(m，5，2，4)光正交碼最大容量的一種計算方法

盧曉立，黃月梅，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

1 相關引理

設m，k，λa，λc為正整數，Zm為模m的剩余類加群，參數為(m，k，λa，λc)光正交碼是一些長為m，漢明權重為k的(0，1)-序列的集合C，每個(0，1)-序列稱為一個碼字，且滿足下列性質：

（1）自相關性：對于任意A=(ai)∈C 與任意正整數r，r∈Zm{0}，有

（2）互相關性：對于任意A=(ai)，B=(bi)∈C 與任意整數r，r∈Zm，A≠B，有

公式中的角標模m運算。一個參數為(m，k，λa，λc)光正交碼，簡記為(m，k，λa，λc)-OOC，所含的碼字個數稱為容量。對給定的正整數m，k，λa，λc，常用Φ(m，k，λa，λc)表示所有參數為(m，k，λa，λc)的光正交碼中最大的容量。達到最大容量的光正交碼為最優。

光正交碼最早在文獻［1］中被研究。起初，各學者主要是對λa=λc的光正交碼進行研究。關于λa≠λc的情況，在文獻［2］中，給出了k=4，λa=1和2，λc=3 時的一維以及二維光正交碼的最優值。在文獻［3］中，確定了k，λa=k-2，λc=k-1 的最優二維光正交碼的碼字個數的計算公式，并給出了k=5，λa=3，λc=4的最優二維光正交碼的碼字個數的確切值。

本文確定了k=5，自相關系數為3 時的光正交碼的軌道代表元的表示形式，并且進一步給出了一種求解k=5，λa=2，λc=4 的一維光正交碼的最大碼字個數的計算方法。

令In={0，1，2，…，n-1}，Zm是模m的剩余類加群，集合Ω(n×m，k)為In×Zm的所有k元子集的集合。Φ(n×m，k，λa，λc)表示參數為(n×m，k，λa，λc)的二維光正交碼的最大容量。

引理1［2］設n，m，k，α為正整數，且1 ≤α≤k-2，則

Θ(α)是集合Ω(n×m，k)在群Zm作用下滿足λ(X)=α+1 時的所有軌道的集合。

故當n=1，k=5，α=2 時，結論如下。

推論對任意正整數m，有Φ(m，5，2，4)=Φ(m，5，3，4)-|Θ(2)|。

結合文獻［3］中給出的結果，只需確定Θ(2)的值，即集合C5Zm在群Zm作用下滿足λ(X)=3 時的所有軌道的個數。

2 預備知識

Zm是模m剩余類加群。令CkZm表示Zm中所有k‐子集的集合。對于C中的任意一個(0，1)‐序列A，相應地，在Zm上有且僅有一個k‐子集XA，使得i∈XA當且僅當A的第i個位置為1。根據上述條件，可以得到光正交碼的一個等價定義，即一個漢明權重為k的一維光正交碼可以看成一些k‐子集的集合{XA：A∈C }，每個k‐子集也稱作區組。反之，設B ?CkZm，則B 構成一個漢明權重為k的一維光正交碼要滿足：

（1）自相關性：對任意的區組X∈B 和任意的i∈Zm{0}，|X∩(X+i)|≤λa；

（2）互相關性：對任意的區組X，Y∈B，X≠Y和任意的i∈Zm，|X∩(Y+i)|≤λc。

其中對于任意X∈B，有X+i={x+i：x∈X}，所有加法在Zm上進行。

對于任意k‐子集X∈CkZm，定義X的差集為多重集ΔX={a-b(mod m)：a，b∈X，a≠b}。定義ΔX的支撐為ΔX中所有互異元素組成的集合，記作supp(ΔX)。此外定義λ(X)為ΔX中出現最多次的差值的次數，則有λ(X)=max {mi(ΔX)：i∈ΔX}，其中mi(ΔX)表示正整數i在差集ΔX中出現的重數。再由 光正交碼的碼字與k‐子集之間的關系，得λ(X)=max {|X∩(X+η)|：η∈Zm{0}}。對任意X∈CkZm和任意i∈Zm，在Zm作用下，結合定義X+i={x+i：x∈X}，集合{X+i：i∈Zm}稱為X∈CkZm的軌道。X的軌道記作O(X)。若軌道O(X)中有m個互異的元素，則稱為長軌道；反之，稱為短軌道。在群Zm作用下，CkZm中的k‐子集被劃分成了一些軌道。這些軌道代表元構成了對應的光正交碼。

3 關于Θ(2)值的計算

設θ是在群Zm作用下的任意軌道，若X，Y∈θ，則ΔX=ΔY。于是，假定軌道θ的一個代表元X={0，x1，…，xk-1}。

引理2對于(m，5，k，4)-OOC，滿足λ(X)=3 的碼字集Θ(2)可以寫成互不相交的軌道集的并集，即，具體分類為

以下為確定上述各集合的值。

引理3設m是正整數，若3|m，則|θ11|=[m/2]-?，其中?是當γ∈{4，6，9}時，滿足γx≡0(mod m)的互不相同的正整數x∈(0，[m/2])的個數。否則為0。

證明由集合θ11的定義，若3 ?m，則|θ11|=0；若3|m，設θ是集合θ11中的任意軌道，則θ=O(X)，其中X={0，x，x+m/3，x+2m/3，2x}，x∈(0，m)且|supp(ΔX)|=10。故得ΔX={±m/3，±m/3，±m/3，±x，±x，±2x，±(x+m/3)，±(x+2m/3)，±(x-m/3)，±(x-2m/3)}，且±2x，±(x+2m/3)，±m/3，±x，±(x+m/3)互不相同，詳細計算得γx≡0(mod m)，γ∈{4，6，9}。另一方面，設X′={0，x′+2m/3，x′+m/3，x′，2x′} 與X在同 一軌道，則ΔX′=ΔX，即{±2x′，±x′，±(x′+m/3)，±(x′+2m/3)}={±2x，±x，±(x+m/3)，±(x+2m/3)}。詳細計算得到X′ 與X屬于同一條軌道當且僅當x′=x，-x。由此x∈(0，[m/2])，故|θ11|=[m/2]-?，?是當γ∈{4，6，9}時，滿足γx≡0(mod m)的互不相同的正整數x∈(0，[m/2])的個數。

引理4設m是正整數。

（1）若6|m，則|θ12|=m-1-?，? 為滿足12x≡0(mod m)的正整數x∈(0，m)的個數。否則為0。

（2）若3|m，則|θ13|=m-1-?，?是 當γ∈{9，12} 時，滿 足γx≡0(mod m) 的 互 不 相 同 的 正 整 數x∈(0，m)的個數。否則為0。

（3）若6|m，則|θ14|=(m-1-?)/6，? 為滿足12x≡0(mod m)的正整數x∈(0，m)的個數。否則為0。

證明與引理3 的證明類似，此處略。

引理5設m是正整數。當m為奇數時，則有

當m為偶數時，則有

證明由集合θ15的定義，若3 ?m，則|θ15|=0。若3|m，設θ是集合θ15中的任意軌道，則θ=O(X)，其中X={0，m/3，2m/3，x，y}，x≠y∈(0，m)且|supp(ΔX)|=16。故ΔX={±m/3，±m/3，±m/3，±x，±y，±(y-x)，±(x-m/3)，±(x-2m/3)，±(y-m/3)，±(y-2m/3)} 且±m/3，±x，±y，±(xm/3)，±(x-2m/3)，±(y-m/3)，±(y-2m/3)，±(y-x) 互 不 相 同，詳 細 計 算 得2x≡a(mod m)，a∈{m/3，2m/3，0}，y ≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，m/3，2m/3}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}。設E={(x，y)：x≠y∈(0，m)，2x≡a(mod m)，a∈{0，m/3，2m/3}，y ≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，m/3，2m/3，x+m/2}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}}，則存在(x，y)∈E使 得 任 意 軌 道θ∈O(x，y)，其 中O(x，y)=O({0，m/3，2m/3，x，y})，定 義 集 合E到θ15的 映 射τ：任 意(x，y)∈E有(x，y)→O(x，y)，顯 然τ是 一 個 滿 射。故 對 任 給 的θ∈θ15，下 面 計 算τ-1(θ) 的 大 小。對(x，y)∈E有θ=O(x，y)。 若 (x′，y′)∈τ-1(θ)， 則O(x，y)=O(x′，y′)， 存 在t∈Zm使 得{0，m/3，2m/3，x，y}={0，m/3，2m/3，x′，y′}+t， 顯 然t∈{0，m/3，2m/3，x，y}。 若t=x， 則{0，m/3，2m/3，y}={x+m/3，x+2m/3，x+x′，x+y′}，因 此x+m/3 或x+2m/3 ∈{0，m/3，2m/3，y}，這種 情 況 不 存 在，同 理t≠y，故t=0，m/3，2m/3。 詳 細 計 算 得 到X′與X在 同 一 軌 道 當 且 僅 當(x′，y′)∈B(x，y)={(x，y)，(x+m/3，y+m/3)，(x+2m/3，y+2m/3)，(y，x)，(y+m/3，x+m/3)，(y+2m/3，x+2m/3)}。驗證得τ-1(θ)=B(x，y)。于是有|θ15|=|E|/6。

計 算|E|。E1={(x，y)：x≠y∈(0，m)，2x≡a(mod m)，a∈{0，m/3，2m/3}}，E2是E1的 子 集，滿 足y≡b(mod m)，b∈{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，m/3，2m/3}，2y≡c(mod m)，c∈{0，x，x+m/3，x+2m/3，m/3，2m/3}，根據E的定義，|E|=|E1|-|E2|，

計 算 |E2|。m≡3(mod6)，設 集 合M={m/3，2m/3}，E2={(x，y)：x≠y∈(0，m)，y∈Rx}。x∈(0，m)M且x取 奇 數 或 者 偶 數 時 有：Rx奇=[1，m- 1]∩{m/3，2m/3，±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x- 2m/3，(x+m)/2，(3x+m)/6，(3x+ 5m)/6}；Rx偶=[1，m- 1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x- 2m/3，x/2，(3x+ 4m)/6，(3x+ 2m)/6，m/3，2m/3}。 任 意x∈(0，m)M有

由此得

m≡0(mod6)，設集合M={m/2，m/3，2m/3，m/6，5m/6}，則E2={(x，y)：x≠y∈(0，m)，y∈Rx}。x∈(0，m)M且x取 奇 數 或 者 偶 數 時 有：Rx奇=[1，m-1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2xm/3，2x-2m/3，m/3，2m/3，m/6，5m/6，x+m/2，m/2}；Rx偶=[1，m-1]∩{±x，±x+m/3，±x+2m/3，2x，2x-m/3，2x-2m/3，x+m/2，x/2，(3x+4m)/6，(3x+2m)/6，(x+m)/2，(3x+m)/6，(3x+5m)/6，m/2，m/3，2m/3，m/6，5m/6}。則|Rx|分別為

由此得

結合|E1|，結論得證。

引理6設m是正整數，則|θ21|=[m/2]-?，?是γ={7，8，9，10，12}時，滿足γx≡0(mod m)的互不相同的正整數x∈(0，[m/2])的個數。

證明注意到X與-X在同一軌道，故設θ是集合θ21中的任意軌道，則θ=O(X)，其中X={0，2x，4x，6x，3x}，x∈(0，[m/2])且|supp(ΔX)|=10。之后的證明思路同引理3 的證明，此處略。

引理7設m是正整數。

（1）若2|m，則|θ22|=m-1-?，?是γ∈{6，8，10} 時，滿 足γx≡0(mod m) 的 互 不 相 同 的 正 整 數x∈(0，m)的個數。否則為0。

（2）|θ23|=|θ24|=m-1-?，?是γ∈{7，8，9，10，11，12} 時，滿足γx≡0(mod m) 的互不相同的正整數x∈(0，m)的個數。

（3）若(m，10)=5，則|θ25|=m-5；若(m，10)=10，則|θ25|=m-10。否則為0。

（4）若(m，12)=6，則|θ26|=m-6；若(m，12)=12，則|θ26|=m-12。否則為0。

（5）若2|m，則|θ27|=m-1-?，?是γ∈{8，10，12} 時，滿 足γx≡0(mod m) 的 互 不 相 同 的 正 整 數x∈(0，m)的個數。否則為0。

證明思路類似于引理3，此處略。

引理8設m是正整數，當m為奇數時，則有

其中

當m為偶數時，則有

其中

證明與引理5 的證明類似，此處略。

引理9設m是正整數，則

（1）|θ31|=m-1-?，?是 當γ={6，7，8，9，10} 時，滿 足γx≡0(mod m) 的 互 不 相 同 的 正 整 數x∈(0，m)的個數。

（2）|θ32|=m-1-?，?是 當γ={6，7，8，9，10} 時，滿 足γx≡0(mod m) 的 互 不 相 同 的 正 整 數x∈(0，m)的個數。

（3）若(m，8)=4，則|θ33|=m-4；若(m，8)=8，則|θ33|=m-8。否則為0。

證明類似于引理3 的證明，此處略。

引理10設m是正整數，當m為奇數時，則有

其中

當m為偶數時，則有

其中

證明與引理5 的證明類似，此處略。

引理11設m是正整數。若2|m，則|θ4|=m-1-?，?是γ ∈{6，8，10}時，滿足γx≡0(mod m)的互不相同的正整數x∈(0，m)的個數。否則為0。

證明思路類似于引理3，此處略。

引理12設m是正 整數，當8|m時，|θ51|=2；當9|m時，|θ52|=9；當10|m時，|θ53|=17；當11|m時，|θ54|=10；當12|m時，|θ55|=17；否則為0。

證明經過驗證，θ5i中的每個代表元X生成的軌道都是互不相交的，因此結論得證。

定理1設m為正整數，當m為偶數時，則有

其中

當m為奇數時，則有

其中

根據引理1 和定理1，以及文獻［3］中得出的結果，可以進一步得到Φ(m，5，2，4)的值。