數形結合思想在初中數學教學中的應用策略探究

王海霞

(甘肅省慶陽市寧縣寧江初級中學 甘肅 寧縣 745200)

數形結合是數學思想中應用率最高的思想之一，同時也是學生數學學習、數學作業過程中不可獲缺的因素，在數學教學活動組織與落實過程中，如何更好的將數形結合思想進行有效應用適當前教師關注的重點問題之一。數形結合思想是通過數、形之間的關系，體現數學的本質，借助數與形之間的轉化，不僅能夠降低題目的難度，而且也能夠拓展學生思路，通過數學思想的滲透打造不同的數學探究學習平臺，提高初中生的數學學習綜合質量。

1.數形結合思想的含義

所謂數形結合就是將數學中的抽象的數量關系通過具體、直觀的圖像呈現出來，大體上可以理解為以形助數和以數輔形兩個方面。顧名思義，就是借助圖形、圖像的關系來明確具體的數學信息，同時又通過信息來輔助理解圖像的內容，總而言之就是借助抽象思維與形象思維相結合的方式，將數學問題簡單化、清晰化，從而更加深入的挖掘數學學科的內涵與育人功效，從而更進一步推動初中數學學科教學綜合質量的提升與發展。

2.數形結合思想在初中數學教學中應用的意義分析

2.1 新課程標準將數學思想的學習與滲透作為數學學科活動的重要目標，華羅庚先生也曾經多數形結合思想的作用進行了非常形象的闡述，更加體現了數形結合思想的重要性。

2.2 數學核心素養要求數學教學中必須關注數學思想的重要性，借助數形結合思想能夠有效培養學生將抽象的題目轉化為圖像的能力，同時又能夠從圖像中獲得更多的信息，通過屬于形之間的轉化，有效拓展學生數學思維，提高學生數學學習的綜合質量。

3.數形結合思想在初中數學教學中的應用策略分析

3.1 課堂貫穿，數形呈現魅力。數形結合思想的滲透首先要滲透于課堂教學過程中，雙減政策落實之后，教育回歸成為一種趨勢，課堂的高效與否成為教師關注的重要問題之一，數形結合等數學思想在數學教學中的應用能夠拓展課堂教學思路，從原本的單一講解課堂中脫離出來，巧妙借助數與形之間的關系，達到高效學習、高效解題的目的。

3.1.1 預習為先。數形結合思想貫穿課堂要從課堂預習、教學環節等環節入手，巧妙借助數形結合思想打造高效學習活動平臺，推動學生綜合質量的提升。首先，在課堂預習階段，教師可以采用導學案、前置性作業等方式，將一些重難點內容，通過具體的思維導圖或者其他圖片的形式展現出來，讓學生能夠更加明確本堂課所要學習的內容，然后帶著問題投入到教學活動中，通過預習環節讓學生能夠初步了解當堂課程所學的問題，帶著問題進課堂，從而提升學生學習質量。同時通過預習環節也能夠讓學生了解相似知識點之間的聯系，從而建立起完善的知識體系，帶動學生學習質量的提升與發展。

例如在反比例函數性質的預習活動中，教師通過正比例函數圖像的復習過程，引導學生結合正比例函數學習的過程，建立起反比例函數學習的思維方式；在復習過程中，還可以以往函數相關的知識進行綜合的整理。

·函數的概念：通過概念的復習，學生能夠通過回想再次加深對函數內涵的認識。

·一次函數的解析式，什么樣的特殊情況下一次函數又是正比例函數。

·正比例函數

解析式：y=kx+b(k≠0)

圖象與象限：此部分內容分為k>0以及k<0兩種情況，當k>0時圖像是什么走向，k<0時圖像又是什么走向。(畫圖分析)

函數的性質：此部分也分為兩種情況，k>0以及k<0，按照不同的類別分析，k的情況與函數變化之間的關系。(圖像結合典型的例題進行分析)

·反比例函數

什么是反比例函數？

……

如此，通過在課堂預習環節，通過系統的復習，從函數、一次函數、正比例函數的相關問題，逐漸引申到反比例函數的自主預習活動中，借助數形結合分析問題的過程，讓學生能夠初步建立反比例函數的學習思路。

3.1.2 課堂主導。課堂教學是提高學生數學學習質量的關鍵，也是滲透數學思想的關鍵環節。在小學的數學課堂上其實就已經開始滲透數形結合的思想，比如和差倍問題、追及問題等，通過分析簡化題目的過程，將題目中復雜的數量關系通過圖像的關系表現出來，在分析圖像中的隱藏數量關系，從而找到解決問題的思路。那么隨著初中數學探究問題的逐漸復雜，在課堂上數形結合的思想更是必不可少的。

同樣以反比例函數性質探究為例，在導入環節中，教師借助生活中常見的問題，從簡單的數量關系入手，引導學生找出反比例函數的“雛形”，然后再通過對比分析，結合一次函數等的定義，對反比例函數的定義進行綜合分析。在典型問題導入過程中，教師可以通過長方形面積、路程時間速度關系等學生熟悉的數量關系，引導學生通過自己熟知的數量關系自主探究得出反比例函數的解析式。通過課堂互動的過程，學生對于其定義、解析式有了初步的了解，那么在后續探究中，教師就要下意識的引導學生自己動手畫圖分析反比例函數的相關性質；或通過典型的例題對反比例函數的性質進行相關探究。比如，給出反比例函數的一部分圖像，學生自主探究其另一支在哪個象限，k的取值范圍是什么？等一些問題，通過觀察圖像，結合題目中所給的數量關系，探究、熟悉、應用函數的關系，從而更進一步明確反比例函數的性質。

如此，在課堂上教師潛移默化的將數與形之間的關系進行滲透融合，讓學生意識數與形之間的緊密聯系，從而真正理解數學思想在數學學習中的重要性。

3.2 作業滲透，文圖提升能力。雙減政策之后，數學作業的布置成為教師、學生關注的重要問題，數學作業中引導學生對數學思想進行有效應用也稱為教師關注的重要問題。對于數形結合思想而言，可以從兩個方面入手，“以數助形，以形助數”從而發揮出數與形各自的優勢，在數學作業中感受數形結合思想對于數形結合思想進行多維度的應用。

數學作業是高效課堂的重要組成部分，以往初中階段數學作業的布置往往注重數量，對于其中蘊含的一些數學思想等缺少總結與分析，導致學生的作業質量受到了影響。那么數學思想在作業中的滲透可以從以下幾個步驟入手：

首先，針對一些學習能力較差，數學思想應用意識較差的學生，可以用直接提醒法，比如請畫出XX函數的圖像(借助描點法等方式)給出學生一定的思維引導，讓他們能夠明確做圖的思路、方法等，然后再根據自己作出的圖像內容，進行相應問題的解決。

其次，針對一些學習能力較好的學生而言，可以不用刻意的提醒，而是要在作業中進行自然而言的應用，比如通過典型的例題，引導學生自己動手畫出圖像，然后再分析的過程中找到解決問題的方向。比如以中考典型、數列問題、數陣問題等。

比如(圖像)如圖所示，將同樣大小的黑色棋子擺在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第N個圖形需要黑色棋子的個數是？

通過題目所給的信息，然后再結合圖形規律的特殊性，找出其中蘊含的規律；比如觀察圖形，現數出每個正多邊形邊上的棋子數量，然后再乘以邊數，但是發現每兩個邊的交點上有一個點是重復的，因此還需要再減去一個點；那么第一個圖形的點數為2×3-3，第二個圖形為3×4-4……以此類推，數感好的同學就能夠通過前面幾個圖形邊數與點數的關系得出相應的規律，不能看出的同學可以多列出幾個多邊形邊數與點數的關系再次探究，比如第3個圖形為4×5-5，第4個圖形為5×6-6……不難發現，第n個圖形的邊數與點數之間的關系就可以總結為(n+1)(n+2)-(n-2)然后再進行公式的簡化，從而正確的解答出答案。

如此，通過不同難度的作業，將數形結合思想與數學作業進行有效銜接，在數學作業的過程中，教師潛移默化中帶動學生將課堂上所學的數學思想應用于具體的數學作用中，在應用過程中，學生不僅能夠對數學思想進行更加深入的理解，同時也能夠將數與形之間的關系進行綜合整理與分析，從而形成系統的應用思路，提高數學作業的綜合質量。

3.3 活動落實，實現思維拓展。課堂預習、教學活動、作業設計等的過程的數形結合思想應用過程中，發現很多學生并不是不想應用數形結合思想，但是很多同學并不明白什么樣時間、情況下需要或者必須要用數形結合思想，那么在數學綜合實踐活動中，教師可引導學生對數形結合思想的應用進行系統的分析與總結，在師生互動中探究數與形之間的緊密聯系。

首先，可以參照數學作業設計中以數助形、以形助數的方式，引導學生從兩個角度對問題進行分析。比如以數助形的角度分析，可以從兩個方面分析，一是借助數軸、坐標系等將幾何問題代數化，然后進行數據分析，解決幾何問題，這一點在高中階段還會繼續深入學習，比如向量問題；二是，借助面積公式、距離公式等幾何量來解決幾何問題，比如勾股定理與逆定理的應用，三角函數等相關問題。教師帶領學生將這兩類問題進行綜合整理與分析，然后再通過專題復習的形式，將知識點進行應用與分析，達到學以致用并靈活應用的專題學習效果。緊接著，教師可以引導學生結合上述的思路，針對“以形助數”的問題進行相應的分析，比如利用結合圖形記憶數學公式，同樣借助數軸坐標系等問題，將代數運算簡單化等等。如此結合上述學習的思路，學生不僅能夠從不同的角度對數學思想進行綜合應用，同時也能夠將數形結合進行深入的理解和運用，達到提高學生綜合學習質量的效果。

除了師生互動總結之外，還可以設計習題總結課程，將歷年來數學中考中比較典型的數形結合問題相關的例題進行總結與分析，在總結過程中，學生可以以小組為單位，對某一個問題進行合作探究，探究過程中，同學們可以充分發揮自己的“聰明才智”，看看一道問題能夠通過多少種不同的思路呈現出不同的解決問題的辦法，然后在不同的思路中，又應用了那些數學方法。

比如：如圖所示，正方形ABCD中，E是BC的平分點，EF⊥AE并且與∠DCE的外角的平分點與F，求證AE=AF。

針對上述題目，雖然問題比較簡單，但是其中可以有多種不同的解法，從正方形ABCD入手，通過分析AE、AF的位置關系，看看能夠從什么角度分析兩者之間的關系。比如通過圖形關系發現可以通過建構直角三角形的方法，從F點直接做垂線，然后形成新三角形EFH然后再通過三角形全等證明AE=AF。再者，還可以通過構建平面直角坐標系、鈍角三角形等方法對其中的問題進行綜合分析。通過不同的思路分析，學生不僅能夠更深層次的了解此類問題的考察點，同時也能夠在不同的思路探討中清晰數學問題的解決方向。

如此，當學生有明確的方向與思路之后，在小組合作過程中各自根據自己的思路進行整個問題的求證與分析，最后在小組合作討論最優解決方案，討論的過程中不僅是對數學思想深入研討的過程，同時也能夠拓展數學思維，提高學生數學學習的綜合質量。

4.結束語

總而言之，數形結合思想是初中數學思想中非常常用、非常高效的解題方式，將數形結合思想應用于數學課前、課中、課后等不同的環節中能夠發揮出不同的教育功效；作為數學教師，要從不同角度入手，結合學生的具體學情，創設多元化的數學教學、學習活動場景，為學生搭建不同的數學思想應用平臺，在應用過程中鍛煉學生學習思路、拓展學生數學思維，從而達到提高學生數學綜合素養的目標。