投資組合的VaR風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值分析

甘小艇，吳雨珊，顧喬美，徐 敏

（楚雄師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 楚雄 675000）

隨著時(shí)代的更替，90后逐漸成為新時(shí)代的主力軍，而伴隨著這批主力軍到來(lái)的還有“基金熱”。基金的一大特點(diǎn)是分散風(fēng)險(xiǎn)，而做到這一點(diǎn)所依靠的方法便是投資組合［1］。投資人或金融機(jī)構(gòu)將他們所持有的股票、債券、金融衍生產(chǎn)品等進(jìn)行重組，按照不同的權(quán)重組成的集合就是一個(gè)投資組合。然而，投資組合是否能夠?yàn)槲覀儙?lái)利益，以及它所具有的風(fēng)險(xiǎn)，仍需要進(jìn)一步判斷，VaR模型便是計(jì)算投資組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的常用方法［2］。

1 數(shù)據(jù)處理

一般來(lái)說(shuō)，投資組合不得少于二十個(gè)品種，為了將過(guò)程簡(jiǎn)化，隨機(jī)選取二十只股票。以2018年10月8日到2019年3月1日期間，代碼為“H11021”的股票基金指數(shù)成分股價(jià)格序列，作為分析的目標(biāo)［3］。此外，采用三種方法，參數(shù)法、歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法計(jì)算投資組合的VaR值。投資組合中股票數(shù)量為自由流通股本。數(shù)據(jù)儲(chǔ)存在Excel文件中，方便MATLAB導(dǎo)入。此處選取的有“平安銀行（000001）”“泛海控股（000046）”“鹽 田 港（000088）”“中 航 飛 機(jī)（000768）”“粵高速A（000429）”等共計(jì)二十只股票。

1.1 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化將初始價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為1元，并將選定股票價(jià)格序列作圖，為了使圖片更清晰，此處只選取了“平安銀行”，“特力A”，“鹽田港”和“中航飛機(jī)”的標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)作圖，結(jié)果如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)化后的股票價(jià)格序列圖Fig.1 Standardized stock price sequence diagram

1.2 相關(guān)性分析對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行相關(guān)性分析，相類(lèi)似的做法可參見(jiàn)文獻(xiàn)［4］。以“平安銀行”“特力A”“鹽田港”和“中航飛機(jī)”這四只股票為例，經(jīng)計(jì)算得到的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大回撤結(jié)果如表1所示，其他股票的計(jì)算相類(lèi)似。

表1 部分股票的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與最大回撤Table 1 Mean，standard deviation and maximum retractions of some stocks

上述4只股票的相關(guān)矩陣為：

將投資組合的二十只股票的相關(guān)性矩陣使用MATLAB中的熱圖（Heatmap）展示出來(lái)，如圖2所示。相對(duì)于通常列表行情模式而言，熱圖的展示方法更加直觀，信息量更大，也能更加形象地展示出投資組合的表現(xiàn)與市場(chǎng)的整體概況。

圖2中Heatmap以顏色的深淺變化與梯度反映數(shù)據(jù)之間的相似與差異，顏色越相近則相似性就越高，反之亦然。由圖2可看出，鹽田港與粵高速A、泛海控股與渤海股份有一定的相似性。

圖2 投資組合的相關(guān)性Heatmap圖Fig.2 Portfolio correlation Heatmapdiagram

1.3 凈值與收益率通常為得到投資組合的VaR值，還需要計(jì)算投資組合的凈值序列、收益率序列等指標(biāo)。通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 投資組合凈值與收益率分布Fig.3 Distribution of net value and return of investment portfolio

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在一定的置信水平α下，某一金融資產(chǎn)證券組合在未來(lái)的一段時(shí)間△t（持有期）里，可能的最大損失值，這就是VaR的含義。它的數(shù)學(xué)定義可以這樣說(shuō)

式（1）表明在給定置信水平1-α和一定的持有期△t內(nèi)，如果投資人或機(jī)構(gòu)在時(shí)間間隔△t內(nèi)，預(yù)計(jì)的損失額會(huì)超過(guò)M的概率小于α，則稱(chēng)這個(gè)投資人或機(jī)構(gòu)在該持有期△t之內(nèi)的VaR值為M［5］。另外，式（1）中，△r為在一定持有期△t下，某一種資產(chǎn)組合的市場(chǎng)價(jià)值的變化。1-α為給定的置信水平。注意，持有期和置信水平在不同的銀行可能有不同的數(shù)值。

2.1 參數(shù)法參數(shù)法也被稱(chēng)為方差-協(xié)方差法。參數(shù)法是計(jì)算VaR最常用的方法［6］。參數(shù)法首先要假設(shè)投資組合的資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，然后再借助于正態(tài)分布轉(zhuǎn)換，把VaR表示成標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算即可獲得最終結(jié)果。

參數(shù)法在計(jì)算時(shí)可以采用的三種方法是直接法、指數(shù)平均移動(dòng)法與移動(dòng)平均法。這里介紹直接法。

直接計(jì)算所有n個(gè)樣本的樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差，日變化率的樣本均值和日變化率的樣本標(biāo)準(zhǔn)差如下：

用單尾法計(jì)算1-α置信度的單位資產(chǎn)收益率的日VaR值為式（4）。另外，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下置信水平α與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)zα之間的關(guān)系如表2所示［7］。

表2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下置信水平與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)之間的關(guān)系Table 2 The relationship between the normal distribution and the standard deviation

接下來(lái)，隨機(jī)選取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進(jìn)行模擬計(jì)算，此期間的股票基金指數(shù)成分股作為投資組合，經(jīng)參數(shù)法計(jì)算得到的結(jié)果如圖4所示。此外，在置信區(qū)間為95%～99%下，經(jīng)參數(shù)法計(jì)算得到的VaR值如表3所示。

圖4 參數(shù)法VaR結(jié)果Fig.4 The VaR result of parameter method

由表3可知，該投資組合在置信度為95%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)21，023，243，950.50元，在置信度為99%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)30，654，761，123.28元。

表3 參數(shù)法得到的VaR值Table 3 The value of VaR obtained by parametric method

2.2 歷史模擬法歷史模擬法的基本思想，用給定歷史時(shí)期內(nèi)所觀測(cè)的市場(chǎng)因子的變化，來(lái)表示市場(chǎng)因子的未來(lái)變化［8］。在估計(jì)市場(chǎng)因子模型時(shí)，一般采用全值估計(jì)法，即根據(jù)市場(chǎng)因子的未來(lái)價(jià)格水平對(duì)頭寸進(jìn)行重新估值，然后計(jì)算出頭寸的價(jià)值變化（損益），最后，將得到的組合的損益從最小到最大排序，即得到了損益分布，再通過(guò)給定置信度下的分位數(shù)求出VaR值。

隨機(jī)選取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進(jìn)行模擬計(jì)算，此期間的股票基金指數(shù)成分股作為的投資組合，經(jīng)過(guò)歷史模擬法得到結(jié)果如圖5所示。

圖5 歷史模擬法結(jié)果Fig.5 Historical simulation results

然而只有在龐大的數(shù)據(jù)支撐下，歷史模擬法才能夠得到比較精確的數(shù)據(jù)，而此處的數(shù)據(jù)均取自銳思金融數(shù)據(jù)庫(kù)，由于網(wǎng)站的限制，只能下載100條數(shù)據(jù)，與要進(jìn)行歷史模擬所需的歷史數(shù)據(jù)相比是渺小的，因此此處的結(jié)果并不精確。此外，利用歷史模擬法，在置信區(qū)間為95%～99%下所對(duì)應(yīng)的VaR值如表4所示。

表4 歷史模擬法得到的VaR值Table 4 Value-at-risk derived from historical simulation

由表4可知，該投資組合在置信度為95%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)19 053 141 389.40元，在置信度為99%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)33 090 572 308.89元。

2.3 基于隨機(jī)收益率序列的蒙特卡洛模擬VaR計(jì)算蒙特卡洛模擬是一個(gè)概率模型，該方法是計(jì)算VaR最復(fù)雜的方法，通常只有在其他方法不能使用的情況下才會(huì)使用，主要因?yàn)殡y以假設(shè)其概率分布以及原有問(wèn)題的復(fù)雜程度［9］。

假定好概率分布后，接著根據(jù)假定的分布可隨機(jī)生成模型的輸入數(shù)據(jù)，然后再收集數(shù)據(jù)結(jié)果并得出結(jié)論。得出模擬輸出的數(shù)據(jù)之后，可以按照與歷史模擬法相同的步驟進(jìn)行操作。

同樣對(duì)隨機(jī)選取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進(jìn)行模擬計(jì)算，此期間的股票基金指數(shù)成分股作為投資組合，經(jīng)過(guò)基于隨機(jī)收益率序列的蒙特卡羅模擬計(jì)算得到結(jié)果如圖6所示。

圖6 基于隨機(jī)收益率序列的蒙特卡洛模擬結(jié)果Fig.6 Monte Carlo simulation results based on random rate of return series

得到在置信區(qū)間為95%到99%所對(duì)應(yīng)的VaR值如下表5所示。

由表5可知，該投資組合在置信度為95%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)21 261 896 469.28元，在置信度為99%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)29 178 474 596.42元。

表5 基于隨機(jī)收益率序列的蒙特卡羅模擬VaR結(jié)果Table 5 The result of Monte Carlo method VaR based on random rate of return series

2.4 基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅模擬計(jì)算VaR值基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅模擬法VaR計(jì)算的步驟如下：

首先，假設(shè)投資組合中資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)服從某一種隨機(jī)過(guò)程，并且這個(gè)變動(dòng)在時(shí)間上是不相關(guān)的，其離散形式可表示為：

其中，F(xiàn) i表示i時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格，也就是收盤(pán)價(jià)，μ表示資產(chǎn)收益率的均值，σ表示資產(chǎn)收益率標(biāo)準(zhǔn)差，ξ表示隨機(jī)變量，假定ξ～(0,1)，t為當(dāng)前時(shí)刻，T為目標(biāo)時(shí)刻。

其次，隨機(jī)模擬價(jià)格變動(dòng)路徑，生成正態(tài)隨機(jī)數(shù)ξ1(i=1,2,…,n)。當(dāng)前的價(jià)格為F i，根據(jù)上述隨機(jī)模型，按i=1,2,…,n，依次產(chǎn)生相應(yīng)的模擬價(jià)格F i+1(i=1,2,…,n)，模擬出資產(chǎn)價(jià)格F未來(lái)走勢(shì)及目標(biāo)時(shí)刻T的資產(chǎn)價(jià)格F T，那么

重復(fù)第二步n次，得到一定時(shí)期內(nèi)的價(jià)格分布情況。最后由模擬得到的分布情況計(jì)算出VaR值［10］。

對(duì)隨機(jī)選取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進(jìn)行模擬計(jì)算，此期間的股票基金指數(shù)成分股作為的投資組合，經(jīng)過(guò)基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅模擬計(jì)算得到結(jié)果如圖7所示。

圖7 基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅模擬結(jié)果Fig.7 Monte Carlo simulation results based on geometric Brownian motion

置信區(qū)間為95%到99%所對(duì)應(yīng)的VaR值如表6所示。由表6可知，該投資組合在置信度為95%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)21 253 700 144.18元，在置信度為99%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)31 247 184 035.71元。

表6 基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅模擬VaR結(jié)果Table 6 VaR results for the Monte Carlo simulation based on geometric Brownian motion

3 結(jié)論

本文運(yùn)用求解VaR值的三種主要方法，即參數(shù)法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法（基于隨機(jī)收益率序列和基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)）對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)相關(guān)理論進(jìn)行了梳理。通過(guò)采用以上三種方法對(duì)所選取的投資組合的VaR值進(jìn)行計(jì)算，得到了四個(gè)不同卻相近的結(jié)果。若以四個(gè)結(jié)果的平均值作為該投資組合，則最終結(jié)果如表7所示。

由表7可知，該投資組合在置信度為95%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)20 647 995 488.34元，在置信度為99%時(shí)，最大的損失值不會(huì)超過(guò)31 042 748 016.08元。所以該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值較高，相關(guān)性較大，分散風(fēng)險(xiǎn)的效果并不好，不能給投資者或投資機(jī)構(gòu)帶來(lái)期望的收益。此外，本文假設(shè)了投資者服從正態(tài)分布，顯然是過(guò)于理想化，因此在實(shí)際應(yīng)用中VaR模型的選擇上仍需考慮到這一點(diǎn)。

表7 該投資組合的平均VaR值Table 7 The average VaR value of the portfolio

總之，通過(guò)對(duì)相關(guān)性較低的資產(chǎn)進(jìn)行組合，分散風(fēng)險(xiǎn)才能得到較高收益的投資組合，VaR值的計(jì)算結(jié)果也會(huì)較好。本文通過(guò)簡(jiǎn)單的投資組合的VaR值計(jì)算，增強(qiáng)了對(duì)投資組合在現(xiàn)實(shí)中的作用的理解，還增強(qiáng)了投資人與投資機(jī)構(gòu)對(duì)投資組合的重視程度，也讓當(dāng)代年輕人對(duì)基金等的本質(zhì)有一定了解。