堆載作用下高鐵橋梁軌道形位變化的可靠度研究

宋旭明，王天良，唐冕，許珈豪

(中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075)

既有高鐵橋梁附近的大范圍堆載會對橋梁的主體結構產生擾動。在我國長江三角洲、珠江三角洲、渤海灣等地區，軟土欠固結、含水量高、強度低、壓縮性大、沉降量大，堆載對既有橋梁結構會帶來更大的安全隱患，甚至會改變樁體的設計控制狀態。因此，合理地考慮軟土區的土壤工程特性，綜合橋梁下部結構等各方面的影響，討論該地區橋梁在堆載條件下的安全可靠度，對于工程具有重大的參考意義。

目前，大量學者就堆載對臨近結構物樁基的影響進行了研究。李志偉[1]通過實測發現單側堆載作用下樁基將產生側向偏移及附加彎矩，反彎點出現在2 種不同土層的交界處。竺明星等[2]根據Boussinesq 改進公式推導堆載產生的水平附加壓力，采用Laplace 正逆變換求解樁身微分方程，應用矩陣傳遞法求得完整樁身響應量。黃挺等[3]通過邊載及圍載作用下的單樁室內模型試驗研究了土表堆載分布形式對樁基負摩阻力作用的影響，發現土表堆載分布形式對樁基附加沉降具有明顯影響。丁任盛[4]開展了堆載對臨近樁基內力與變形影響的原位現場試驗，探討了深厚軟土地區堆載高度、堆載與樁基距離等因素對樁身內力、位移、樁基和堆載間土體深層位移的影響規律。韓東亞等[5]用拉格朗日差分法分析了堆載和樁頂荷載組合作用下樁側摩阻力分布、中性點位置變化規律，提出了快速估算中性點位置的方程式。聶如松等[6]基于實測數據，根據路基填筑前后樁基的應力變化求得了相應樁基彎矩，發現了對樁頂彎矩影響較大的因素為樁頂的約束情況。馬學寧等[7]對群樁進行了圍載和單側邊載作用下的模型試驗，發現邊載比圍載同一位置樁身軸力、負摩阻力均較小，中性點位置較高。趙偉封等[8]采用極限平衡法，得到保證地基穩定的最大堆載高度以及帶狀堆載主要影響區的計算公式，判斷帶狀堆載鄰近樁基礎是否受堆載影響，并得到帶狀堆載作用下地基土體側移變形的計算深度及對鄰近樁基礎的推力計算公式。楊濤等[9]采用兩階段分析法分析了基坑開挖卸荷與堆載作用下鄰近樁基的受力變形規律，發現了堆載對樁體水平位移的影響略大于堆載區域尺寸對樁體水平位移的影響。賀志勇等[10]用ABAQUS 軟件建立了橋梁-地基土-堆載土模型，發現降低堆土高度和增大堆載間距均能有效控制地基土變形，降低橋梁結構的位移，堆土寬度對地基土側向位移影響顯著，對沉降影響較小。

目前的研究和試驗為橋梁結構在堆載作用下的結構響應預測提供了理論基礎和經驗數據，但大多數研究未將橋梁的上部結構和軌道考慮在內。此外，土層力學參數離散性較大，計算結果的可靠性往往難以評估。為進一步研究堆載作用下高鐵橋梁軌道的附加變形，本文作者采用單因素敏感性計算方法分析單側堆載對于高鐵軌道形位的各因素影響情況，確定參數的敏感性；通過Box-Behnken設計法進行試驗設計，用二次回歸正交設計得到與有限元模型相吻合的響應面模型；通過對響應面模型特征進行分析，確定各參變量對軌道形位的交互影響規律；使用Bootstrap 法對樣本進行擴大并統計出擬建堆土區域的土層信息分布規律，對顯著影響軌道形位的參數進行大量隨機抽樣，利用蒙特卡羅方法得到既有高鐵軌道形位變化的可靠度，可為工程建設提供指導性建議，并為類似工程的軌道形位快速預測提供參考。

1 軌道形位變化的可靠度計算方法

1.1 參數敏感性分析

敏感性分析將各個要素對系統的影響程度進行分析，得出主要影響因素和次要影響因素，從而忽略次要影響因素[11]，在對計算精度和可靠度影響不大的情況下，可去除大量數據，降低計算的復雜程度。

采用擾動分析法計算參數敏感性。具體做法為選取1組待分析的要素，采用控制變量法，每次只變動1個要素值，然后將各參數代入有限元中進行分析，記錄系統的擾動。具體步驟為：

1)選擇與系統相關的影響參數，并確定參數的初值和擾動范圍；

2)選定系統控制目標，分析各要素的變化對于系統影響程度；

3)對各要素進行量綱一化處理，定量分析各要素敏感度，并進行排序。

敏感度函數Si(xi)為系統控制目標擾動程度與要素變化程度的比值：

式中，Δxi為設計變量的攝動量；ΔF為系統特征值的變化量；xi*為設計變量的基準值；F*為系統特征值的基準值。

Si越大，基準狀態下系統特征值F對xi越敏感。通過對比Si即可得出各要素的敏感度[12]。

1.2 響應面函數

響應面法是一種基于統計學與實驗技術用來解決復雜系統輸入與輸出之間關系的數學方法。與有限元模型擬合較好的響應面模型可以在輸入相同參數的情況下得到與有限元相同的計算結果，而計算效率更高，也被稱為“有限元模型的模型”。在分析工程結構、系統內部受到大量非線性變量的影響時，可以利用多元回歸來直觀地表示多個變量與系統響應值之間的關系。

響應面法步驟為：首先對設計參數進行樣本選取，然后進行統計回歸分析，得到擬合的響應面并進行模型統計特征分析，計算擬合精度。常用的實驗設計方法有全因子實驗設計法、中心復合設計法(CCD)、Box-Behnken 設計法(BBD)等。BBD 設計法可以評價各因素與響應值之間的非線性關系，無需進行連續的多次實驗，在因素數相同的情況下，試驗組合較少，較為經濟。

常用的響應面回歸設計方法為二次回歸正交設計，其優勢在于所得的回歸系數的估計之間相互獨立，當后期出現一些問題需要刪除某些因子時，不會影響其他回歸系數的估計，從而易得出所有顯著系數的回歸方程[13]。三次方程和四次方程高度依賴試驗樣本的數量，當樣本數量不足時，響應面極易出現扭曲，因此，僅在二次方程擬合結果不顯著時使用。

通過參數敏感性分析得到敏感參數后，根據三水平值的BBD 設計法進行試驗，采用二次回歸正交設計法擬合得到二次多項式響應面模型。模型表達式如下：

式中，β為待定系數，xi為影響參數。

1.3 可靠度計算理論

目前，工程結構中進行可靠度分析的方法主要有一次二階矩法、二次二階矩法、響應面法、蒙特卡羅抽樣方法等。

蒙特卡羅法是隨著計算機發展而逐步得到廣泛使用的數值方法，其原理基于概率論大數定理中的Bernoulli 定理[14]。設結構的功能函數為Z=gX(X)，隨機變量X的聯合概率密度函數為fX(x)。按聯合概率密度函數對隨機變量進行抽樣，用抽樣所得樣本代入結構功能函數中，若使Z＜0 成立，則記結構失效1次。當進行N次模擬時，假設Z＜0 出現了nf次。根據Bernoulli 定理，當N充分大時，隨機事件Z＜0 在N次獨立重復實驗中的頻率nf/N收斂于該事件的概率pf，因此，可得結構失效概率pf的估計值為nf/N。則結構的失效概率pf為

式中，Ωf為失效域。

對于大樣本，根據中心極限定理，樣本的均值Xˉ將漸進服從正態分布。為減小蒙特卡羅模擬的誤差，常常增加模擬的次數即樣本容量N；也可以采用方差縮減技術。當給定顯著性水平α，進而已知標準正態分布的上分位值μα/2時(如α=5%，μ0.025=1.960 0)，可用代替pf，以此來估計給定模擬次數的誤差，或根據誤差來估計需要的模擬次數。對于實際工程結構，當誤差精度在10-3～10-5數量級時，若相對誤差小于20%的置信度為95%，則通常需要的模擬次數為105～107次。

本文采用高精度的蒙特卡羅方法對軌道形位可靠度進行分析，借助Matlab 平臺完成參變量的隨機抽樣和形位幅值失效概率計算。具體分析步驟如下：

1)建立結構功能函數，可定義為Z=g(mi)，其中，mi是已知概率分布的隨機變量。

2)對參變量進行隨機抽樣，產生1組隨機變量mi，將其代入結構功能函數，求得此時的結構功能函數值。

3)重復N次步驟2)，統計N個功能函數值中超過可靠指標的個數。

4)根據大數定理，得到失效概率。

為滿足蒙特卡羅的大樣本要求，采用Bootstrap 法解決土層力學參數的小樣本問題。Bootstrap 法也叫自助法，通過對小樣本有放回地隨機抽樣，從而擴大了小樣本數量，而且該方法在使用前無需知道原樣本的分布規律，假設條件少，因此被廣泛使用。其核心思路是運用再抽樣技術代替理論分析，以足夠多的實驗觀測數據統計特征代替真實母體的統計特征。具體方法是：首先從來自母體Pn的樣本Xn中抽取M個容量為n的子樣本其中依次計算M個子樣本的方差，將這M個方差作為母體方差的觀測值，從而得到新的自助分布，同時以該自助分布的方差作為母體方差的估計值，得到母體的離散情況。具體計算步驟為：

1)從原始樣本中有放回地進行抽樣，得到新的自助抽樣樣本，從而得到原始樣本的經驗分布。

2)計算待求參數的估計值，根據實際情況，待求參數可以是均值、方差、中位數等。

3) 重復步驟1)和2)M次，M通常為1 000 次以上。

只要M足夠大，由M個估計值計算得出的分布特征參數即為母體對應參數的合理估計。

計算流程如圖1所示。

圖1 可靠度計算流程圖Fig.1 Flow chart of reliability calculation

2 軌道形位變化的敏感性分析

2.1 工程背景

福州地區沿合福(合肥—福州)高速鐵路某工點附近規劃有堆土造景工程，該工點處于華南地層區，地層分區性明顯，上覆大面積第四系沖海積淤泥軟土。高鐵橋梁形式為跨度32 m 無砟軌道標準簡支梁，設計時速300 km/h，圓端型橋墩，鉆孔灌注樁，如圖2 所示。在距離鐵路15 m 的位置規劃修建1 條長75 m，寬40 m 的景觀帶，堆載等級80 kPa。堆載區域與合福高鐵相對位置關系如圖3所示。

圖2 鐵路橋梁布置Fig.2 Railway bridge layout

圖3 工點平面Fig.3 Construction site plane

考慮到既有高鐵列車運行安全性，需合理評估堆載方案對軌道形位變化的影響。根據方案建議，堆土距離可調整的范圍為5～25 m，堆土荷載等級的調整范圍為40～120 kPa。

在工點區域內，土層自上而下依次為：1)雜填土，厚度為2.20 m；2)淤泥質土，厚度為14.15 m；3)殘積砂質黏性土，厚度為15.65 m；4)強風化花崗巖，厚度為17.00 m；5)中風化花崗巖，層頂埋深約為49.00 m。

2.2 計算模型及參數

采用ABAQUS 建立鐵路簡支梁橋的三維有限元模型，土體沿X和Y方向均為200 m，厚度為120 m，采用摩爾-庫侖本構模型。墩高為11 m，樁基梅花形布置，樁徑為1 m，樁長為50 m。承臺和樁基采用C30混凝土，墩身采用C40混凝土，箱梁為C50 混凝土，軌道為60 型標準鋼軌。線路一側長為75 m、寬為40 m 的區域用來模擬景觀堆土荷載。土體及下部結構采用C3D8I 非協調單元，梁體和軌道采用B32 單元[15]。模型共112 712 個單元，146 587 個節點。模型的邊界條件為頂面為自由面，兩側水平約束，底面取豎向和水平向約束。橋墩和梁體的之間采用耦合接觸，梁與鋼軌之間采用彈簧接觸。采用非線性彈簧單元模擬扣件阻力，扣件豎向剛度取60 MN/m[16]，扣件橫向阻力取135 MN/m[17]，扣件縱向阻力取值參考規范[18]。樁土之間，法向使用“硬接觸”，切向采用“罰摩擦”，摩擦因數為0.38。建立的有限元模型如圖4所示。

圖4 有限元計算模型Fig.4 Finite element calculation model

2.3 軌道形位不平順的參數敏感性分析

選取堆載等級、堆載距離以及淤泥層土、殘積砂質黏性土、花崗巖的彈性模量、黏聚力、內摩擦角為變化參數，采用控制變量法，在保持其他參數不變的情況下，依次將各參數攝動1%，記錄各參數攝動后軌道形位高低不平順和方向不平順幅值的變化，并據此計算每個參數的擾動幅度，從而分析既有高速鐵路軌道形位的高低不平順和方向不平順幅值在各參數單獨影響下的變化規律，得出各參數的影響程度。根據高鐵地質勘察報告，認為土層參數服從正態分布，基準值取區間均值。各參變量取值區間及基準值如表1所示。

表1 模型參數集Table 1 Model parameter set

當各參數取基準值時，有限元計算得到的軌道形位中高低不平順最大值為-0.921 3 mm，方向不平順最大值為3.253 8 mm(弦長取10 m)。以此為基準，依次將各參數折減1%，提取軌道形位高低不平順及方向不平順計算結果，得到各參數的敏感系數如表2所示。

表2 軌道形位的參數敏感系數Table 2 Parameter sensitivity coefficient of track geometry

由表2 可得，堆載等級(因素A)對于形位的影響顯著強于其他因素對形位的影響，堆載距離(因素B)次之，淤泥層土的內摩擦角(因素E)、殘積層土彈性模量(因素F)、淤泥層土的彈性模量(因素C)在所有土體參數中影響最顯著。而花崗巖的參數對軌道形位的影響基本可忽略不計。這說明對于堆載情況，下部持力層由于工程特性較好，其參數變化對上部建筑的影響不大，上部軟弱土層的參數變化對結構的影響較為顯著，應予以高度重視。因此，不考慮花崗巖土層的參數(因素I～N)離散性，將其作為常量擬合響應面。淤泥層土黏聚力(因素D)和殘積土黏聚力(因素G)影響程度較同一土層的其他工程力學參數而言不顯著，但考慮到在攝動較大的情況下，黏聚力會對響應面的擬合精度產生一定的非線性影響，為保證計算精度以及同一土層參數的完整，在響應面計算中將其作為參變量保留。

3 響應面函數擬合

將單因素敏感性分析結果中影響顯著的主要影響因素作為變量，通過在整個參數的設計空間內構造合理的響應曲面，以顯式的響應面模型逐步逼近設計參數與軌道形位變化幅值之間隱式的函數關系，得到簡化的響應面模型來代替原有的有限元模型，可大大提高可靠度分析的計算效率。

3.1 函數模型擬合

因數A～H的三水平(0，-1，+1 分別代表該因素的平均水平、最低水平和最高水平)取值如表3所示。

表3 響應面擬合Box-Behnken試驗因素與水平Table 3 Response surface fitting Box-Behnken test factors and levels

根據每個因素的3個水平值，利用正交表構造實驗方案，將8 個因素放入同一區組中，共進行113 組實驗，其中包含1 個中心點(0，0，…，0)，112個因子點。

利用統計分析軟件Design-Expert 10.0.4對有限元計算所得的113 組實驗數據進行二次回歸擬合，通過1個八元二次多項式確定軌道形位高低不平順響應值(Y1)和軌道方向不平順響應值(Y2)與參數A～H的相關性。模型系數由有限元計算結果的非線性回歸獲得，略去方程不顯著項，得到的軌道形位變化的回歸方程如下：

式中：各參變量前系數的絕對值表示該項因素對軌道形位變化的影響程度，正負表示影響方向。

可以看出，不論高低不平順還是方向不平順，各因素單獨作用的影響程度均顯著大于因素間的交互作用，說明堆載等級、堆載距離以及土體參數之間相關性弱，與真實情況相符，響應面模型的可靠程度較高。

3.2 模型統計特征分析

113組參數下響應面模型與有限元模型計算結果的相互關系如圖5所示。

圖5 響應面模型與有限元模型軌道形位計算值對應關系Fig.5 Corresponding relationship between of track geometry calculation values by response surface model and finite element model

由圖5可知，全部因子點都接近斜率為1的直線，說明響應面模型與有限元模型之間吻合程度很高。高低不平順模型的復合相關系數R2=0.998 0，校正復合相關系數方向不平順模型的R2=0.995 8，均接近于1，說明各因素與響應面之間關聯性好，該響應面的計算結果可以用來表征有限元計算結果。

3.3 響應面分析

三維響應面圖可表示響應面中兩因素交互作用的影響程度以及各因素的影響規律。圖6所示為其他因素保持0水平值時，堆載等級與堆載距離交互作用影響軌道形位高低不平順和方向不平順的三維響應面圖。

圖6 堆載等級與距離交互作用對形位的影響Fig.6 Influence of interaction between surcharge grade and distance on shape and position

由圖6可知，三維響應面在水平面投影出現了若干等高線，且等高線走向不平行于任意坐標軸，說明堆載等級和堆載距離對于軌道形位高低不平順響應值均有很大的影響。等高線沿堆載等級坐標軸的斜率大于沿堆載距離的斜率，表示堆載等級對高低不平順的影響要略大于堆載距離的影響，與軌道高低不平順參數的敏感性分析結果一致。三維響應面圖像整體從左下角至右上角呈上升趨勢，高低不平順響應值最小為-2.30 mm，最大為-0.34 mm。說明當堆載等級越小、堆載距離越遠時，形位的高低不平順幅值越小，與實際情況相符。方向不平順的規律與高低不平順的規律基本相似。

響應面中紅色區域均代表形位變化小，也就是理想區域。由于2 種響應值的符號相反，因此，響應面中理想域的位置相反，且高低不平順響應面圖像上凸，而方向不平順響應面圖像下凹。

3.4 響應面預測精度驗證

為進一步驗證響應面的計算精度，根據表1中的參數變化范圍由系統隨機生成因素A～H的6組數據，響應面模型與有限元模型計算結果的比較如圖7所示。

圖7 響應面模型與有限元模型軌道形位計算值對比Fig.7 Comparison between response surface and finite element calculation of track geometry

由圖7 可知，對于高低不平順和方向不平順，響應面與有限元的最大絕對誤差分別為0.001 7 mm和-0.059 4 mm，最大相對誤差分別為5.33%和7.53%。在實際工程中，當高速鐵路軌道每10米弦長的形位幅度小于0.1 mm 時，對于列車運行的舒適性與安全性不會產生不利影響。因此，認為建立的響應面模型能較準確地反映有限元計算結果，可代替有限元模型對形位變化的可靠度進行分析。

4 軌道形位變化的可靠概率計算

4.1 基于Matlab的可靠度分析

將地勘報告中土層信息數據作為當地土層信息數據的隨機樣本，在Matlab中進行4 000次容量為300 的子樣本抽樣，并根據4 000 組樣本的均值和標準差來計算母體的估計值。根據Bootstrap法，認為土層參數服從正態分布，其均值、標準差、變異系數見表4。

表4 隨機變量分布參數Table 4 Random variable distribution parameters

高大釗等[19-20]的統計分析結果表明土體的主要力學參數服從正態分布或對數正態分布，與Bootstrap法模擬所得結果相吻合。

通過Bootstrap 法對樣本擴容之后，采用蒙特卡羅法對高鐵軌道形位的可靠度進行分析。以軌道形位的高低不平順幅值和方向不平順幅值為根據，建立軌道形位的計算功能函數。由于參數服從正態分布，可利用正態分布隨機數發生器生成隨機數。

在Matlab 中實現蒙特卡羅模擬的流程如圖8所示。

圖8 蒙特卡羅模擬流程圖Fig.8 Monte Carlo simulation flow chart

4.2 軌道形位概率計算

根據TB 10182—2017“公路與市政工程下穿高速鐵路技術規程”[21]，目前高速鐵路無砟軌道的高低不平順和方向不平順驗收標準均是每10 米弦長的形位幅值小于2 mm。使用蒙特卡羅法計算軌道形位幅值小于1，2和3 mm且置信度為95%時的可靠概率，如表5所示。

表5 各水平的可靠概率Table 5 Reliability probability of each level %

由表5可知，在置信度為95%時，高鐵橋梁軌道形位高低不平順幅值小于1 mm 的概率為80.85%，小于2 mm 和3 mm 的概率均為99.99%；軌道形位方向不平順幅值小于1 mm 的概率為26.01%，小于2 mm 的概率為64.75%，小于3 mm的概率為89.61%。相比于高低不平順，依托工程的方向不平順可靠度偏低。

為了確保鐵路安全運營，可減小堆土的荷載等級、增加堆載距離來提高鐵路形位變化的可靠度。計算結果表明，當堆載減小到64 kPa，距離增加到18 m時，軌道形位高低不平順小于2 mm的概率為99.99%，方向不平順小于2 mm 的概率為95.60%，可以認為修改后方案的軌道形位變化不會對既有高鐵的運營帶來安全隱患。

5 結論

1)對于軌道形位高低不平順，堆載等級和堆載距離敏感性系數分別為1.03和0.66，而對于軌道形位方向不平順，兩者分別為1.20和0.64，顯著高于土層其他力學參數的敏感性系數。土層力學參數則呈現“短板效應”，即埋深越淺，工程特性越差的土層對軌道形位不平順變化的影響越顯著。

2)經過113次有限元計算得出了軌道形位高低不平順和方向不平順與堆載等級和堆載距離等8個主要影響參數的顯式函數關系。響應面模型與有限元模型吻合程度很高，可以代替有限元模型進行可靠度分析。

3)使用Bootstrap 法在地質勘察資料有限的情況下統計出土層信息的分布特征，利用Matlab 平臺，采用蒙特卡羅法將響應面函數作為結構功能函數進行可靠度分析，通過107次隨機抽樣計算，得出了依托工程方案在不同軌道形位變化幅值下的可靠概率，并給出滿足可靠度要求的建議方案。

4)鐵路軌道幾何形位對列車運行的安全性、平穩性和舒適性意義重大，而高速鐵路對軌道形位變化更為敏感，采用本文提出的方法可以方便地獲得不同高鐵軌道形位限值下計算結果的概率，也可為類似工程軌道形位變化的快速估算提供一條新途徑，從而為高速鐵路的安全評估提供參考。