復(fù)雜系統(tǒng)中的氣候變化和玻璃化轉(zhuǎn)變

張建華,蔣哲華,童 華，徐 寧

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院 物理系，安徽 合肥 230026)

2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)一半授予真鍋淑郎(Syukuro Manabe)和克勞斯·哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)，表彰他們關(guān)于“地球氣候的物理建模、量化可變性和可靠地預(yù)測全球變暖”的工作；另一半授予喬治·帕里西(Giorgio Parisi)，表彰其“發(fā)現(xiàn)了從原子到行星尺度的物理系統(tǒng)中無序和漲落之間的相互影響”. 前者的工作奠定了氣候模型的發(fā)展基礎(chǔ)，并證明了溫室效應(yīng)是人類排放CO2的結(jié)果；后者的工作在無序的復(fù)雜系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了隱藏模式，為人類理解和描述不同領(lǐng)域中的復(fù)雜材料和現(xiàn)象提供了可能方法. 本文從復(fù)雜系統(tǒng)的概念出發(fā)，對2021年諾獎(jiǎng)獲得者的代表性工作進(jìn)行介紹.

1 復(fù)雜系統(tǒng)的典型特征

復(fù)雜系統(tǒng)無處不在，小到原子、分子系統(tǒng)，大到人類活動(dòng)、氣候變化以及行星的運(yùn)動(dòng)等. 到底什么樣的體系可以被稱為復(fù)雜系統(tǒng)呢？盡管復(fù)雜性科學(xué)已被用來理解蟻群行為、市場經(jīng)濟(jì)和氣候變化等現(xiàn)象，但人們對復(fù)雜系統(tǒng)的基本定義仍未達(dá)成統(tǒng)一. 關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)，最著名論斷來源于亞里士多德(Aristotle)，他認(rèn)為復(fù)雜系統(tǒng)“整體大于部分之和”. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，組元(部分)的集體行為將會(huì)表現(xiàn)出系統(tǒng)(整體)的某些宏觀性質(zhì)，而且這些宏觀性質(zhì)幾乎無法從組元的屬性中推斷出來. 《Science》于1999年4月發(fā)行了關(guān)于“復(fù)雜系統(tǒng)”的特刊，下面將總結(jié)復(fù)雜系統(tǒng)的典型特征.

1.1 非線性

非線性通常被認(rèn)為是復(fù)雜系統(tǒng)必不可少的條件之一. 如果系統(tǒng)是線性的，那么將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的任意多個(gè)解疊加或者任意解乘以1個(gè)因子可以得到其他解. 非線性意味著疊加原理將不再適用，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可能無法精確求解，只能得到近似解. 非線性帶來的有趣結(jié)果是系統(tǒng)的發(fā)散，例如當(dāng)位置和動(dòng)量作為運(yùn)動(dòng)方程的輸入?yún)⒘繒r(shí)，初始條件的微小差異可能會(huì)導(dǎo)致最終結(jié)果的巨大偏差.

1.2 反饋機(jī)制

反饋機(jī)制是復(fù)雜系統(tǒng)的另一必要條件. 系統(tǒng)的一部分在接收反饋時(shí)如何與其鄰居相互作用取決于早期該部分與其鄰居之間的作用形式. 以遷徙中的候鳥為例，群體中的每只候鳥都有自己的路線，這取決于周圍鳥類的方位和距離，但是如果某只候鳥調(diào)整了路線，那么其鄰居都會(huì)改變飛行計(jì)劃，因此，鄰居的狀態(tài)在一定程度上可反映該鳥的早期行為.

1.3 自發(fā)形成的序和魯棒性

復(fù)雜系統(tǒng)研究的基本思想是探尋系統(tǒng)行為中的序，它是系統(tǒng)中大量基本元素之間相互作用的集中體現(xiàn). 1950年，朗道(L. D. Landau)和金茲堡(V. L. Ginzburg)用序參量的概念來描述系統(tǒng)在相變前后的狀態(tài)[1]. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，由于可能涉及對稱性、結(jié)構(gòu)、周期性、確定性和模式等，因而系統(tǒng)序參量的定義并非易事. 復(fù)雜系統(tǒng)在外界擾動(dòng)下會(huì)穩(wěn)定存在，因此認(rèn)為復(fù)雜系統(tǒng)具有魯棒性. 地球氣候變化是體現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性的典型例子，雖然局部的氣候變化可能非常劇烈，但整體氣候變化是相對穩(wěn)定的，并具有規(guī)律性和周期性.

1.4 層展現(xiàn)象和層級(jí)結(jié)構(gòu)

還原論的假設(shè)在哲學(xué)家中仍然是富有爭議的話題，其基本思想是復(fù)雜的系統(tǒng)、現(xiàn)象可以通過將其化解為各部分之組合的方法，從而加以理解和描述. 人們談?wù)搹?fù)雜性科學(xué)時(shí)常常將其與還原論的局限性聯(lián)系起來. 20世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展分為2種潮流：內(nèi)涵性研究和外延性研究[2]. 內(nèi)涵性研究探求基本定律，而外延性研究致力于按照已知的基本定律來解釋現(xiàn)象. 安德森(P. W. Andeson)在批評科學(xué)界過于注重內(nèi)涵性研究時(shí)指出：大量和復(fù)雜的基本粒子集合體的行為，并不能按照少數(shù)基本粒子性質(zhì)的簡單外推來理解. 事實(shí)上，在復(fù)雜性的每個(gè)層次，都會(huì)有嶄新的性質(zhì)出現(xiàn)，這就是層展現(xiàn)象. 在復(fù)雜系統(tǒng)中，通常有許多不同層級(jí)的結(jié)構(gòu)，例如地球上的生態(tài)系統(tǒng)，不同層級(jí)結(jié)構(gòu)包括群落、種群、個(gè)體、組織、細(xì)胞等.

1.5 多而不同

安德森強(qiáng)調(diào)層級(jí)結(jié)構(gòu)對于理解復(fù)雜系統(tǒng)的重要性，指出整體不僅大于而且可能迥異于部分之和. 在每個(gè)層級(jí)上，新的定律、概念和原理都必不可少，并且其需要的想象力與創(chuàng)造力絲毫不亞于前一個(gè)層級(jí)，即量變產(chǎn)生質(zhì)變. 上述討論清楚地表明復(fù)雜性和復(fù)雜的系統(tǒng)并不簡單，而且具有潛在的哲學(xué)意義. 下面以氣候變化和玻璃化轉(zhuǎn)變?yōu)槔懻撗芯繌?fù)雜系統(tǒng)的方法及重要意義.

2 氣候變化

人類生活在正在發(fā)生重大變化的氣候系統(tǒng)中，科學(xué)家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并證明了人類活動(dòng)與氣候變化的密切關(guān)系，例如大氣中CO2濃度會(huì)導(dǎo)致氣候變暖.

2.1 現(xiàn)代天氣預(yù)報(bào)的建立

天氣預(yù)報(bào)作為公共服務(wù)，已經(jīng)滲透人們?nèi)粘Ｉ钪? 最初天氣預(yù)報(bào)的建立與戰(zhàn)爭有關(guān)，1853年-1856年英法等國與沙俄為爭奪巴爾干半島爆發(fā)了克里米亞戰(zhàn)爭[3]. 雖然戰(zhàn)爭以英法勝利告終，但英法聯(lián)軍在1854年11月的黑海戰(zhàn)役中卻損失慘重，原因是風(fēng)暴突然降臨黑海，海上狂風(fēng)大作，巨浪滔天，英法艦隊(duì)幾乎全軍覆沒. 事后，法國軍方要求巴黎天文臺(tái)對這次風(fēng)暴進(jìn)行調(diào)查. 巴黎天文臺(tái)臺(tái)長勒維耶(U. Le Verrier)與世界各地的天文學(xué)家合作，收集氣象報(bào)告，發(fā)現(xiàn)這場看似突然的風(fēng)暴是有跡可循的，風(fēng)暴自西向東運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)黑海之前，已經(jīng)影響了西班牙和法國等地. 經(jīng)過思考分析后，法國建立了世界上第一個(gè)天氣服務(wù)系統(tǒng)，現(xiàn)代天氣預(yù)報(bào)由此誕生.

2.2 蝴蝶效應(yīng)

美國氣象學(xué)家洛倫茲(E. N. Lorenz)在 1961年的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)初始條件的微小改變會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的巨大差異. 洛倫茲研究大氣對流的模型[4]如下：

(1)

其中，x為對流運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度，y為上升和下降氣流的溫度差，z為垂直溫度曲線的線性偏差.控制參量普朗特?cái)?shù)σ反映流體的物理性質(zhì)，瑞利數(shù)Ra為與浮力驅(qū)動(dòng)對流相關(guān)的無量綱數(shù)，β為表征空間幾何性質(zhì)的常量.

洛倫茲系統(tǒng)雖然簡單，但為研究低維復(fù)雜系統(tǒng)提供了豐富的模型框架. 圖1所示為該模型的數(shù)值解在相空間中的軌跡[控制參量(σ,β,Ra)=(10,8/3,33.5)]，可以看到數(shù)值解是有邊界的.

圖1 洛倫茲模型的數(shù)值解的空間分布[5]

從圖2可以看出該模型的解高度依賴初始條件時(shí)[控制參量(σ,β,Ra)=(10,8/3,24.9)]，初始時(shí)刻x僅相差0.1(圖2中藍(lán)線初始值為10，紅線初始值為10.1)，隨著時(shí)間的推移形成了巨大的偏差.

圖2 洛倫茲模型的數(shù)值解x隨時(shí)間的變化情況[6]

1972年，洛倫茲在科學(xué)會(huì)議上發(fā)表了題為“可預(yù)測性：巴西一只蝴蝶扇動(dòng)翅膀，能否在得克薩斯州掀起一場龍卷風(fēng)”的演講[7]. 此現(xiàn)象被稱為蝴蝶效應(yīng)，即事物發(fā)展的結(jié)果對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的微小改變，可能導(dǎo)致完全不同的結(jié)果. 時(shí)至今日，蝴蝶效應(yīng)的內(nèi)涵遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出氣候變化的范疇，對社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、哲學(xué)等諸多領(lǐng)域均產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響. 蝴蝶效應(yīng)也是復(fù)雜系統(tǒng)的典型示例，表明氣候變化的長期不可預(yù)測性.

2.3 真鍋淑郎和哈塞爾曼的工作

真鍋淑郎的探究工作是大氣中CO2濃度的增加是如何促使地球表面溫度升高的. 1960年，真鍋淑郎開展了對地球氣候物理模型的開發(fā)與研究工作. 作為首個(gè)探索輻射平衡與氣團(tuán)的垂直輸送之間相互作用的學(xué)者，該工作為氣候模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)[8]. 真鍋淑郎的模型 (圖3)證實(shí)了大氣確實(shí)是由于CO2濃度的增加而被加熱.

圖3 真鍋淑郎的氣候模型[9]

地面接收到的太陽熱量中，一部分以紅外熱輻射的形式向大氣反射；經(jīng)過大氣層時(shí)部分熱量輻射到外太空，部分反射回地面. 一方面，來自地面的紅外熱輻射部分被大氣吸收，使空氣和地面變暖; 另一方面，熱空氣比冷空氣輕，通過對流會(huì)向上爬升. 熱空氣中還攜帶著水蒸氣，水蒸氣是一種強(qiáng)大的溫室氣體，空氣越暖，其濃度就越高. 再往上，大氣較冷的地方會(huì)形成雨滴，釋放儲(chǔ)存在水蒸氣中的潛熱[9]. 該模型預(yù)測出越靠近地面溫度越高，越遠(yuǎn)離地面溫度越低. 60年前，計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度比現(xiàn)在慢幾十萬倍，只有相對簡單的模型，才能進(jìn)行計(jì)算模擬. 真鍋淑郎的一維模型雖簡單但卻抓住了關(guān)鍵，從一維模型出發(fā)，真鍋淑郎于 1975 年發(fā)表了三維的氣候模型，成為了解氣候道路上的又一里程碑[10].

大約10年后，哈塞爾曼建立了將天氣和氣候聯(lián)系起來的模型，進(jìn)而回答了為什么氣候模型在天氣多變且混亂的情況下仍然可靠的問題[11]. 哈塞爾曼的方法已經(jīng)被用于證明人類排放的CO2確實(shí)是大氣溫度升高的原因.

天氣是非常復(fù)雜的. 通過創(chuàng)建隨機(jī)氣候模型，哈塞爾曼成功地將天氣和氣候聯(lián)系起來，向人們展示了如何將混亂變化的天氣現(xiàn)象描述為快速變化的隨機(jī)過程，從而為長期氣候預(yù)測奠定了堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ). 完成氣候變化模型后，哈塞爾曼還開發(fā)了可以識(shí)別自然現(xiàn)象和人類活動(dòng)在氣候中留下印記特定信號(hào)和獨(dú)特標(biāo)記的方法[12-13]，即識(shí)別人類對氣候影響的方法，使得人們可以單獨(dú)觀測人類對氣候影響的痕跡.

3 玻璃化轉(zhuǎn)變

玻璃質(zhì)材料在自然和人類工藝中普遍存在[14]，已知的最早類似玻璃的釉料出現(xiàn)在大約公元前12 000年的埃及. 距今5 000多年前人們已經(jīng)佩戴純玻璃制作的護(hù)身符. 玻璃是人類制作使用最早的人造材料之一，人們對玻璃的認(rèn)知和應(yīng)用仍在不斷更新. 玻璃同時(shí)具有固體和液體的特性，一方面，玻璃和固體都具有剛性；另一方面，玻璃和液體在微觀粒子層面上都具有無序結(jié)構(gòu). 這種混合的特性使得玻璃的研究更加復(fù)雜.

3.1 玻璃的形成

一般通過對液體降溫到玻璃化轉(zhuǎn)變溫度Tg以下制備得到玻璃. 需要注意的是，制備過程中的降溫必須足夠快從而避免液體結(jié)晶. 圖4所示為恒定壓強(qiáng)下，液體的體積和能量對溫度的依賴關(guān)系. 液體降溫至結(jié)晶溫度Tm以下時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)開始變緩，進(jìn)入過冷液體區(qū). 繼續(xù)降溫，粒子重排變得非常緩慢，導(dǎo)致液體不能被充分取樣，液體的結(jié)構(gòu)在實(shí)驗(yàn)時(shí)間尺度上出現(xiàn)凍結(jié)，該過程被稱為玻璃化轉(zhuǎn)變，最終產(chǎn)生的物質(zhì)就是玻璃. 降溫速率越慢，液體在各個(gè)溫度下的弛豫時(shí)間就越長，結(jié)果導(dǎo)致Tg隨降溫速率增加而增加. 降溫速率較慢時(shí)在Tga處發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變，降溫速率較快時(shí)在Tgb處發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變[14]. 因此玻璃的性質(zhì)依賴于制備過程.

圖4 液體體積和能量對溫度的依賴關(guān)系[14]

研究發(fā)現(xiàn)，Tg對降溫速率的依賴比較小(降溫速率變化幾個(gè)量級(jí)，Tg僅改變3～5 K)，因此，即使Tg不扮演相變溫度的角色，也是重要的材料特性. 當(dāng)降溫至低于Tg時(shí)，物質(zhì)仍會(huì)朝著平衡態(tài)緩慢演化，但在實(shí)驗(yàn)時(shí)間尺度上，物質(zhì)永遠(yuǎn)無法達(dá)到平衡態(tài)，物質(zhì)的物理性質(zhì)隨著時(shí)間緩慢演化，這個(gè)過程被稱為老化(Aging).

黏度η是流體黏滯性的量度，是流體流動(dòng)對其內(nèi)部摩擦現(xiàn)象的一種表現(xiàn). 在室溫下，水的黏度較小，為10-2Pa·s量級(jí). 實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)降溫至Tg附近時(shí)，過冷液體的黏度快速增加，可以達(dá)到1014Pa·s甚至更高. 為了方便比較不同材料的性質(zhì)，定義玻璃化轉(zhuǎn)變?yōu)檫^冷液體黏度達(dá)到η(Tg) =1012Pa·s. 將黏度隨溫度變化的關(guān)系作圖，橫軸用Tg重新歸一(Angell-畫法)，如圖5所示. 可以發(fā)現(xiàn)黏度對溫度有很強(qiáng)的依賴關(guān)系. 在對數(shù)-線性坐標(biāo)下，圖5中的直線近似滿足阿雷尼厄斯行為，這類體系被稱為“強(qiáng)”過冷液體；下凹曲線滿足超阿雷尼厄斯行為，稱為“脆”過冷液體. 圖中黏度的數(shù)值跨越了16個(gè)量級(jí)[15].

圖5 不同過冷液體的黏度對溫度倒數(shù)的依賴關(guān)系[15]

3.2 玻璃的典型特征

在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理中，材料的結(jié)構(gòu)決定其動(dòng)力學(xué). 例如，液體是無序的，因此可以流動(dòng)和弛豫；晶體是有序的，因此不能流動(dòng)和弛豫. 材料結(jié)構(gòu)的改變會(huì)導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)的變化，例如液體到晶體的熱力學(xué)相變. 但是玻璃化轉(zhuǎn)變顯然不符合這一物理現(xiàn)象，由于其結(jié)構(gòu)被禁錮，過冷液體的動(dòng)力學(xué)變慢，但此時(shí)仍然維持液體結(jié)構(gòu). 這就在玻璃研究領(lǐng)域產(chǎn)生了非常基礎(chǔ)的問題：玻璃化轉(zhuǎn)變中觀測到的結(jié)構(gòu)禁錮只是動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，還是液體到玻璃態(tài)的熱力學(xué)相變導(dǎo)致的結(jié)果？玻璃化轉(zhuǎn)變伴隨著一些獨(dú)特的現(xiàn)象，如何解釋這些現(xiàn)象是所有玻璃化轉(zhuǎn)變理論必須面對的問題.

3.2.1 動(dòng)力學(xué)變慢

玻璃化轉(zhuǎn)變前后，巨大的動(dòng)力學(xué)變化可以用中級(jí)散射函數(shù)Fs(k,t)來表征

(2)

靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子是連接實(shí)驗(yàn)分析與數(shù)值模擬的重要物理量，用來表征粒子位置的空間關(guān)聯(lián).圖6所示為不同溫度下倫納德-瓊斯系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子

(3)

S(k)對溫度只有微弱的依賴關(guān)系.如圖6所示，在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度附近，粒子運(yùn)動(dòng)變緩，最終被凍結(jié)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)發(fā)生了巨大變化，弛豫時(shí)間τ增加了3個(gè)數(shù)量級(jí)，結(jié)構(gòu)卻幾乎不變，這給理解玻璃化轉(zhuǎn)變帶來了更大的挑戰(zhàn).

圖6 倫納德-瓊斯系統(tǒng)的靜態(tài)結(jié)構(gòu)因子[16]

3.2.2 動(dòng)力學(xué)異質(zhì)性

隨著溫度降低或者密度增加，系統(tǒng)弛豫逐漸變慢.圖7所示為二維過冷液體的空間軌跡圖，其中粒子移動(dòng)超過粒子直徑標(biāo)為深紅色，粒子沒有移動(dòng)標(biāo)為深藍(lán)色.可以明顯看到，移動(dòng)快的粒子聚集在一起，移動(dòng)慢的粒子同樣聚集在一起.這是玻璃化轉(zhuǎn)變的另一個(gè)典型特征——?jiǎng)恿W(xué)異質(zhì)性.

圖7 二維過冷液體中的粒子軌跡圖[17]

為了說明這一點(diǎn)，可以計(jì)算系統(tǒng)單粒子均方位移，Δi(t)=|ri(t)-ri(0)|2，結(jié)果如圖8所示.系統(tǒng)的平均均方位移如圖8中光滑的直線所示，而單粒子均方位移展現(xiàn)了系統(tǒng)在玻璃化轉(zhuǎn)變溫度附近的更多特征.可以發(fā)現(xiàn)，粒子的軌跡分為長時(shí)間圍繞其自身的振動(dòng)和由于動(dòng)力學(xué)漲落而造成的快速跳躍.

圖8 系統(tǒng)在接近玻璃化轉(zhuǎn)變溫度時(shí)的單粒子均方位移圖[18]

3.2.3 反常的熱力學(xué)響應(yīng)

鄰三聯(lián)苯是有機(jī)溶劑，因其易于形成玻璃態(tài)而在實(shí)驗(yàn)中被廣泛使用.實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)鄰三聯(lián)苯在降溫或者升溫 (從過冷液體進(jìn)入或者離開非平衡的玻璃態(tài))過程中出現(xiàn)明顯的滯回現(xiàn)象[19].如圖9所示，在降溫過程中，比熱的值從液體區(qū)域下降到類似固體區(qū)域.比熱的變化量ΔCp在某種程度上被看作玻璃形成能力的重要指標(biāo)，也可以根據(jù)液體的彈性響應(yīng)來理解.

圖9 鄰三聯(lián)苯的比熱隨溫度的變化關(guān)系[19]

圖9可以看出降溫和升溫過程中比熱不對稱.在升溫過程中，比熱曲線先出現(xiàn)1個(gè)峰再回到液體的值.這種不對稱表明實(shí)驗(yàn)中觀測到的液體到玻璃的轉(zhuǎn)變是非平衡現(xiàn)象.其他熱力學(xué)響應(yīng)，例如比熱容、折射系數(shù)等，也表現(xiàn)出類似行為.

3.3 帕里西的工作

3.3.1 自旋玻璃體系

自旋玻璃是本身無序，并且在轉(zhuǎn)變溫度Tf處出現(xiàn)凍結(jié)轉(zhuǎn)變的一類無序磁性體系.自旋玻璃中的玻璃來源于其類似于玻璃化轉(zhuǎn)變的、凍結(jié)的無序結(jié)構(gòu)，并且這種無序性導(dǎo)致了相互沖突的磁矩排布，即阻挫.例如，用非磁性原子稀釋近鄰是鐵磁相互作用，稀釋次近鄰是反鐵磁相互作用的伊辛模型.這時(shí)帶有磁性的原子隨機(jī)擴(kuò)散開來，使得磁性原子隨機(jī)占據(jù)格點(diǎn)位置，形成自旋玻璃，如圖10所示.在低溫時(shí)(T0)，虛線表示次近鄰間帶有反鐵磁相互作用(Jnnn<0).原來所有格點(diǎn)都有磁性原子，稀釋得到自旋玻璃以后，磁性原子隨機(jī)占據(jù)每個(gè)格點(diǎn)，并且導(dǎo)致局域自旋的阻挫.

圖10展示了自旋玻璃相是無序結(jié)構(gòu)的原因：單個(gè)磁矩周圍的近鄰和次近鄰格點(diǎn)位置隨機(jī)地被磁性原子占據(jù)，局域上看有的地方鐵磁作用起效，有的地方反鐵磁作用起效，形成阻挫，但總體加起來沒有長程有序的宏觀狀態(tài)存在.阻挫現(xiàn)象是自旋玻璃的特征之一.

圖10 鐵磁體經(jīng)過非磁性原子稀釋后，體系從鐵磁體轉(zhuǎn)變?yōu)樽孕Ａ20]

用簡單的例子來展現(xiàn)阻挫現(xiàn)象.如圖11所示，在只有3個(gè)格點(diǎn)的伊辛模型中，施加小的外場，如果3個(gè)格點(diǎn)上的磁矩都滿足鐵磁相互作用，這時(shí)所有格點(diǎn)上的磁矩都朝向外場所指方向；如果磁矩滿足反鐵磁相互作用，圖11中能量最低態(tài)需要所有相鄰格點(diǎn)的自旋取向相反，那么無論如何搭配，均無法避免阻挫.例如，如果位于左下頂點(diǎn)的自旋方向向上，由于反鐵磁相互作用，位于上頂點(diǎn)的自旋方向應(yīng)該向下，這時(shí)位于右下頂點(diǎn)的自旋不論向上或向下，都無法同時(shí)滿足另外2個(gè)已定的自旋方向.

圖11 三格點(diǎn)情況下反鐵磁體展現(xiàn)出的阻挫現(xiàn)象[9]

相比于位置無序的結(jié)構(gòu)玻璃體系，只有格點(diǎn)無序的自旋玻璃體系相對簡單，但已經(jīng)體現(xiàn)出復(fù)雜系統(tǒng)的諸多特性，也催生出了對于非平衡態(tài)系統(tǒng)的許多思考，因而從20世紀(jì)70年代開始，吸引了大批凝聚態(tài)物理學(xué)家的關(guān)注.

3.3.2 無序系統(tǒng)中的平均與副本方法

平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理中，平衡態(tài)體系的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)的時(shí)間尺度.因此，一般認(rèn)為平衡態(tài)體系具有各態(tài)歷經(jīng)性，此時(shí)觀測量的平均值既可以用時(shí)間平均，也可以用系綜平均的方法得到，二者等價(jià).

處在非平衡態(tài)的自旋玻璃，情況更加復(fù)雜.從3.3.1的論述中發(fā)現(xiàn)，自旋玻璃需要同時(shí)用自旋磁矩μi和磁性原子占據(jù)格點(diǎn)位置的隨機(jī)變量xi來描述.對于某一觀測量A，計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均值時(shí),先固定1組隨機(jī)變量{xi}對應(yīng)的位形，得到A的時(shí)間平均〈A〉T，然后用不同的{xi}產(chǎn)生的若干位形，進(jìn)行位形平均[〈A〉T]av.

一般來講，xi也可以發(fā)生漲落.當(dāng)xi的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)觀測時(shí)間時(shí)，無序帶來的影響可以寫入體系的哈密頓量中，配分函數(shù)可以寫成簡潔的形式，導(dǎo)致體系簡化為純的統(tǒng)計(jì)力學(xué)系統(tǒng)，外加帶有無序的有效哈密頓量.這時(shí)觀測量的統(tǒng)計(jì)平均與平衡態(tài)時(shí)的函數(shù)形式一樣，這種平均被稱為退火平均.例如體系的平均自由能F可以用

Fann=-kBTln [Z{xi}]av

(4)

來計(jì)算，其中Z{xi}為位形的配分函數(shù).

如果xi的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀測時(shí)間，體系的無序結(jié)構(gòu)被凍住，1個(gè)位形的隨機(jī)變量固定在1組{xi}上不變，觀測量只能采用[〈A〉T]av來計(jì)算，這種平均叫做淬火平均.此時(shí)式(4)變?yōu)?/p>

[F]av=-kBT[lnZ{xi}]av，

(5)

注意到這里是對lnZ進(jìn)行位形平均.

在計(jì)算自由能的統(tǒng)計(jì)平均值時(shí)，位形平均作用在lnZ，而非配分函數(shù)Z本身上，這也是無序系統(tǒng)理論的困難之處.為了解決這個(gè)問題，愛德華茲(S. F. Edwards)等人提出了副本技巧[21-22]. 副本技巧依賴于

(6)

3.3.3 謝林頓-柯克帕特里克模型與副本對稱解

從實(shí)驗(yàn)抽象出正確的理論模型需要考慮很多問題.如果模型太簡化，可能無法定性地符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果；太符合實(shí)際，又會(huì)因?yàn)檫^于復(fù)雜而無法求解.一般地，可以從相對粗粒化，同時(shí)略去許多微觀細(xì)節(jié)的模型入手.愛德華茲和安德森于1975年開拓性地提出了愛德華茲-安德森模型[22]，指出自旋玻璃的模型可以基于伊辛格點(diǎn)模型，而格點(diǎn)的相互作用常量按照合理的分布給出，例如

(7)

(8)

通過3.3.2提到的副本方法，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，愛德華茲-安德森模型有簡單的解.但是當(dāng)把n連續(xù)化并求趨向于0的極限時(shí)，這個(gè)模型不能繼續(xù)下去.

1975年，謝林頓(D. Sherrington)和柯克帕特里克(S. Kirkpatrick)提出了自旋玻璃的平均場理論模型，即謝林頓-柯克帕特里克模型[23]. 他們指出，在愛德華茲-安德森模型的基礎(chǔ)上，如果把相互作用長度改為無窮遠(yuǎn)，以致于所有格點(diǎn)間的相互作用常量的P(Jik)對于任意1對格點(diǎn)都相等，這時(shí)平均場得到的解是精確解.該模型與愛德華茲-安德森模型一樣，在把副本方法中的n變?yōu)檫B續(xù)實(shí)數(shù)時(shí)遇到了困難，這時(shí)序參量qαβ是無窮維的矩陣，其中α,β為副本的指標(biāo)，0≤α,β≤n，并且是連續(xù)實(shí)數(shù).通過做出副本對稱假設(shè)來解決該問題，即序參量qαβ=q，其中α≠β.該模型在某些方面定性地符合自旋玻璃的實(shí)驗(yàn)，例如磁化率在Tf處出現(xiàn)的尖端等. 然而該模型表現(xiàn)出許多問題：在TTf時(shí)，能量圖景中只有1個(gè)熱力學(xué)意義上極大概率的谷；而在T

圖12 自旋玻璃的自由能隨相空間坐標(biāo)的變化[20]

3.3.4 副本對稱性破缺與帕里西解

帕里西也意識(shí)到能量圖景的多谷狀態(tài)和溫度降低時(shí)體系所發(fā)生的副本對稱性破缺的問題，并從序參量入手來改進(jìn)謝林頓-柯克帕特里克模型，通過一系列工作最終得到謝林頓-柯克帕特里克模型的精確解[24]. 重新定義序參量來反映能量圖景中的多谷性質(zhì)，如下

(9)

其中α,β為副本的指標(biāo)，并且0≤α,β≤n，所以qαβ是無窮維度的矩陣.qαβ的對角元給出了某個(gè)副本的重疊程度，非對角元度量了α和β副本的相似程度.

帕里西解說明：在T

4 結(jié)束語

玻璃態(tài)材料作為一類典型的復(fù)雜系統(tǒng)，其研究領(lǐng)域既古老又活躍，安德森認(rèn)為“理解玻璃以及玻璃化轉(zhuǎn)變的物理本質(zhì)是極為困難的，這是固體理論中最高深、最有趣的待解決問題”[25]. 而氣候變化與人類生存息息相關(guān). 霍金(S. Hawking)在給畢業(yè)生的建議中提到21世紀(jì)是復(fù)雜系統(tǒng)的時(shí)代. 美國科學(xué)史家、科學(xué)哲學(xué)家?guī)於?T. Kuhn)指出某學(xué)科成熟的標(biāo)志是建立科學(xué)范式，而復(fù)雜系統(tǒng)的研究仍在快速發(fā)展中，至今沒有與之相適應(yīng)的范式，缺乏完備的理論基礎(chǔ). 2021年的3位諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者為人們從微觀到整體理解復(fù)雜系統(tǒng)的物理機(jī)制做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，也激勵(lì)了廣大科研工作者繼續(xù)探索神秘而有趣的復(fù)雜系統(tǒng).