淺析閉路復積分的計算方法

崔漢哲 上海電機學院

一、引言

《復變函數》是高校中眾多理工科專業(yè)的一門重要的基礎必修課。對于非數學專業(yè)的理工科學生而言，它為后續(xù)眾多的專業(yè)課程——如《電路學》,《信號與系統(tǒng)分析》,《數字信號處理》等等——提供了重要的數學工具，是必須掌握的基礎知識。

《復變函數》課程的具體教學內容，主要是復變量函數的微積分。詳細而言，即是將《高等數學》課程中關于實變函數微積分的各類定義、定理和諸多數學結構推廣到復變函數（自變量和因變值都為復數的函數）之上。在該過程中，有些內容在實變函數和復變函數上是較類似的，如函數極限的定義和計算、連續(xù)函數的概念與判斷準則等。這體現了實變函數和復變函數在某些方面的相通，也顯示了相關數學概念和結構的普適性。但與此同時，另外一些內容在實變函數和復變函數上就有較大的甚至是本質上的區(qū)別，如解析函數的定義與性質等。這就說明了復變函數和實變函數在本質上的區(qū)別，凸顯了學習復變函數的必要性。而閉路復積分的計算方法，恰恰就屬于后者。

顧名思義，微分學和積分學共同構成了微積分的主體內容。而各種類型積分的定義和計算是積分學的主要組成部分，也是教學的難點和重點所在。閉路復積分是積分曲線起點與終點完全重合的積分，是復積分的主要類型。在《復變函數》課程中，閉路積分的定義與計算方法，在篇幅上占據了非常大的比重。如教材[1]第三章的幾乎全部（第一節(jié)到第四節(jié)）和第五章的三分之一（第二節(jié)）。之所以如此的一個主要原因是，計算閉路復積分所要用的各種定理和方法相當多，計有：參數方程法、柯西積分定理（或稱柯西―古薩基本定理）、閉路變形原理、復合閉路定理、柯西積分公式、高階導數公式、留數定理等。這和實變函數中的情形構成了鮮明的對比。在那里，閉路積分僅僅是從屬于第二類曲線積分的一個子類型，教學篇幅限于《高等數學》下冊教材正文中的幾個甚至一個較簡單的例子，所用的定理和方法也遠不如《復變函數》課程中豐富。更重要的是，閉路復積分的計算方法幾乎都是復變函數所獨有的，并不是實變函數積分方法的簡單復制和推廣。因此，如何教好這部分內容，對《復變函數》課程的教學有著重要意義。

根據筆者的實際經驗，學生（特別是非數學專業(yè)的理工科學生）在學習閉路復積分時所碰到的主要困難，如上一節(jié)所述，一是內容新，二是方法多——都是相對于實變函數的積分而言。對于具體的積分實例，初學者往往難以快速和準確判斷應該用何種方法、哪個定理求解。這就要求教師在教學中，要特別注重不同定理和方法之間的聯系和比較。結合具體實例的講解，提綱挈領，分門別類，因地制宜，以使學生能對閉路復積分的內容能有整體的把握和理解。

事實上，在計算閉路復積分的眾多方法和定理中，是暗含了一條主線的。隨著教學進程的深入和展開，后繼內容往往都是前述內容的深化和推廣。例如，參數方程法中某些簡單的積分實例，經由閉路變形原理推廣后，就成為一個常用的重要公式。而將該重要公式中的被積函數略加變化，就成為了重要的柯西積分公式。高階導數公式則是柯西積分公式的推廣。更進一步，留數定理則是復合閉路定理、柯西積分公式和高階導數公式的綜合與深化。這就要求教師在講授新的教學內容時，要與已授內容相結合，指明新舊定理之間的邏輯關系和具體區(qū)別。站在新定理的角度回看之前的實例，能體會到新定理的威力，也能清楚舊定理的局限，進而明確不同定理的具體對象和適用范圍，從而真正掌握方法，不至于迷失在諸多紛繁復雜的定義和公式之中。以下根據教學進程，結合實例展開具體論述。

二、閉路積分的計算方法

（一）參數方程法

該方法是由復積分的定義直接推導而來，是計算所有類型復積分的最基本方法。對于初學者而言，重要的不是從積分定義推導該方法的過程，而是將該方法用于具體積分的計算。因此首先要從概念上明確“參數方程”所指為何。顧名思義，參數方程即為復積分的積分曲線的參數方程。本方法用一句話概括，即將參數方程寫出后，直接代入所求復積分中，將該復積分轉化為關于參數的實變函數定積分進行計算。在《復變函數》課程中主要學習如何從復積分轉換為定積分，最后計算定積分的方法是《高等數學》課程中的已學內容。

需要提醒學生注意的有以下幾點。1.積分曲線的參數方程要寫成復數表達式。如學生直接寫復數形式的參數方程有困難，則可先利用平面解析幾何的知識寫出實數形式的參數方程x=x(t)，y=y(t)，再由便得復數形式的參數方程。2.被積函數f(z)中的z用參數方程z=z(t)代換之后，微分同樣要做代換，即。3.積分曲線是有方向的曲線段，端點有起點和終點之別。最后定積分的上下限取決于曲線段的起終點，與參數的大小無關。具體而言，積分下限對應曲線起點，積分上限對應曲線終點。二者不能混淆。

復積分的參數方程法，本質上和實變函數第二類曲線積分（即對坐標的曲線積分）的計算方法是相同的。作為學習復積分的第一種方法，學生在復習已學內容的基礎上，是能夠較快掌握的。而該方法要求首先寫出積分曲線段的參數方程，因此它的適用范圍，便是積分曲線為規(guī)則曲線的情形。對于閉路積分而言，當積分曲線為圓周或圓弧時，可試用參數方程法求積分。

解：積分曲線為圓周。故先寫出參數方程為z=z0+reiθ,θ:0→2π。代入原積分，化簡得。為應用牛頓―萊布尼茲公式，分兩種情況分別計算原函數，最后得。

例1是一系列重要結論的開端。后文將其推廣成為重要公式后，在閉路復積分的計算中時經常會用到。因此除了要求學生掌握計算方法之外，例1的結論也應記住。特別要向學生強調，區(qū)分例1的兩種不同情況，不應死記硬背n的取值，而應弄清此時被積函數的具體形狀。

（二）柯西積分定理

柯西積分定理又稱柯西―古薩基本定理，在閉路復積分的計算中占有中心地位。首先它本身可用來計算某些特定的閉路積分。而它的一系列推論，如閉路變形原理、復合閉路定理等，則可用來計算更復雜的一些閉路積分。另外，柯西積分定理從本質上刻畫了解析函數的特性，是溝通復變函數微分學和積分學的基本橋梁。

柯西積分定理是說，若被積函數f(z)的所有奇點均位于積分閉曲線C之外，則閉路積分。因此在計算任何類型的閉路復積分時，首先要找出被積函數的所有奇點，確定它們和積分閉曲線的相對位置關系，即確定積分閉曲線之內是否有或者有幾個被積函數的奇點。這是計算閉路復積分的一條鐵律。如果被積函數在積分閉曲線之內和之上處處解析，那么根據柯西積分定理，可直接得出積分值即為0。這種情況下不需要任何計算步驟。

柯西積分定理最簡單的一個應用是如下的

【例2】若f(z)在整個復平面內處處解析，則對于任何閉曲線C，積分顯然滿足柯西積分定理的條件，于是。具體教學時，教師可用該例幫助學生復習已學習的解析函數的內容。例如，可讓學生嘗試自己寫出一些常見解析函數的具體實例。

另一個常用例子是例1的推廣。

（三）閉路變形原理

一般而言，柯西積分定理的條件過于理想和簡化。在實踐應用中需要計算閉路積分時，積分閉曲線大多都包含了被積函數的若干奇點。此時柯西積分定理的條件不再成立，需要用其它方法計算。閉路變形原理就是其中之一。

閉路變形原理是說，只要從一條積分閉曲線1C連續(xù)變形到另一條積分閉曲線C2的過程中不經過被積函數f(z)的任何奇點，那么當1C和C2的方向相同時，就有。利用該原理，可將原閉路積分的不規(guī)則曲線變形為規(guī)則曲線，再用參數方程法計算其值。

事實上，我們可將之前的例1用閉路變形原理推廣成一個重要公式，在以后閉路復積分的計算中會經常用到。

解：本例的積分閉曲線和例1的共同點在于都包圍z0，唯一區(qū)別是現在曲線的形狀任意。而利用閉路變形原理，可將積分曲線C變形為以z0為圓心、某正數r為半徑的正向圓周，積分的值不變。于是由例1的結論可得。

值得一提的是，在今后閉路積分的計算中，閉路變形原理本身并不經常被直接用到。更常用的是例4的重要公式。原因是當被積函數為有理分式時，都可用化部分分式的方法，將被積函數化簡為例4中的情形。因此從理論上講，例4解決了絕大部分有理函數閉路積分的計算問題。而在部分教材中，該重要公式只是在課文中一筆帶過，甚至沒有作為專門的定理或例題。因此教師在教學時更有必要通過多個實例的講解，強調該公式在計算應用中的重要意義。

（四）復合閉路定理

將閉路變形原理推廣，就得到復合閉路定理：若積分閉曲線C中包含被積函數的孤立奇點z0,z1,...,zn，則可在C中作小的簡單閉曲線C0,C1,...,Cn，分別僅圍繞孤立奇點z0,z1,...,zn，成立。

當積分閉曲線C中僅包含被積函數的一個孤立奇點時，復合閉路定理就成為閉路變形原理。由此可得復合閉路定理的適用范圍，是被積函數在積分閉曲線之內的孤立奇點多于一個的情形。教師在講授該定理時，應結合直觀的圖像，使學生明白它和閉路變形原理的區(qū)別，以免概念上的混淆。另外需要強調的是，被積函數的位于積分曲線之外的孤立奇點，對積分值沒有任何影響，因此不需要作小的閉曲線圍繞它們。需要考慮的僅僅是積分閉曲線之內的孤立奇點。根據教學經驗，這里是學生極易犯的錯誤之一。

解：被積函數的兩個孤立奇點1與 -1 都在C之內，因此可用復合閉路定理。在C內分別作正向的閉曲線1C僅圍繞1，C2僅圍繞 -1 。由復合閉路定理，原積分。再化部分分式，得原積分。最后用例4的重要公式與柯西積分定理分別計算其中的四個積分，得原積分==0。

一般有理函數的閉路積分都可用例6的方法計算。再進一步分析，例6用了復合閉路定理后，為計算有理函數的積分，需要化部分分式。但也不妨一開始就化部分分式，可直接得。也即如果要用部分分式的方法，可以直接用，沒有必要先用復合閉路定理再化部分分式（這樣會導致最后需要計算的積分個數較多）。如果事先用了復合閉路定理，那么往往要和下面的柯西積分公式相結合，計算會比較簡便。

（五）柯西積分公式

柯西積分公式和之前的柯西積分定理，名稱僅二字之差，但所計算的積分類型是較不同的。柯西積分公式是說，，這里積分曲線C為圍繞z0的任意簡單閉曲線，取正向。而f(z)的所有奇點都位于C之外。換言之，f(z)在積分曲線C之內和之上是處處解析的。

在教學時，公式的證明是次要的。教師需要向學生著重指出，柯西積分公式是例4的重要公式在n=0情形的推廣。兩者的唯一區(qū)別就在于被積函數的分子項，從例4的常數函數變?yōu)楝F在的一般函數f(z)。也即若此時的f(z)≡1，那么柯西積分公式就成為例4。而對積分曲線的要求是相同的。另外柯西積分公式也從本質上刻畫了解析函數的特性，即解析函數的函數值可以寫成曲線積分的表達式。但從應用的角度看，柯西公式的價值首先體現在計算閉路積分上。

另外由柯西積分公式的具體內容可知，它的適用范圍，也是積分閉曲線C僅僅包圍被積函數的一個孤立奇點。且應用公式之前，需要先將被積函數恒等變形成的形狀，驗證公式的條件都滿足以后，才可寫出公式的結論。

解：在C內分別作C1僅圍繞1，作C2僅圍繞 -1，均取正向。由復合閉路定理得原積分。以下用柯西積分公式計算這二個積分。

為此首先需要將被積函數變形為柯西公式中的形狀。注意到C1圍繞1 但不圍繞 -1，于是，也即在柯西公式中，z0=1，f(z)=。這時公式的條件都滿足，直接得到。類似可得。于是原積分=πi-πi=0。

（六）高階導數公式

高階導數公式在解析函數的高階導數和閉路積分之間建立了聯系。從計算的角度出發(fā)，教學重點應是用高階導數計算閉路復積分。教師應向學生比較其與柯西積分公式的區(qū)別和聯系，指出它們的唯一不同即在于被積函數的分母。如果分母是一次冪函數，那就是柯西積分公式；如果分母的冪次大于一次，則為高階導數公式。換言之，若在高階導數公式中令n=0，則該公式即成為柯西公式。而其余條件：對積分曲線段的要求，被積函數分子項所滿足的條件，二者都是相同的。由此學生也就可以明確高階導數公式的適用范圍與具體使用步驟。

另外，既然柯西積分公式是高階導數公式的特例，在學習過程完成后，可將這兩個公式視為一個整體。事實上，在較高階的專業(yè)教材中，往往將它們統(tǒng)稱為“柯西積分公式”，如教材[2]。但從初學者的角度出發(fā)，特別是對非數學專業(yè)的理工科學生而言，還是應將它們分開學習。循序漸進，由淺入深，先易后難，才能收到良好的學習效果。

解：積分曲線中只包含被積函數的一個奇點1,因此由高階導數公式，得原積分。

（七）留數定理

留數定理是說，沿正向曲線的閉路復積分的取值等于被積函數在曲線內各孤立奇點處的留數之和。即，這里z0,z1,...,zn為f(z)在積分閉曲線C內的所有孤立奇點。留數定理溝通了復變函數的微分學、積分學和級數理論，是《復變函數》課程的一個帶有總結性質的重要定理。從計算閉路積分的角度看，它也是對前述各方法的一個小結。教師在教學時應著重指出，留數定理是前述各定理與方法的推廣。學生不應孤立的將其看成全新的方法，而是應趁學習留數定理的時機，系統(tǒng)總結閉路積分的各種計算方法，弄清它們彼此之間的聯系，最終達到融會貫通的學習效果。

例如，柯西積分定理是留數定理的特例：若被積函數f(z)的所有奇點均位于積分閉曲線C之外，那么根據留數定理，此時沒有任何留數需要計算，自然等于0。這正是柯西積分定理的結果。

而復合閉路定理實質是留數定理的一種等價敘述方式:當閉曲線Ci僅僅圍繞孤立奇點zi時，根據留數的定義與性質，f(z)在zi處的留數處恰為積分，于是。這正是復合閉路定理。

而留數定理也是柯西積分公式和高階導數公式的推廣。例如在柯西積分公式的條件下，對于被積函數，若f(z0)≠0，則z0是的一級極點，。若f(z0)=0，則z0是的可去奇點，。不論何種情況，均有，即為柯西積分公式。高階導數公式的情形與此類似。學生如能清楚說明留數定理和前述方法的聯系，并能根據閉路積分的具體情形選取合適的計算方法，那么可以說，對《復變函數》課程內容的理解就上了一個臺階。

以下用一個一題多解的實例，作為閉路復積分眾多計算方法的小結。

解一：積分曲線中包含被積函數的兩個孤立奇點1與0,因此由復合閉路定理，，這里正向閉曲線C1僅圍繞1，正向閉曲線C2僅圍繞0。再由柯西積分公式與高階導數公式，得。

解二：注意到被積函數的分母為多項式，因此類似化部分分式的方法，先得。于是。再由柯西積分公式和高階導數公式，得。

解三：積分曲線中包含被積函數的兩個孤立奇點1 與0,因此也可直接用留數定理，得。

三、小結

閉路復積分的計算在《復變函數》課程的教學內容中占有重要地位。在教學中若能注重比較不同定理和方法的區(qū)別，使學生明確它們之間的邏輯關聯，并根據積分的不同類型選擇相應的計算方法，則可收到事半功倍的教學效果。