一類含Lipschitz非線性的廣義離散系統的預見控制

楊冬梅， 祝春霞

(東北大學 理學院，遼寧 沈陽 110819)

所謂預見控制，就是把已知的參考信號和(或)其他可預見信號的未來值提前加以利用，以改善系統的控制效果.預見控制的相關研究始于1966年，在控制系統中，如果已知目標信號或者干擾信號的未來信息，對控制系統施加一定的操作使其滿足一定要求，可以提高控制系統的性能[1].多年來，研究者從各個角度拓展了預見控制理論.文獻[2]針對一類線性廣義離散系統，運用廣義離散系統最優控制相關的理論，結合二次型成本泛函，設計出廣義增廣誤差系統的最優預見控制器.文獻[3]利用離散提升技術，將原系統轉化為形式上不含狀態時滯的系統，得到了對系統具有預見前饋補償的最優預見控制器.文獻[4]考慮了一類不確定廣義離散系統，構造出擴大誤差系統，給出了預見控制器的存在條件及設計方法等等.

相比于正常系統，廣義系統有著更加廣泛的形式，且廣義系統模型存在于社會生產的諸多領域中.廣義系統與正常系統有許多不同之處，比如：對于齊次初值問題，正常系統滿足解的存在唯一性，但廣義系統的解可能不相容[5-6].

本文在文獻[7]的基礎上，將正常離散系統預見控制相關理論推廣到廣義離散系統.在系統結構參數的擾動下，正常離散系統可以有系統的結構穩定性，但是廣義離散系統很難具有結構穩定性，因此，廣義系統的研究要比正常系統更加困難，所以本文的研究是一項很有意義的工作.與文獻[4]相比，本文考慮了一類不同的系統，且沒有采用文獻[4]中所提及的離散提升技術.并且針對一類含有非線性項的廣義離散系統，其中，非線性部分滿足Lipschitz條件，基于預見控制的基本思想，研究此系統輸出跟蹤問題，并設計相應的狀態反饋控制器.

1 問題描述

考慮廣義離散系統

(1)

其中，x(k)為n維狀態變量，u(k)為m維輸入向量，d(k)為q維干擾向量，y(k)為p維輸出向量，f(x(k))是一個非線性函數向量，E,A,B,C,D為常數矩陣.其中，矩陣E奇異.

假設1[5]設系統(1)正則，即存在常數s0使得

det(s0E-A)≠0.

假設2非線性項f(x(k))滿足Lipschitz條件：?γ>0,使得對于?x1,x2∈n，有

‖f(x1)-f(x2)‖≤γ‖x1-x2‖.

(2)

r(k+i)=r(k+lr),i=lr+1,lr+2,….

d(k+i)=d(k+ld),i=ld+1,ld+2,….

引理2[11]若L,G為適當維數的實矩陣，G>0，則：

-LTG-1L≤-L-LT+G.

定義誤差信號:e(k)=y(k)-r(k).目標是設計一個有預見作用的控制器，在有外部干擾影響的條件下，實現系統(1)的輸出y(k)仍然能夠穩態、無差地跟蹤參考信號r(k)，即

2 擴大誤差系統的構造

選取一階前向差分算子:Δx(k)=x(k+1)-x(k).對系統(1)中狀態方程的兩端取差分，

EΔx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)+DΔd(k)+Δfk,

(3)

其中，Δfk=Δf(x(k))=f(x(k+1))-f(x(k)).

易知Δe(k)=Δy(k)-Δr(k)，由系統(1)輸出方程，Δe(k)=CΔx(k)-Δr(k).

由Δe(k)=e(k+1)-e(k)，

e(k+1)=e(k)+CΔx(k)-Δr(k).

(4)

結合式(3)和式(4)，

(5)

為了進一步引入參考及干擾信號，分別定義新的向量:

xR(k)=[Δr(k)Δr(k+1) …Δr(k+lr)]T,

xD(k)=[Δd(k)Δd(k+1) …Δd(k+ld)]T.

由假設3和假設4，

xR(k+1)=ARxR(k),xD(k+1)=ADxD(k),

(6)

xR(k)∈p(lr+1)和xD(k)∈q(ld+1)分別包含參考和干擾信號的信息.

由式(5)和式(6)可得增廣系統：

(7)

(8)

3 狀態反饋預見控制器的設計

(9)

下面分析系統(9)穩定的條件，并求解增益矩陣Kx.

注文中出現的對稱矩陣，其下三角部分均為“*”代替.

定理1設假設1～假設4成立，如果存在正定矩陣P、可逆矩陣G1、矩陣R以及常數γ>0，令Z=P-1,使得如下線性矩陣不等式(LMI)成立：

(10)

其中，

至此，若Ω≤0成立，則ΔV≤0，進而由Lyapunov穩定性理論，可得閉環系統(9)是漸近穩定的.下面證明，條件(10)的成立保證了Ω≤0.由引理2，

由Block-diag(-Z,-I)<0.結合引理1，

令Z-1=P，此不等式左端即為Ω，即Ω≤0.因此，系統(9)是漸近穩定的.證畢.

4 數值仿真

例考慮系統(1)，有關系數矩陣為

非線性函數向量、干擾信號及參考信號依次取值如下：

本例取Lipschitz常數γ=0.01經驗證f(x)滿足假設(2).其次，上式中r(k)、d(k)滿足假設3和假設4.通過Matlab對定理1中的LMI條件進行求解，得到一個預見控制器，作用于原廣義系統方程，即可得閉環系統的輸出.分別考慮不同預見作用的跟蹤效果，取lr=0,ld=0(無預見)、lr=1,ld=1、lr=7,ld=3三種情形.圖1為系統的輸出響應，圖2是控制輸入，圖3是跟蹤誤差.

圖1 輸出響應

圖1可得，采用預見控制器的情況下(lr=1,ld=1;lr=7,ld=3)，閉環系統的瞬態響應得到了一定程度的提升，其跟蹤參考信號r(k)的結果是更加令人滿意的.圖3顯示預見作用下的跟蹤誤差波動更小，表明其閉環系統有更好的跟蹤效果.且跟蹤誤差e(k)在有界范圍內趨于0值.如圖2所示，控制量在有界的范圍內，這也是合理的.

圖2 控制輸入

圖3 跟蹤誤差

5 結 論

本文針對一類含Lipschitz 的廣義離散時間系統，采用增廣誤差法，進行預見控制器的設計.首先，通過前向差分法，構造出一個廣義增廣誤差系統，隨之跟蹤問題轉為鎮定問題.然后，基于Lyapunov方法，得到了增廣誤差系統的狀態反饋控制器的求解辦法.最后，通過一個算例驗證了該方法的可行性.