(shí)間。

3 實(shí)例分析

研究表明混凝土中裂紋的擴(kuò)展或截面強(qiáng)度隨時(shí)間的退化可以通過(guò)其動(dòng)彈性模量的變化來(lái)反映，因此混凝土動(dòng)彈性模量的損失是評(píng)估混凝土內(nèi)部損失的有效指標(biāo)。 2.2 節(jié)已經(jīng)證明了混凝土動(dòng)彈性模量的損失符合Wiener 過(guò)程，且表1 給出了某混凝土結(jié)構(gòu)動(dòng)彈性模量損失的具體數(shù)據(jù)。 故本節(jié)以此為基礎(chǔ)，將動(dòng)彈性模量的損失過(guò)程建模為Wiener 過(guò)程，進(jìn)而評(píng)估結(jié)構(gòu)剩余使用壽命及可靠性。

以表1 中的JS2-3 為研究對(duì)象，運(yùn)用極大似然估計(jì)法對(duì)Wiener 過(guò)程的擴(kuò)散系0 數(shù)和漂移系數(shù)進(jìn)行評(píng)估。試件耐久性退化Wiener 過(guò)程參數(shù)可表示為：

根據(jù)式（22），表1 中JS2-3 構(gòu)件耐久性退化Wiener 過(guò)程參數(shù)為：

根據(jù)式（23）所求Wiener 過(guò)程擴(kuò)散系數(shù)和漂移系數(shù)，發(fā)現(xiàn)μ≈0，σ≈1，近似符合標(biāo)準(zhǔn)Wiener 過(guò)程。

對(duì)于混凝土耐久性退化失效閾值的規(guī)定：如果其相對(duì)動(dòng)彈性模量減少到40%，則表明結(jié)構(gòu)失效。 因此，設(shè)失效閾值（準(zhǔn)確的安全閾值應(yīng)根據(jù)實(shí)際的工程案例進(jìn)行確定），將Wiener 過(guò)程漂移系數(shù)、擴(kuò)散系數(shù)（式23）及失效閾值帶入式（18）可得不同時(shí)間t 下，混凝土結(jié)構(gòu)的耐久可靠性，具體見(jiàn)表2、圖5。

表2 不同時(shí)刻下結(jié)構(gòu)耐久可靠性

由圖5 可知，混凝土結(jié)構(gòu)耐久性隨著時(shí)間的增加而不斷減少，符合實(shí)際。 如當(dāng)服役年限為50年時(shí)，結(jié)構(gòu)可靠性為88.5702%，這表明結(jié)構(gòu)服役50年時(shí)不發(fā)生耐久性失效的概率為88.5702%，發(fā)生失效的概率為11.43%。如果將可靠度減少11%作為結(jié)構(gòu)是否需要檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)，那么結(jié)構(gòu)服役50年時(shí)，應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面的耐久性檢測(cè)以確定此結(jié)構(gòu)是否需要進(jìn)行維修。以上與工程 實(shí) 際 相符，驗(yàn) 證 了應(yīng)用Wiener過(guò)程描述結(jié)構(gòu)耐久性退化的可行性和正確性。

圖5 可靠性變化曲線

4 結(jié)論

本文基于Wiener 過(guò)程首次超越概率進(jìn)行結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估，具體研究結(jié)論如下：

（1） 根據(jù)Wiener 過(guò)程的對(duì)稱性，推導(dǎo)了Wiener 過(guò)程首次超越概率精確解析解，為后續(xù)結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估打下了理論基礎(chǔ)；

（2） 通過(guò)自相關(guān)函數(shù)法分別繪制了Wiener 過(guò)程自相關(guān)函數(shù)圖像和混凝土動(dòng)彈性模量損失過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)兩者較為相似，可以用Wiener 過(guò)程對(duì)混凝土動(dòng)彈性模量的損失過(guò)程進(jìn)行建模；

（3） 以某案例評(píng)估結(jié)構(gòu)在不同時(shí)刻下的耐久性，結(jié)果表明利用Wiener 過(guò)程對(duì)混凝土動(dòng)彈性模量的損失過(guò)程進(jìn)行建模符合實(shí)際。