30倍輕小型變焦光學系統(tǒng)設計

張 坤，曲 正，鐘 興，李京宸，張 茜

（1.中國科學院 光電技術研究所，四川 成都 610207；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；3.長光衛(wèi)星技術有限公司，吉林 長春 130102）

1 引 言

變焦光學系統(tǒng)調節(jié)凸輪能夠使鏡頭的焦距連續(xù)地變化，從而使被觀測物體的成像倍率連續(xù)地變大［1］。因此，變焦光學系統(tǒng)不僅可以對感興趣的目標進行廣域的搜索，而且還能進行精密的跟蹤和詳細的觀察［2-3］。變焦光學系統(tǒng)在目標跟蹤、無人機光電吊艙、安防監(jiān)測以及攝影等諸多領域都得到了廣泛的應用［4-6］。

變焦光學系統(tǒng)的變焦類型可分為4種：光學式變焦、機械補償式變焦、雙組聯(lián)動式變焦和全動型變焦。同其他變焦類型相比，機械補償式變焦光學系統(tǒng)通過改變變倍組和補償組的相對位置，可以連續(xù)地改變整個光學系統(tǒng)的焦距，具有結構簡單和研制成本低廉等優(yōu)點。然而，機械補償式變焦光學系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)展了幾十年，卻仍然存在大變倍比和輕小型的設計矛盾［7-9］。2019年，張健等［10］利用正組補償結構設計了一款焦距為30～300 mm的機械補償式變焦光學系統(tǒng)，通過引入非球面和漸暈的方法把整個系統(tǒng)的質量從937 g減小到了584 g，但整個系統(tǒng)的長度仍然高達330 mm，其凸輪曲線也出現(xiàn)了拐點。2020年，劉圓等［11］設計了一款焦距為50～1 000 mm的機械補償式變焦光學系統(tǒng)，該光學系統(tǒng)由28片球面透鏡組成，最大口徑為100 mm，總長為399.9 mm。2020年，劉云鵬等［12］設計了一款50倍五組變焦光學系統(tǒng)，該系統(tǒng)的第二組元和第三組元是運動組元，第四個組元是一個可替換透鏡組元。整個系統(tǒng)結構緊湊，但論文中并沒有對該系統(tǒng)是否具有50倍連續(xù)變焦的功能進行分析。

為了解決機械補償式變焦光學系統(tǒng)大變倍比和輕小型設計之間的矛盾，本文對大變倍比變焦光學系統(tǒng)的光焦度分配方式進行了理論分析，并利用平滑換根取段和變F數(shù)的方法來實現(xiàn)輕小型設計，從而提出了一種大倍率輕小型機械補償式變焦光學系統(tǒng)設計方法，使用全球面透鏡設計了一款焦距為7～210 mm的機械補償式變焦光學系統(tǒng)，該變焦系統(tǒng)的最大口徑為67 mm，全長為190 mm。

2 原 理

2.1 大倍率變焦光學系統(tǒng)的光焦度分配

機械補償式變焦光學系統(tǒng)應用非常廣泛，其光學系統(tǒng)僅有兩條凸輪曲線，即一條直線和一條曲線。同雙組聯(lián)動型變焦光學系統(tǒng)和全動型變焦光學系統(tǒng)［12］相比，機械結構更加簡單、研發(fā)成本更低。然而，機械補償式變焦光學系統(tǒng)分為負組補償式變焦光學系統(tǒng)和正組補償式變焦光學系統(tǒng)兩種結構，負組補償式變焦光學系統(tǒng)的特點是整個光學系統(tǒng)的口徑大、長度短，正組補償式變焦光學系統(tǒng)的特點是整個光學系統(tǒng)的口徑小、長度長［13］。機械補償式變焦光學系統(tǒng)中，前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配有多種形式［14］。

當密接薄透鏡組位于空氣中時，透鏡組的位置色差和倍率色差分別為：

其中：N為薄透鏡組中薄透鏡的個數(shù)，φ為薄透鏡的光焦度，υ為透鏡的阿貝數(shù)，h為透鏡的半通光口徑，hz為主光線在透鏡表面上的入射高度。根據(jù)式（1）和式（2）可知，變焦光學系統(tǒng)前固定組的口徑越大，前固定組的色差越大。為了減小前固定組的色差，前固定組的光焦度越小越好，即焦距越大越好。

負組補償式變焦光學系統(tǒng)的口徑大、長度短。根據(jù)式（1）和式（2）可知，光學系統(tǒng)的口徑越大色差越大，色差校正越困難。根據(jù)球差方程：

其中：n為透鏡的折射率，i，i'分別表示光線的入射角和出射角，u為第一近軸光線的孔徑角。變焦光學系統(tǒng)的口徑越大，h越大，光學系統(tǒng)的球差越難校正。正組補償式變焦光學系統(tǒng)的口徑小、長度長。因此，與負組補償變焦光學系統(tǒng)相比，正組補償變焦光學系統(tǒng)對色差和球差的校正能力更強。綜上分析可知，在不使用特殊光學元件的時候，正組補償結構更適合大倍率變焦光學系統(tǒng)設計。

正組補償式變焦光學系統(tǒng)前固定組的光焦度通常為正值，后固定組的光焦度可為正值也可為負值。當后固定組的光焦度為正值時，為了滿足光焦度分配方程，前固定組的正光焦度將變小。由式（1）和式（2）可知，前固定組的光焦度越小，位置色差和倍率色差就越小。因此，后固定組的光焦度為正值的正組補償式變焦光學系統(tǒng)更有利于色差校正。

綜上所述，當機械補償式變焦系統(tǒng)的前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時，更有利于大倍率變焦光學系統(tǒng)的像差校正。

2.2 初始結構計算

當機械補償式變焦系統(tǒng)的前固定組、變倍組、補償組和后固定組的光焦度分配分別為“+，-，+，+”時，變焦光學系統(tǒng)的變焦原理如圖1所示。從圖1可知，機械補償式變焦光學系統(tǒng)有4個組元，分別為前固定組、變倍組、補償組和后固定組，各組元對應的光焦度分別為φ1，φ2，φ3和φ4。當變焦光學系統(tǒng)位于短焦位置時，變倍組距離前固定組最近，補償組距離后固定組最近。當變焦光學系統(tǒng)逐漸由短焦向長焦變化時，變倍組將逐漸向右遠離前固定組，補償組向左遠離后固定組，最后變倍組和補償組的距離達到最小值，此時光學系統(tǒng)的焦距最長。

在計算變焦光學系統(tǒng)的初始結構時，為了避免相鄰組元在運動過程中發(fā)生碰撞，相鄰組元之間必須留有足夠的間距。這里利用高斯光學來計算變焦光學系統(tǒng)的初始結構［15］。

圖1 正組補償變焦光學系統(tǒng)原理Fig.1 Principle diagram of positive group compensation zoom optical system

在變焦光學系統(tǒng)中，假設變倍組和補償組的歸一化焦距分別為f2'和f3'，根據(jù)長焦距時變倍組和補償組的歸一化倍率m2l和m3l，可得變倍組與補償組之間的距離為：

變倍組從長焦距變化到短焦的總移動距離為：

短焦時變倍組的倍率為：

根據(jù)變焦微分方程可得短焦距時補償組的倍率m3s：

補償組從長焦距變化到短焦的總移動距離為：

變焦光學系統(tǒng)的總變倍比可表示為：

當變焦光學系統(tǒng)在短焦時，前固定組和變倍組的距離為d12s，補償組與后固定組的距離為d34s，后固定組的倍率為m4s，則光學系統(tǒng)前固定組的焦距f1'為：

其中：l'3s表示光學系統(tǒng)在短焦時補償組的像距。

根據(jù)式（7）可知，變倍組的一個位置對應補償組的兩個位置。因此，利用補償組的這兩個位置可以進行換根，變焦光學系統(tǒng)的平滑換根原理如圖2所示。圖中，A1-A2-A3為變倍組的運動軌跡，B1-B2-B3和C1-C2-C3為補償組對應的兩條運動軌跡。

圖2 平滑換根原理Fig.2 Schematic diagram of smooth root exchange

若要保證補償組的運動曲線不出現(xiàn)拐點，必須使補償組的兩條運動曲線相切以實現(xiàn)平滑換根，即在B2和C2處相切。此時，相切處補償組的放大倍率m3m應滿足：

平滑換根的補償組仍然具有兩條運動曲線，即B1-B2-B3和C1-B2-B3。從A1運動到A3的過程中，變倍組放大率的絕對值一直在增大。從C1運動到B2再運動到B3的過程中，補償組放大率的絕對值也一直在增大。因此，當補償組的運動曲線為C1-B2-B3時，光學系統(tǒng)可實現(xiàn)快速變焦。

綜上所述，根據(jù)式（4）～式（13）并利用參數(shù)設定的方法，可計算出f1'，f2'，f3'，f4'和各組元之間的距離。

3 變焦光學系統(tǒng)設計

3.1 設計指標

光學系統(tǒng)的設計指標與用戶使用的要求和所選探測器的參數(shù)相關。本文所選探測器的像元尺寸為4.8μm×4.8μm，其對應的奈奎斯特頻率為104 lp/mm。為了滿足廣域搜索和高分辨率觀察的應用需求，變焦光學系統(tǒng)的詳細設計指標如表1所示。

表1 變焦光學系統(tǒng)的設計指標Tab.1 Design parameters of zoom optical system

3.2 光學系統(tǒng)設計

根據(jù)2.2節(jié)可知，式（4）～式（13）屬于欠定方程組，因此機械補償式變焦光學系統(tǒng)的初始結構具有多重解。為了快速有效地解算出較佳的初始結構，本文提出了利用參數(shù)設定和光學設計軟件聯(lián)合解算的方法。解算步驟如下：

（1）為了實現(xiàn)補償組平滑換根，以變倍組和補償組的放大倍率為-1作為計算的起始狀態(tài)，假設變倍組的焦距為-1，計算出補償組的焦距、補償組與變倍組的物像距離和它們之間的間距；

（2）設定長焦時變倍組的放大率，求取長焦時變倍組的物距、像距和沿光軸的移動量，再通過變倍比計算出短焦時變倍組和補償組的放大倍率等參數(shù)；

（3）以起始狀態(tài)為基準（變倍組和補償組的放大率為-1），計算短焦時光學系統(tǒng)的參數(shù)；

（4）選取短焦狀態(tài)，計算出前固定組的焦距；

（5）選取短焦狀態(tài)，設定后固定組的放大率，再計算出后固定組的焦距；

（6）通過系統(tǒng)參數(shù)縮放，獲得長焦、中焦和短焦時各組元之間的距離；

（7）把計算出的參數(shù)帶入光學設計軟件中，對系統(tǒng)的光闌位置和F數(shù)等參數(shù)進行優(yōu)化，并保證光學系統(tǒng)結構緊湊和變焦曲線平滑無拐點。

利用上述計算方法，對30倍變焦光學系統(tǒng)的初始結構進行解算和優(yōu)化，最后得到變焦光學系統(tǒng)中各組元的焦距，如表2所示。

表2 四組元的初始焦距Tab.2 Focal length of four groups in initial structure

變焦光學系統(tǒng)的焦距分別在7，60和210 mm處各組元之間的間距如表3所示。

表3 四組元之間的間距Tab.3 Spacing between four groups

變焦光學系統(tǒng)的理想結構模型如圖3所示。變焦光學系統(tǒng)的總長為180 mm，孔徑光闌位于補償組前方1 mm處。在連續(xù)變焦的過程中，孔徑光闌與補償組同步運動，孔徑光闌的口徑保持不變，光學系統(tǒng)的F數(shù)會隨著焦距的變化不斷改變。

從圖3可知，光學系統(tǒng)的焦距從7 mm連續(xù)變化到210 mm的過程中，變倍組逐漸遠離前固定組，補償組逐漸靠近前固定組。在連續(xù)變焦的過程中，兩條變焦曲線沒有出現(xiàn)拐點。

把表2和表3中的數(shù)據(jù)代入光學設計軟件中進行透鏡替換，經(jīng)過優(yōu)化設計得到的變焦光學系統(tǒng)的結構如圖4所示。變焦光學系統(tǒng)的全長為190 mm，最大口徑為67 mm。

圖3 變焦光學系統(tǒng)的理想模型Fig.3 Ideal model of zoom optical system

圖4 變焦光學系統(tǒng)結構Fig.4 Structure diagram of zoom optical system

4 系統(tǒng)評價與分析

4.1 像質評價

調制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF）、點列圖和畸變是評價光學系統(tǒng)成像質量的重要指標。MTF表示光學系統(tǒng)成像的調制度變化情況，通過MTF曲線可以比較全面地評價系統(tǒng)的成像質量。圖5為變焦光學系統(tǒng)的MTF曲線，由圖5可知，當變焦光學系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時，奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場的平均MTF均大于0.25。

圖5 變焦光學系統(tǒng)的MTF曲線Fig.5 MTF curves of zoom optical system

點列圖可以比較準確地反應出光學系統(tǒng)成像光線的彌散情況。點列圖中的均方根（Root Mean Square，RMS）彌散斑半徑越小，光學系統(tǒng)的成像質量就越好。圖6為變焦光學系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時的點列圖。

圖7為變焦光學系統(tǒng)的焦距分別為7，60和210 mm時的場曲和畸變曲線。從圖7可知，光學系統(tǒng)全焦段的畸變都小于3%。

圖6 點列圖Fig.6 Spot diagram

4.2 公差分析

公差分析是變焦光學鏡頭加工裝配前的重要分析環(huán)節(jié)之一，利用光學設計軟件中的公差分析功能，可以快速有效地評估出變焦鏡頭的制造難度。綜合考慮變焦光學系統(tǒng)在短焦、中焦和長焦處時各光學透鏡的公差靈敏度，最終確定變焦光學系統(tǒng)的公差分配情況，如表4所示。

圖7 場曲和畸變曲線Fig.7 Field and distortion curves

根據(jù)蒙特卡洛分析可得，當采用表4的分配公差時，變焦光學系統(tǒng)在奈奎斯特頻率104 lp/mm處全視場的平均MTF分布規(guī)律如圖8所示。蒙特卡洛分析表明，80%的系統(tǒng)在全焦段內的MTF均大于0.14。

表4 變焦光學系統(tǒng)的公差分配Tab.4 Tolerance distribution of zoom optical system

圖8 蒙特卡洛分析概率Fig.8 Probability of Monte Carlo analysis

4.3 變焦曲線

在變焦光學系統(tǒng)中，若變焦曲線出現(xiàn)了拐點，極可能會出現(xiàn)變焦卡死的現(xiàn)象。因此，為了能夠保證變焦鏡頭平滑變焦，變焦曲線盡量不要出現(xiàn)拐點［16-17］。此外，機械補償式變焦光學系統(tǒng)在變焦曲線設計的過程中，為了降低凸輪的加工難度，一條變焦曲線設計為直線，另外一條變焦曲線設計為高次曲線。

本文的30倍變焦光學系統(tǒng)采用變倍組線性運動，補償組非線性運動的方式進行連續(xù)變焦。當變焦鏡頭的凸輪直徑為50 mm時，變倍組和補償組與凸輪旋轉角度的變化曲線如圖9所示。

圖9 凸輪擬合曲線Fig.9 Fitting cam curves

5 結 論

為了緩解機械補償式變焦光學系統(tǒng)大變倍比和輕小型設計之間的矛盾，本文提出采用平滑換根的“+，-，+，+”光焦度分配方式，結合變F數(shù)的方法來實現(xiàn)輕小型設計，并提出利用結構參數(shù)設定和光學設計軟件聯(lián)合解算的方法，來合理地分配各組元的光焦度，保證變焦曲線平滑無拐點，從而快速有效地解算出變焦光學系統(tǒng)的初始結構參數(shù)，提高光學系統(tǒng)設計的成功率。利用全球面透鏡設計了一款焦距為7～210 mm的30倍連續(xù)變焦光學系統(tǒng)，可匹配1/2英寸的探測器，該變焦系統(tǒng)的最大口徑為67 mm，全長為190 mm，在奈奎斯特頻率處全視場的MTF均大于0.25，該系統(tǒng)還具有全視場無漸暈、變焦曲線無拐點、制造成本低廉等優(yōu)點，在目標跟蹤、安防監(jiān)測等領域具有廣泛的應用前景。