分部積分教學的幾點思考：方法與應用

崔漢哲 上海電機學院

一、引言

積分學是高校理工科與經管類各專業的基礎必修課程《高等數學》或《微積分》的主體教學內容。在不定積分和定積分的計算中，分部積分是最基本的方法之一（另一基本方法是換元法）。在通行的教材（如[1]）中，分部積分所占篇幅并不非常多。通常是第四章“不定積分”中的一節內容，和第五章“定積分”中的半節內容。但在具體積分實例的計算中，分部積分是非常有效而常見的方法。而隨著學習的深入，在更高階的數學課程乃至專業研究中，實踐證明，分部積分法的作用和意義顯得越來越重要。本文從被積函數分類的角度出發，分析并總結分部積分法的具體類型，并討論該方法的若干進一步的應用。在本科基礎課的課堂教學中，由于課時所限，這些應用并不屬于常規的教學內容。但教師若能合理安排進度，根據學生的接受程度選取其中合適的部分講授，可使學生加深對分部積分法的理解與體會，認識到該方法的威力，從而進一步提高教學成效。

二、分部積分法原理

三、分部積分的具體方法與應用

（一）四種最基本類型

被積函數的最常見類型是五種基本初等函數。一般的教材中或課堂上，它們都是按照如下順序排列：反三角函數→對數函數→冪函數→三角函數→指數函數，或反三角函數→對數函數→冪函數→指數函數→三角函數。被積函數中如果出現其中兩種不同類型的函數，則排在前面的函數看成u(x)，排在后面的函數則看成v′(x)。然后直接代入分部積分公式求解即可得結果。這個規律常被歸納為口訣“反對冪三指”或“反對冪指三”，更方便記憶。

例如，若被積函數由冪函數與指數函數相乘而得，則選擇冪函數為u(x)，指數函數為v′(x)。這樣在積分中，冪函數的冪次將比原先下降直至消失，從而比更容易計算。

又如，當被積函數為冪函數與三角函數的乘積時，則應將冪函數看成u(x)，將三角函數為v′(x)。這樣在積分中，冪函數的冪次同樣將下降乃至消失，從而比更容易解出。

將以上兩種情形做一下歸納，可以看出，分部積分的作用是降低被積函數中冪函數的冪次。當冪函數的冪次降為0次，則被積函數由單一種類函數所構成，從而可以直接積出。因而若被積函數中冪函數的次數大于1次時，就需要連續分部積分，直至冪函數的次數降為0，從被積函數中消失為止。

若被積函數由對數函數與冪函數相乘而得，則選擇對數函數為u(x)，冪函數為v′(x)。這樣在積分中，對數函數求微分之后消失，最后的被積函數是冪函數或有理函數，從而比更容易計算。

反三角函數與冪函數相乘的情形與之類似。此時應將反三角函數看成u(x)，將冪函數看成v′(x)。這樣在積分中，反三角函數求微分之后成為有理函數或代數函數，最后的被積函數中不再有反三角函數，進而比更容易解出。

另外值得一提的是，若被積函數由單純的對數函數或反三角函數組成，則也屬于上述兩種情況，此時的冪函數即為常數函數1（看成0次冪）。計算的步驟方法是完全相同的。

（二）基本類型中的冪函數可推廣為有理函數或代數函數

在以上四種基本情形中，冪函數可進一步推廣為代數函數或有理函數，原理和方法是類似的。例如當反三角函數與代數函數相乘得到被積函數時，取反三角函數為u(x)，取代數函數為v′(x)。在積分中，反三角函數求微分之后也成為代數函數，因此最后的被積函數就是代數函數，從而比更容易計算。對數函數與代數函數相乘的情形類似。

再用第二類換元法中的三角代換計算后一積分（具體過程略），最后得

（三）被積函數為三角函數和指數函數的乘積

當被積函數為三角函數f與指數函數g的乘積時，具體的計算過程和上述幾種情形略有不同。此時無論將f視為u、將gdx視為；或將g視為u、將fdx視為，都是可行的。要點在于連續分部積分兩次，得到一個關于原積分的簡單代數方程，從中解得原積分。特別要注意，在先后兩次分部積分時，對u(x)與v(x)的選取類型必須完全相同，才能最終求出原積分。即第一次分部時若將三角函數視為u、將指數函數視為v′，則第二次時也應將三角函數作為u、將指數函數作為v′，而不能顛倒。否則在第二次分部積分之后，得到的表達式會“倒退”成為原來的所求積分，相當于抵消了第一次分部積分的作用。這樣就回到了原點，等于什么都沒做。

（四）被積函數為三種不同類型函數的乘積

以上的幾種情形，被積函數都是由兩種不同類型的初等函數相乘而得。事實上，這也是實踐中用到分部積分的大多數情況。但有時在被積函數是三種不同類型函數乘積的情況下，也可用分部積分法求出原函數。

具體而言，當冪函數f、指數函數g、三角函數h相乘組成被積函數時，可用和上一種情形類似的方法。例如將冪函數f與指數函數g的乘積作為u，將三角函數h作為v′，這樣使用分部積分公式后，在積分∫v(x)du(x)中，的表達式仍由冪函數和指數函數組成，于是在u(x)與v(x)分類相同的情況下第二次分部積分，也會得到一個關于原積分的代數方程，進而可以從中求出原積分。

被積函數由三種基本初等函數相乘而得、且又能夠解出積分的情況，基本僅限于上述這一種。可以證明在其他的情況下，原函數很難用初等函數表示，分部積分法此時是失效的。

（五）換元法和分部積分相結合

換元法是另一種最基本的積分方法。很多具體積分的計算，單純用分部積分比較困難，或初學者不易看出如何正確選取u(x)與v(x)。此時往往需要先用換元法對原積分恒等變形，使被積函數變得更簡單或常見，再用分部積分法，就能較容易的求出原函數。

（六）被積函數為一般的初等函數

在熟悉了分部積分的一些基本類型之后，通過領會其精神，可將被積函數的類型進一步推廣。當被積函數為一般的初等函數時，也可通過靈活選擇分部積分公式中的，將原積分積出。要點就在于區分被積函數中的不同類型函數，將導致積分更困難的那一部分看成u(x)。若在分部積分法公式的中，u(x)積求微分之后，原來的函數特征消失，那么積分就有希望計算。

例如，當被積函數中含有對數函數表達式時，若要用分部積分，那么應將對數函數項視為u(x)，這樣在積分中，經由求微分后，對數函數的特征從被積函數中消失，從而該積分可以更容易求得。

（七）推導積分的遞推表達式

在很多不定積分或定積分的計算中，被積函數不但依賴于積分變量，還和自然數n有關。此時應用分部積分法，一般不能直接得到原函數，但可以在不改變原被積函數表達式的情況下，將其中的n變成n-1。如果繼續進行類似的推演，就可將n降為1，從而最終解得該積分。這就是積分的遞推法。所得的積分表達式中也同時含有積分變量和自然數n，稱為積分的遞推表達式。以下舉例說明。先看一個不定積分的例子。

例11中的遞推公式在有理函數的積分中占有基本而重要的地位。任何有理函數的積分，經由多項式除法以后，只需要考慮有理真分式的情況。而用化部分分式的方法不難驗證，任何有理真分式最后都是四種最簡單真分式的線性組合。因此，有理函數不定積分的計算最后就轉化為四種最簡單的有理真分式不定積分的計算問題。而這四種最簡單真分式中，前三種較容易直接積出，不需要遞推公式。例11恰恰是其中最困難的第四種。因此，例11的積分遞推公式基本解決了有理函數不定積分的計算問題。而由例11的遞推公式和初值1I的表達式可知，任何有理函數的不定積分，都可以寫成三類初等函數的表達式：有理函數、對數函數與反三角函數。

另外值得一提的是，有理函數積分是不定積分的一個重要例子，教學時不可忽略。但如要在課堂上向學生嚴謹且完整的推導（甚至只是寫出）一般情形下的公式，其中的字符和上下標卻又非常多，難免使初學者頭暈目眩、不知所云。因此根據筆者的教學經驗，最好通過不同情況的實例分析（例子中用具體數字取代一般字母），向學生說明有理函數如何化為部分分式，四種最簡真分式的不定積分又如何計算。如此才利于學生的理解和接受，能收到較好的效果。

下面再看一個定積分中三角函數的例子。

以下是分部積分計算積分遞推公式的一個巧妙應用。

【例13】證明π為無理數。

證明：乍看之下，往證的結論和分部積分毫無關系。而我們可以構作如下定積分

這里n為自然數。當n≥2時，運用分部積分法，可得Jn的遞推表達式如下：

即Jn=(4n-2)Jn-1-π2Jn-2。由此遞推式，結合初值J0,J1，可知Jn=Rn(π2)，這里Rn為是某個次數最高為n的整系數多項式。

以下用反證法。若π為有理數，則π2也為有理數。設，p,q均為正整數。則在Jn=Rn(π2)兩邊同乘qn，得到。觀察該式左邊可知其為整數，又由Jn的具體構作可知其＞0，于是該式應為正整數。但另一方面，令n→∞，由Jn定義中的積分具體表達式，可知該式右邊→0。從而導致矛盾。所以π為無理數。證畢。

（八）證明積分不等式

各種類型的積分不等式，特別是當被積函數中含有高階導數的情形，在各類數學專業的研究中有著舉足輕重的作用。在與數學分析相關的專業方向如偏微分方程、微分流形、復幾何、幾何分析等學科中，積分不等式隨處可見。在證明這些積分不等式時，往往首先需要對被積函數進行恒等變形，然后才能進一步估計積分值。此時分部積分就是一種重要的方法。記得筆者在攻讀研究生期間上《偏微分方程》課程，研讀L.Evans的名著《Partial Differential Equations》[2]。任課教授在第一節課就說，分部積分法在偏微分方程的研究中幾乎是最基本的技巧：當需要估計積分值而不知如何下手時，第一反應就是先嘗試分部積分，看看能得到什么。以下我們舉一個簡單的例子。

【例14】設f(x)在區間[1,2]上存在二階導函數且f′可積，f(1)=f(2)=0。證明：

證明：首先觀察要證的不等式，右邊出現了二階導數，而左邊的被積函數中只有f(x)。因此需要先對左邊的積分恒等變形，使被積函數中出現f′。具體的，反復利用分部積分法則與題設條件，我們有

（九）計算廣義積分

廣義積分是常義定積分的推廣，共分二種：第一類即無界區間上的廣義積分，第二類即無界被積函數的廣義積分。無論是哪一種，廣義積分的分部積分法和常義定積分的情形都是相似的。所要注意的一點，即是將積分的上下限代入原函數計算函數值時，如果上下限為無窮或瑕點，則此時無法直接計算函數值，而應代之以相應的極限。如果極限存在，則廣義積分收斂，可以計算積分值；如果極限不存在，則廣義積分發散，此時積分值便無法計算。以下舉例說明。

解：這是第一類即無界區間上的廣義積分。觀察被積函數，由冪函數和關于指數函數的有理分式相乘而得，于是類似前述的最基本情形，將x視為u，將視為v′，運用分部積分法則，先計算上界為有限值時的常義積分，得

四、小結

本文從具體方法和應用的角度總結了關于分部積分教學的一些思考。根據筆者的實際經驗，若能結合學生的具體情況，將其落實到教學實踐中，可以收到良好的效果，提高教學質量。