修正Kadomtsev‐Petviashvili 方程的分解及其孤子解

李 權(quán)，扎其勞

（1.河套學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015008；2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；3.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

眾所周知，求解高維孤子方程難度很大［1‐2］。在過去的三十年里，許多研究學(xué)者致力于將高維孤子方程分解為幾個(gè)已知的（1+1）維孤子方程，這些可以通過引入變量約束［1-3］的途徑來處理，因此高維方程的解可以由相應(yīng)的（1+1）維方程的解來表示。事實(shí)上，有許多方法可以獲得（1+1）維孤子方程的精確解，如逆散射變換、Hirota 雙線性方法、B?cklund 和Darboux 變換、代數(shù)幾何方法等，其中，Darboux 變換是獲得某些孤子方程精確解的最有效的方法之一。1984 年，Neugebauer 和Meinel［4］給出一種系統(tǒng)的方法來直接構(gòu)造AKNS系統(tǒng)的N重Darboux 變換。之后，該方法已被許多研究學(xué)者應(yīng)用于尋找多孤子解。

本文將（2+1）維修正Kadomtsev‐Petvishivili（mKP）方程［1，5］

成功分解為Kaup‐Newell（KN）系統(tǒng)的前兩個(gè)非平凡孤子方程組

約束條件為

式（4）和方程（2）~（3）滿足方程（1），其中??-1=?-1?=1(?= ??x)。如果利用方程（2）和（3）解出(u，v)，那么由約束條件（4）就能給出mKP 方程（1）的相應(yīng)解。mKP 方程（1）是mKdV 方程的二維推廣，被廣泛研究［3-8］。

本文討論KN 系統(tǒng)的N重Darboux 變換和mKP 方程（1）的多孤子解，目前相關(guān)內(nèi)容研究較少。首先建立方程（1）與方程（2）~（3）之間的聯(lián)系，然后根據(jù)Neugebauer 思想，通過KN 譜問題的規(guī)范變換，導(dǎo)出方程（2）~（3）的一個(gè)新的N重Darboux 變換［6-8］。最后，借助N重Darboux 變換和分解，得到mKP 方程（1）的多孤子解。

根據(jù)式（4）與方程（2）~（3），直接計(jì)算可得

將式（4）~（5）代入方程（1），通過計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple 或Mathematica，得到（4）滿足（1）的結(jié)論。

方程（2）~（3）與Kaup‐Newell 譜問題

有密切相關(guān)，KN 譜問題（6）與AKNS 譜問題是規(guī)范等價(jià)。通過計(jì)算相容性條件Uy-V(4)x+UV4-V(4)U=0 和Ut-V(6)x+UV(6)-V(6)U=0，可分別得到方程組（2）和（3）。

1 N 重Darboux 變換

構(gòu)造KN 譜問題［6］的Darboux 變換。設(shè)?=(?1，?2)T和ψ=(ψ1，ψ2)T是譜問題（6）~（8）的兩個(gè)基本解，用(φ，ψ)定義Darboux 矩陣

其 中關(guān)于x，y和t的函數(shù)，A2k，B2K-1，C2k-1和D2k由線性方程組

給出，其中

適 當(dāng) 選 擇 參 數(shù)λj和rj(λi≠λj，ri≠rj，i≠j) 使 得 方 程（10）和（11）的 系 數(shù) 行 列 式 非 零，此 時(shí)A2k，B2k-1，C2k-1和D2k(1 ≤k≤N)由方程（10）和（11）唯一確定。等式（9）表明detT(λ)是λ 的4N次多項(xiàng)式，且detT(λj)=A(λj)D(λj)-B(λj)C(λj)。另 一 方 面，由 方 程（10）和（11）有A(λj)=-δj B(λj)，C(λj)=-δj D(λj)。因此，有detT(λj)=0。這意味著λj(1 ≤j≤2N)是T(λ)的2N個(gè)根，則是

其中γ與λ無關(guān)。

KN 譜問題（6）的Darboux 變換實(shí)際上是一個(gè)規(guī)范變換

類似于文獻(xiàn)［6］中的證明，給出如下命題。

命題1由譜問題（15）~（17）確定的矩陣具有相同的形式，即

由舊位勢(shì)u和v到新位勢(shì)-u和-v的變換公式為

其中Δ2N和Λ2N是方程（10）和（11）的系數(shù)行列式，即

ΔA2N，ΔB2N-1分別由ΔN-1的第(2N-1) 列、第2N列替換為(-α，-α，…，-α)T而來，ΔD2N，ΔC2N-1分別由Λ2N的第(2N-1)列、第2N列替換為(-βδ1，-βδ2，…，-βδ2N)T而來。

根據(jù)命題1，很容易看出方程（15）和（16）也是（1+1）維孤子方程組（2）的Lax 對(duì)，方程（15）和（17）是（1+1）維孤子方程組（3）的Lax 對(duì)，變換（18）通常被稱為（1+1）維孤子方程組（2）和（3）的Darboux 變換。

命題2設(shè)(u，v)是（1+1）維孤子方程組（2）和（3）的解，那么由Darboux 變換（19）確定的函數(shù)和是方程組（2）和（3）的另一個(gè)解，且函數(shù)

是mKP 方程（1）的一個(gè)新解。

2 Darboux 變換的應(yīng)用

將應(yīng)用Darboux 變換給出（2+1）維mKP 方程（1）的多孤子解。選擇平凡解u0=v0=0，Lax 對(duì)（6）~（8）對(duì)應(yīng)的相容基本解可以寫成

將式（19）和（24）代入（22），得到k‐孤子解(1 ≤k≤N)的一個(gè)統(tǒng)一的顯式公式，因此很容易得到方程（1）的N‐孤子解。為了簡(jiǎn)單起見，將討論兩種特殊情形N=1 和N=2。

情形1（N=1）。當(dāng)λj，rj(j=1)時(shí)，式（22）是mKP 方程（1）的一個(gè)精確解

情形2（N=2）。當(dāng)λj，rj(j=1，2，3，4) 時(shí)，式（22）是mKP 方程（1）的另一個(gè)精確解

其中

δj=(j=1，2，3，4)在式（24）中確定。選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)（如λ2=iλ1和λ4=iλ3），解（27）為雙孤子解。圖1（b）為該解的三維圖。

圖1 （a）單孤子解（26）取參數(shù)μ1=1，r1=0.1，r2=0.2，σ=-1，t=0；（b）雙孤子解（27）取參數(shù)λ1=1，λ2=i，λ3=1.1，λ4=i1.1，r4=-r3=r2=-r1=0.1，σ=-1，t=0Fig.1 （a）The single soliton solution（26）with μ1=1，r1=0.1，r2=0.2，σ=-1，t=0；（b）The double soliton solution（27）with λ1=1，λ2=i，λ3=1.1，λ4=i1.1，r4=-r3=r2=-r1=0.1，σ=-1，t=0

重復(fù)上述步驟，可得mKP 方程（1）的一系列多孤子解。

3 結(jié)論

目前，諸多（1+1）維方程的求解方法被廣泛提出和使用，但相比于此，（2+1）維方程的求解方法不是很普遍。本文成功地將（2+1）維mKP 方程分解成兩個(gè)（1+1）維KN 孤子方程組，并應(yīng)用這兩個(gè)（1+1）維孤子方程組的N重Darboux 變換獲得了（2+1）維mKP 方程的孤子解。