有理可循　有圖可見

孫鑫

【摘? ?要】教師要讓學生經歷用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，引導學生探索“兩邊之和大于第三邊”并說出其中的道理。以唐彩斌老師在“白馬湖之秋”課堂教學節(jié)上展示的《借助尺規(guī)再探三角形》一課為例，唐老師通過情境導入，了解“說理”基礎;通過活動展開，探索“畫圖”方法;通過借圖說理，體會三角形三邊關系;最后引導學生進行歸納概括，感悟“其中”道理。這部分內容的教學對一線教師有一定的借鑒意義。

【關鍵詞】尺規(guī)作圖;三角形;說理;推理

《義務教育數學課程標準（2022年版）》與《義務教育數學課程標準（2011年版）》相比，有一些新的變化。其中有一個變化是對三角形認識的學習內容作了調整。調整后，第三學段（5～6年級）在“教學提示”中要求“圖形的認識教學要引導學生經歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊，并說出其中的道理……”唐彩斌老師在2021年“白馬湖之秋”課堂教學節(jié)上了一節(jié)《借助尺規(guī)再探三角形》的研討課，讓學生對三角形的認識從感性走向理性，讓學生的表達“有理可循”，理解“有圖可見”，為一線教師提供了一節(jié)“如何引導學生‘尺規(guī)作圖’”的教學示范課。

一、情境導入，了解“說理”基礎

數學教學要“知其然”，更要“知其所以然”。學生理解數學知識時，應“說出其中的道理”。我們一直認為小學生受年齡特點、心理特征、知識儲備等限制，“說理”是一件很困難的事情。其實，數學學習中讓學生“說出其中的道理”是對數學知識原理的理解，對數學知識的深層次思考。

師：四年級同學聽說我今天要給六年級的同學上有關“三角形”的課，他們很不服氣。他們說，他們也認識三角形，這是他們的討論發(fā)言，咱們一起來看一看（出示圖1）。

師：這些發(fā)言，你們同意嗎？如果不同意，請說說你的理由。

生：第一個同學說的是對的。第二個同學忽略了重合的情況，所以她的說法是錯的，第三個和第四個同學糾正了她的錯誤，沒問題。最后一個同學說的是對的。

生：你前面的說法我都同意，但你認為最后一個同學說得對，這我不同意。“三角形由三條線段圍成”是對的，“三條線段就能圍成一個三角形”不對。如果三條線段是曲線就不行。

生：我們學過，線段是一條直的線，它有兩個端點。所以說是線段，就已經說明不是曲線了。

師：大家聽明白了嗎？她說得有理由有根據，這樣的表達讓人信服！所以最后一個同學說的也是對的，大家同意嗎？

（多數學生點頭，少數學生舉手）

生： 三角形是由三條線段圍成的，但不是所有的三條線段都能圍成三角形。

（更多的學生表示贊同）

師：數學是講道理的，今天我們就這個問題再來探討一下。

唐老師通過創(chuàng)設情境，以微信群討論的形式引入教學，引導學生對“群討論”的內容是否正確進行判斷，讓學生在交流中“有道理”地說明自己的理由，對三角形的認識和性質進行思考和辨析，為后續(xù)“說理”奠定基礎。

二、活動展開，探索“畫圖”方法

動手操作是大腦和手的協(xié)同活動，體現了“做中學”的理念，學生在動手中激發(fā)好奇心，在動腦中拓展思維。唐老師以“畫給定邊長的三角形”為活動主題，引導學生在任務驅動下完成“尺規(guī)作圖”的過程。

（一）獨立嘗試，畫給定邊長的三角形

出示問題：有4組線段，第一組邊長分別是4、5、6;第二組邊長分別是3、4、8;第三組邊長分別是3、5、8;第四組邊長分別是5、5、5（單位：cm）。請你判斷，哪一組能圍成三角形？哪一組不能圍成三角形？

（經過集體判斷后，學生開始獨立嘗試畫第一組三角形）

師：我來調查一下大家的畫法。在畫這個三角形的時候，用過兩次以上橡皮的請舉手（絕大多數學生舉手）。用尺子就把這個三角形畫成功的請舉手（少部分學生舉手）。

（展示學生作品1，如圖2）

師：他第一條畫的是6cm線段，第二條畫的是4cm線段。于是這位同學就去量最后這條線段兩點之間的距離，一量卻發(fā)現那一段……

生：不是5cm。

師：不是5cm，他總不好意思很違心地就把它連起來，怎么辦？所以很多同學和他的經歷差不多，就把這一條擦掉，重新再畫過，但畫了好幾次都沒有成功。

師：也有運氣很好的同學，成功了，我們一起來看看。

（展示學生作品2，如圖3）

生：老師，你仔細看，會發(fā)現5cm的那條和4cm那條還差一點點，我剛才也試了好幾次，總差一點，太難了。

師：在不斷地嘗試中，總想找到剛好畫上去是5cm，但又不要影響那個4cm，看起來還行，但自己總覺得還差那么一點點。

讓學生獨立探索畫“給定邊長的三角形”是有一定難度的。唐老師讓學生經歷嘗試的過程，學生在實踐中會對“畫三角形”這個任務的難度有深刻的體會。同時，好奇心將驅使學生進一步思考：有沒有方法可以比較方便地畫出標準的三角形呢？這為學習尺規(guī)作圖的方法奠定了心理基礎。

（二）示范演示，講解用尺規(guī)作圖畫三角形的基本方法

師：畫三角形好像沒有看起來那么簡單，有沒有不用體驗那么多挫折感，就能畫出給定邊長的三角形的好辦法呢？

（教師利用幾何畫板演示，先畫一條長6cm的線段）

師：我們要做的是找一個點，這個點到6cm線段一個端點的距離剛好是4cm，我們遇到的困難是這個點連接6cm線段的另一個端點時，長度不是5cm。其實到這個點距離等于4cm的點有很多，在很多個點中總有一個點是符合要求的。

師：用什么工具可以幫助你找到很多距離這個點是4cm的點？

生（全體）：圓規(guī)。

（教師用圓規(guī)演示，以6cm線段的一個端點為圓心，圓規(guī)兩點之間的距離為4cm，畫一條弧線）

師：我們再看6cm線段的另外一個端點，圓規(guī)兩點之間的距離是幾？現在你有辦法了嗎？

生：（興奮地）我知道了！用圓規(guī)，以6cm線段的另一個端點為圓心，兩點之間距離為5cm畫一條弧線。這兩個弧相交的地方就是我們要找的點。

師：你們能聽懂他說的嗎？是什么意思？

生：我明白了，左邊這條弧上所有的點到左邊端點的距離都是4cm，右邊這條弧上所有的點到右邊端點的距離都是5cm。兩條弧相交的點，既滿足到左邊端點距離等于4cm，又滿足到右邊端點距離等于5cm，太標準了！

生：畫完以后把弧線擦掉，再這樣把這個點和線段兩邊的端點連起來，就是一個符合要求的三角形。

學習過程是知識同化與順應的過程，在這個過程中，學生的學習動機起到非常重要的作用。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，唐老師在學生畫圖遇到困難的時候，提供了“圓規(guī)可以幫忙”的引導，學生在這一思路的引領下，想到“找兩條弧長的交點確定三角形第三個頂點位置”的方法。學習成了學生自我成長、自我挑戰(zhàn)、自我完善的過程。

三、借圖說理，體會三角形三邊關系

（一）嘗試交流，體會三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的原因

師：剛剛大家嘗試畫了邊長為4、5、6和5、5、5的兩個三角形。我們知道用邊長為3、4、8和3、5、8的兩組線段，畫不出三角形。你能用“畫”的辦法，說明為什么畫不出來的道理嗎？

生：如果線段長度為3、4、8的話，先畫一條長4cm的線段，再以一個端點為圓心畫一個半徑為3cm的圓，以另一個端點為圓心畫一個半徑為8cm的圓。這個小圓被包含在大圓里面，永遠都不可能有交點，也就是說找不到第三個點，所以畫不出來。

師：看來大家已經可以用畫的辦法，說明長度是3、4、8cm的線段是組不成三角形的。還有同學覺得不用畫，也能說明它是組不成三角形的。誰能來說說理由？

生：因為三角形的任意兩條邊之和必須大于第三條邊。

師：那么我們是不是要兩兩組合都試一下，比如說8+4是不是大于3，也需要試嗎？

生：我覺得只要算這三條邊中較短的兩條邊就可以了。因為最長的那條邊無論和誰加起來都會比最后一條邊長。

師：就看短的兩條邊就行了。剛剛還有一種情況是線段長為3、5、8，3+5剛剛好等于8，剛剛好行不行？

生：3加5等于8，兩條線重合了。我們想象一下，先畫一條8cm長的線段，到左邊這個端點等于3cm的點和到右邊端點等于5cm的點，會有交點嗎？如果有，交點會在哪個地方？

師：可以把它畫出來。

生：（一邊畫一邊說）它們相交的點剛剛好在這條8cm長的線段上，它不是一個三角形。

（其他學生點頭表示同意）

師：所以不是所有的三條線段都能組成三角形。對于三條線段能不能組成三角形，我們通常用什么方法去判斷？

生：任意兩邊之和大于第三邊。

師：我們原來就知道這個“原則”，現在的知道和以前的知道之間有沒有什么不一樣的地方？

生：我現在能夠用畫的方法，更有道理地說明為什么這樣了！

以上過程，唐老師引導學生用“畫”的方法，對三角形三邊關系，從“知其然”自然地上升到了“知其所以然”，學生對“數學是講道理的”有了更深刻的感悟與理解。

（二）拓展應用，利用三角形三邊關系解決問題

“抽盲盒”活動：圖4中，有三個高度為4cm的盲盒，每個盲盒里面都裝有豎著放置的三根長度是整厘米數的小棒。

師：請你閉著眼睛來抽盲盒，無論抽到哪一個盒子都要做出判斷，說清這個盒子里的三根小棒能不能圍成一個三角形。先想一想抽到哪一個可以圍成三角形，哪一個不能，可以相互商量一下。

（學生先獨立思考，再同桌交流）

師：你心里最想抽到的是幾號？

生：①號。

師：為什么？

生：因為①號三根都看見了，不管怎么樣都能圍成一個三角形。

（學生抽到了②號）

師：你抽到了②號，能判斷它里面的三根小棒是否可以圍成三角形？

生：②號盲盒里有兩根小棒的長度是看到了的，一根長6cm，一根長8cm。另外一根看不到，說明看不到的那根小棒的長度小于或等于4cm。如果它的長度是1cm或2cm，那么這根小棒加上6cm長的小棒都不能大于8cm，就圍不成三角形。如果它的長度是3cm或4cm，那么和6cm加起來就大于8cm，能圍成三角形。

師：如果他抽中的是③號，能判斷出是否能組成三角形呢？

生：不能組成。

師：一定不能組成，還是不一定能組成？

生：一定不能。因為③號只有一根8cm的小棒是可以看得到的，還有兩根肯定是等于或者小于4cm，就算兩根小棒都是4cm，兩根加起來也只是剛好等于8，所以說它想要連成三角形是不可能的。

師：假如還有一個盲盒，一根小棒的長度都看不到，你還能判斷嗎？

生：不一定！

師：有一個同學偷偷地瞄了一眼，發(fā)現了一個重要的信息，她說三根都是一樣長的，可不可以？

生（全體）：可以。

師：她說有兩根一樣長的。

生（部分）：可以。

師：說說理由。

生：如果三根一樣長，可以圍成等邊三角形。如果兩根一樣長，比如其中兩根是3cm，有一根是1cm，那么1+3=4比3大，那就一定能圍成。如果兩根一樣長，都是2cm，另外一根是1cm，1+2=3，比2大，也可以。

生：我有不同意見，如果有兩根是1cm的，還有一根是3cm的就不行。只要有一種情況不行，就不能說可以，只能說不一定。

師：看來一個盒子里面蘊含的問題還挺多，但是我認為我們看見也好，看不見也好，在判斷它能不能組成三角形的時候，都依據了一條重要的規(guī)律，是什么？

生（全體）：任意兩邊之和大于第三邊。

以上過程中，唐老師以猜盲盒的形式拓展學生的思考空間。學生以“任意兩邊之和大于第三邊”為應用依據，判斷小棒是否可以圍成三角形。從“三根小棒都能看見”為起點，過渡到“兩根小棒能看見”“一根小棒能看見”再到“三根小棒都看不見”，學生不但能從知識本身出發(fā)進行“說理”，也能結合實際，注意到盒子長度的隱性條件進行思考，從而解決問題。在這個過程中學生的表達非常精彩。這些精彩來自教師之前對“說理”的鋪墊，來自學生在動手“畫”的過程中的體悟。

（三）歸納概括，感悟“其中”道理

師：咱們根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊”解決了盲盒的問題。這句話是怎么來的呢？你有沒有懷疑過這句話？這句話一定正確嗎？

生：我們首先假設三角形的一條邊等于另外兩條邊的和，就像剛才我們用圓規(guī)畫三角形一樣，以短的兩條邊為半徑畫成的兩個圓只有一個相交的點，就是在那條長的邊上，所以不能圍成三角形。然后我們再假設兩條短的邊的和小于長的邊，那么一樣這個圓就無論如何都碰不在一起，沒有交點就不能圍成三角形，所以三角形的任意兩邊之和大于第三條邊。

師：他腦子里有一幅剛才我們用圓規(guī)畫的圖，通過有沒有交點以及交點的位置判斷是否可以圍成三角形，這樣想很好。

生：我覺得還有一個解釋。三角形三條邊分別為a、b、c，如果a是下面的一條長線段，b和c要是能和a一起組成一個三角形，相當于它們兩個連在一起至少相當于a的上面（或下面），這兩條邊像一條折了一下的線，所以它肯定比a邊要長一點。

生：簡單地說就是兩點之間線段是最短的。

師：厲害！基于這個基本事實我們就可推理了，你能不能用一個算式來表示兩邊之和大于第三邊的結論？

生：因為兩點之間線段最短，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a。

師：根據這樣的結論，我們就可以堅定不移地說，它是一個正確的結論。這個今天反復被我們使用的結論叫什么？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

師：這個結論千真萬確，有理有據。不是我們量出來的，不是我們算出來的，而是我們基于一個基本的事實推導出來的結論，所以可以放心地使用。

本節(jié)課，首先唐老師通過恰當情境構造說理環(huán)境，充分調動學生說理的積極性和邏輯性，讓學生做到了“有理可辯”;其次對學生不那么容易理解的“道理”，唐老師沒有直接從判斷推理進入，而是以尺規(guī)作圖畫三角形開始，讓學生在“有圖可見”中，逐步明晰道理;接著，他運用盲盒這一情境，讓學生經歷推理的過程，拓展思考空間，演繹了“有理可循”;最后學生經歷從具象的“看到”到抽象的推理論證的過程，成就了“有據可證”。唐老師的課圍繞新內容“尺規(guī)作圖”，讓我們看到了如何引導學生操作，怎樣教會學生推理，值得一線教師深入思考，反復學習！

（浙江省湖州市安吉藍潤天使外國語實驗學校313300）