功能梯度材料輸流管結構振動分析和臨界流速

陳嚴飛 ，高莫狄胡東宗優劉宇馮瑋

1 中國石油大學(北京)油氣管道輸送安全國家工程實驗室/石油工程教育部重點實驗室/城市油氣輸配技術北京市重點實驗室，北京 102200

2 大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024

3 中集海洋工程有限公司， 深圳 518000

輸流管道振動是引起管道機械磨損與疲勞失效的重要因素之一。當輸流管道受到的激振力頻率與管道系統的頻率相等或者接近時，就形成了機械共振。此時，輸流管道會發生較大的振動和變形，甚至破裂。在過去的幾十年中，國內外學者對輸流管道的動力學和穩定性開展了廣泛的研究。據paièdousis和Issid[1]報道，Bourrières[2]首次對輸送流體的管道動力學進行了認真的研究。Kuiper和Metrikine[3]分析了左固右簡邊界條件下管道的穩定性。懸臂管道在高流速下通過霍普夫分岔將發生顫振不穩定性[4-5]。Lee Sen Yung等人[6-7]考慮科里奧利力的影響，求解了傾斜旋轉鐵木辛柯梁的自由振動頻率。郝逸、王文明等人[8]利用微元法分析了深水隔水管橫向振動固有頻率。厲曈曈、梁偉等人[9]運用積分變換求解了變截面深水鉆井隔水管系統渦激振動問題。

功能梯度材料(簡稱FGM)是指材料屬性隨空間位置呈連續梯度變化的新型復合材料[7]。FGM可以通過設計體積分數的函數來任意調整功能梯度材料結構的特性[10]。在材料制備技術高速發展的今天，FGM在抗斷裂[11]、耐磨損[12]等方面顯示出遠遠優于傳統材料的特性。然而，有關FGM的文獻主要集中在FGM的梁、板和殼[13-16]，關于FGM管道輸送流體的結構動力特性研究文獻相對較少。

Sheng和Wang[17]研究了FGM管道在機械荷載和熱荷載作用下的振動響應。Setoodeh和Afrahim[18]采用Galerkin方法計算了FGM管道的固有頻率。邊祖光等人[19]對正交各向異性功能梯度圓柱殼的自由振動開展了研究。Filiz和Aydogdu[20]研究了FGM納米管中的波傳播。Ansari等人[21]結合尺寸效應和哈密頓原理對輸流管的固有頻率進行了研究。Shen等人[22]、Dai等人[23]、You和Inaba[24]對非均勻材料輸流管的穩定性進行了研究。劉辰[25]通過微分求積法研究了功能梯度輸流管的振動及失穩。

雖然針對功能梯度材料輸流管道結構振動問題國內外開展了一些研究工作，但目前大多采用近似方法得到，但整體計算精度較低，高階收斂性較差。本文結合同倫分析方法[26]，給出了變材料輸流管道的固有頻率計算方法，并與其它近似方法進行了對比分析，證明同倫方法在具有較好的準確性同時具有非常好的計算效率，結合計算結果，進而給出了常見四種邊界條件下臨界流速與體積分數指數的圖像，可以直觀判斷管道是否發生失穩，可以用于功能梯度材料輸流管道結構分析和安全評價。

1 基本假設與基本方程

1.1 功能梯度材料輸流管問題基本假設

假設管道材料為各向同性的黏彈性材料，流體不可壓縮且無黏性，忽略管道運動對流體的影響，假設流體的流動速度方向垂直于管道橫截面，速度大小平均分布，考慮管道材料為FGM，假設從圓心到管道截面任一點處距離為r，稱為有效半徑，內表面和外表面材料屬性均可用密度、彈性模量和體積分數描述，則整條管道材料屬性為

其中，ρ—管道材料密度，kg/m3;

E—彈性模量，Pa;

G—剪切彈性模量，Pa;

V—體積分數，%;

下標i，o分別代表內表面和外表面。

材料的體積分數V可以用式（2）描述

其中Ri和Ro分別代表管道內徑和外徑。

基于梁模型考慮以下4 種邊界條件：

兩端固支邊界條件

兩端簡支邊界條件

懸臂梁邊界條件

左端固支右端簡支

上述4 種邊界條件中，y(x，t)代表著管道沿y軸方向的撓度，x和t分別代表空間坐標與時間坐標，L為管道長度。

1.2 功能梯度材料輸流管問題基本方程

圖1描述的是一條水平放置長為L的輸送流體的管道，其橫截面積為A，慣性矩為I，泊松比v為常數，流體運動速度為U。管道內徑為Ri，外徑為Ro，壁厚為h，則輸流管的控制方程可以描述為

圖1 功能梯度材料輸流管系統示意圖Fig. 1 Schematic of FGM pipe conveying fluid e system

式中，E—材料彈性模量，Pa；

mp—單位長度管道質量，kg/m；

mf—單位長度流體質量，kg/m；

p—流體壓強，Pa；

T——管道軸向拉力，N。

根據Euler-Bernoulli梁理論，不考慮內壓以及軸向力，管輸流體以恒定速度流動，則輸流管系統控制方程可描述為

式(8)中，mp與mf分別代表單位長度管道質量與流體質量，y(x，t)代表著管道沿y軸方向的撓度，x和t分別代表空間坐標與時間坐標。

式(9)中，ρ—管道材料平均密度，kg/m3；

ρi—管道材料內表面密度，kg/m3；

ρo—管道材料外表面密度，kg/m3；

Vi—管道材料內表面體積分數，%；

Vo—管道材料外表面體積分數，%；

Ei—管道材料內表面彈性模量，Pa；

Eo—管道材料外表面彈性模量，Pa；

θ—有效半徑參考點與豎直平面的夾角，rad。

對于式(8)，引入如下無量綱參數

同時運用分離變量技巧，假設撓度方程為

則方程(8)轉化為

2 功能梯度材料輸流管問題的同倫分析解法

2.1 同倫分析

對于式(11)，取線性算子

輔助函數取為

初始猜測解取為

其中，a，b，c，d為4 個待定系數。

根據同倫分析法

結合(14)和式(15)，可依次迭代得到n階近似解

以兩端固支為例，上式代入邊界條件中，可得

將式(17)整理為列向量矩陣乘法形式

其中，矩陣μ中的每個元素都是關于?和ω的式子，矩陣λ= [a，b，c，d]T。

根據矩陣的性質，欲保證式(18)非零解存在，則必有

2.2 參數選擇

式(19)描述的是?（收斂控制參數，無量綱）和ω的隱函數關系式，對于輸流管問題，ω一般為復數，這給?—ω曲線的繪制造成了困擾。為了得到目標圖像，本文將對[ -2，0]內的?值離散為101 個點，對每一個離散點求解式(19)得到對應的ω值，這樣就可以得到?—Re(ω)和?—In(ω)散點圖。

選擇表1 中的數據進行?—ω的計算，考慮兩端簡支邊界條件下不同體積分數指數及流速流體，分別計算得到?—ω曲線圖。每個?—ω曲線圖中都存在著?的平整段。?只有在這個范圍內取值，計算結果才收斂。無論實部Re(ω)和虛部Im(ω)在取?∈[-1.2， -0.8]的時候，同倫分析法可以計算得到收斂的近似解。同時圖2 表明隨著體積分數指數和流體流速的不斷增加，?平整段逐漸變窄，說明體積分數指數比和流體流速越大的時候，收斂控制參數的選取越受限制。

圖2 基本輸流管系統的?-ω曲線Fig. 2 ?-ω curve of basic conveying fluid system

表1 FGM管道材料屬性Table 1 Material property of FGM pipeline

2.3 收斂性分析

圖3描述的是在兩端簡支邊界條件下?=-1，n=2，U=5 m/s輸流管系統迭代20 次的前八階頻率，可以看出同倫分析法計算得出的一階頻率迭代3 次就已收斂，二階頻率迭代5 次收斂，三階頻率迭代7 次收斂，四階頻率迭代9 次收斂，更是在20 次迭代步數內八階頻率皆收斂。

3 結果分析

3.1 準確性驗證

圖2和圖3 證明了同倫分析法解輸流管系統問題的可行性，同時說明同倫分析法收斂性很好。在表2 中，同倫分析法(HAM)的計算結果與解析解[27]及DTM的計算結果保持一致，與DQM計算結果略有差異，這說明同倫分析法的計算結果是十分精確地，在計算精度上優于DQM。根據Ni[28]，DTM方法得到收斂的四階頻率值是在30 階之后，而同倫分析法得到收斂的四階頻率僅需15 階，這說明同倫分析法在計算速度上是優于DTM的。

表2 在u=0 時同邊界條件下的輸流管自然頻率Table 2 Natural frequencies of conveying fluid pipeline under different boundary conditions with u=0

圖3 兩端簡支邊界條件下?=-1，n=2，U=5 m/s 輸流管系統迭代20 次各階頻率值Fig. 3 Natural frequencies of conveying fluid pipeline system with 20 iteration times under pinned-pinned boundary condition with ?=-1， n=2， U=5 m/s

通過同倫分析法計算無量綱流速u=0 以及u=2 的工況，并與EI-Sayed[26]的計算結果進行對比驗證。在表3 中，流速增加時，輸流管的自然頻率會顯著變化，而無量綱流速與管道長度有關，管道越長，無量綱流速越大，流體與管壁之間的相互作用也就越大。所以在對管道振動頻率進行研究時，要考慮到流體與管壁之間的相互作用。

表3 β=0.5 時左固右簡邊界條件不同流速前四階頻率Table 3 First fourth order frequencies with different velocity under clamped-pinned boundary condition with β=0.5

3.2 臨界流速

在輸流管系統中，實部Re(ω)代表系統受到的阻尼，虛部Im(ω)代表系統的振動頻率，當Re(ω)＜0，Im(ω)=0 時，系統稱為靜態失穩；當Re(ω)＜0，Im(ω)＞0 時，稱為動態失穩；當時Re(ω)＞0，系統是穩定的；當時Re(ω)=0，系統處于平衡狀態，這時對應的流體流速即為臨界流速，所以我們通過衡量臨界流速的大小即可判斷系統是否失穩。

由于數值計算出的最終結果為虛數，其實部代表系統阻尼，虛部代表振動頻率，所以很難直接繪制出振動頻率與流體流動速度的圖像，所以將U∈[0， 120]以1 為間隔離散為121 個點，對每一個流速進行計算，分別得到系統阻尼與振動頻率，而后將計算出的結果按照Im(ω)＞0 從小到大進行排序，即可分別繪制U-Re(ω)與U-Im(ω)圖像。

經過計算，得到了4 種邊界條件下U-Re(ω)和U-Im(ω)的圖像。由圖可知，流速為零時，系統阻尼Re(ω)=0，隨著流速增大，振動頻率Im(ω)逐漸減小。圖4 展示了兩端固支條件下輸流管系統阻尼與振動頻率隨流速的變化規律。對于兩端固支、左固右簡、兩端簡支邊界條件而言，當一階頻率減小至零時，開始出現Re(ω)＞0，流速達到臨界值，此時輸流管系統平衡被破壞，整個系統處于靜態失穩狀態。當流速繼續增加到一定值時，振動頻率再次出現，這時的系統處于動態失穩狀態。動態失穩狀態下，隨著流速的增加，U-Im(ω)圖像將會出現叉型分岔，分岔出現后，一階頻率曲線與二階頻率曲線重合；對于懸臂梁邊界條件，一階頻率減小至零時，系統阻尼仍然保持Re(ω)≤0，此時達到的速度不是臨界流速，在經歷了霍普夫分岔(分岔點處兩階頻率并不重合)之后出現系統阻尼Re(ω)＞0，此時系統的流速為臨界流速。

圖4 兩端固支邊界條件下輸流管系統自然頻率與流體流速的圖像Fig. 4 Diagram of natural frequencies and fluid velocity under clamped-clamped boundary condition

由圖5 中可得，每一種邊界條件下，不同的體積分數指數對應著不同的臨界流速。同時隨著體積分數指數φ的增加，臨界流速不斷減小，而且在φ≤10 的時候臨界流速變化非常顯著，在φ＞10 以后趨于平緩。因此在體積分數指數較小時，不能忽略其對管道自然頻率的影響。在給定邊界條件下任取一點，在曲線下方時表明輸流管處于穩定狀態，在曲線上表明輸流管處于臨界狀態，在曲線上方時表明輸流管處于失穩狀態。所以在輸送質量比不變，確定了管道材料的情況下，可以通過確認體積分數指數的值來確定輸流管系統臨界流速。

圖5 臨界流速—體積分數指數關系圖Fig. 5 Diagram of critical flow velocity-volume fraction index

4 結論

本文基于同倫分析法提出了適用于不同邊界條件下功能梯度材料輸流管道自振頻率的計算方法，得到的主要結論如下：

(1) HAM方法可以較為準確計算功能梯度材料輸流管道的固有頻率，計算高階頻率時收斂性好，收斂速度快，能提升計算效率。兩端簡支邊界條件下，HAM方法得到一階收斂頻率僅需迭代3 次。同等條件下，DTM方法得到收斂的四階頻率值在30 步迭代之后，而同倫分析法僅需15 步迭代。

(2) 在體積分數指數較小時，體積分數指數對輸流管固有頻率的影響較大，隨著體積分數指數的增加，輸流管系統的固有頻率迅速減小。因此，在體積分數較小時不能忽略其對自然頻率的影響。

(3)給出4 種邊界條件下的臨界流速—體積分數指數關系圖可以直觀準確地判斷變材料輸流管道系統是否失穩，具有一定的工程指導意義。