基于剪切波和低秩稀疏表示的噪聲圖像融合算法研究

王相海， 邢俊宇， 王鑫瑩， 曲思潔， 穆振華， 宋傳鳴

(1.遼寧師范大學 計算機與信息技術學院, 遼寧 大連 116081; 2.遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029;3.遼寧師范大學 地理科學學院，遼寧 大連 116029)

多源圖像融合技術是指對同一目標場景經多源信道所獲取到的多幅圖像進行合并處理，獲得較單幅圖像更高質量圖像的過程.近年來，隨著遙感、醫療等實際應用領域需求的不斷提高，以及圖像處理數學工具和圖像處理技術的不斷發展，圖像融合技術也得到了很好的發展[1-2].然而，在實際應用中由于圖像在獲取、傳輸和處理工程中不可避免地會引入一些噪聲，如何有效地抑制這些噪聲使得融合的圖像具有更好的視覺效果和特征的識辨性成為特別關注的一個問題.

小波分析作為一個有效的多尺度分析工具自從被提出以來一直在信號和圖像處理領域發揮著重要作用[3-4]，其有效的多分辨率特性、能量緊支性和分解系數的持續特性等被圖像融合領域所關注，基于這些特性人們提出了許多有效的圖像融合算法[5-7].而剪切波變換(Shearlet Transform)[8]作為后小波時代的一種多尺度幾何分析工具不僅具有和小波變換一樣的多方向、多尺度性質，同時在每個尺度上還可以進行不同的方向分解，即具有各向異性的特性，對于捕捉圖像的高階奇異特征發揮著重要的作用，近年來在圖像處理的多個領域受到重視[9-10].近年來，稀疏表示[11]和低秩表示[12-13]的提出為挖掘更深層次的圖像特征、處理更為復雜的圖像操作提供了可能, 一些基于稀疏表示的圖像融合算法[14-15]和基于低秩表示的圖像融合算法[16-17]也先后被提出.本文將剪切波變換和低秩稀疏表示(Low-Rank and Sparse Representation，LRSR)[18]結合，提出了一種基于剪切波變換和LRSR的多聚焦去噪圖像融合算法，將兩幅多聚焦噪聲圖像通過剪切波變換分解為低頻子帶和高頻方向子帶，對于低頻子帶采用區域能量匹配度的融合算法，對于高頻方向子帶采用LRSR的融合規則.相比于低秩表示(Low-Rank Representation，LRR)算法，LRSR算法通過低秩部分可更好的捕捉子帶的整體結構信息，而通過稀疏部分則可獲得局部結構信息，兩部分信息即可保證圖像的整體結構，同時能夠更好地保留圖像的細節紋理信息.此外，通過對高頻方向子帶經LRSR分解后獲得的噪聲矩陣進行去噪，可使融合后的圖像更加清晰.

1 剪切波變換過程分析

Shearlet變換可以看做是復合伸縮小波變換的一種特殊情況.設伸縮算子為DM，其表達式為

DMψ(x)=|detM|-1/2ψ(M-1x),M∈GLd().

(1)

其中，ψ∈L2(d),GLd()定義為實數域上的d維可逆矩陣群.

設平移算子為Tt，其表達式為：

Ttψ(x)=ψ(x-1),t∈.

(2)

SH(ψ)={ψa,s,t=TtDAaDSsψ:a>0,s∈,t∈2}.

(3)

其中,ψ∈L2(2)，a,s,t分別為尺度參數、方向參數和平移參數.

由于在式(3)中存在一個平移算子Tt、兩個伸縮算子DAa和DSs，這樣Shearlet變換系統可通過一個基函數經過不同方式的平移或者伸縮變換獲得，從而奠定了Shearlet變換較其他變換的優勢.

對式(3)繼續進行變換，可獲得如下表達式：

f|→SHψf(a,s,t)=〈f,σ(a,s,t)ψ〉, (a,s,t)∈S

(4)

其中,f∈L2(2),S:(+×)×2,σ(a,s,t)ψ=TtDAaDSsψ

對于f∈L2(2)，Shearlet變換的表達式為

SHψf(a,s,t)=〈f,σ(a,s,t)ψ〉, (a,s,t)∈S

(5)

其中,SHψ為f到系數SHψf(a,s,t)的映射，a∈+為尺度參數，s∈為方向參數，t∈2為平移參數.

在式(5)基礎上，要使Shearlet變換等距并且存在逆變換，需對ψ進行如下約束：

(6)

這里稱ψ為容許Shearlet.在容許Shearlet基礎上，要使Shearlet滿足等距條件，則需要進一步滿足下面表達式：

(7)

2 基于區域能量的低頻子帶融合規則

圖像經過剪切波分解后得到一個低頻子帶和若干個高頻方向子帶，對于低頻子帶本文采用基于區域能量匹配度的融合算法，自適應地選擇低頻系數.具體過程如下:

設待融合圖像為fA(x,y)和fB(x,y)，大小均為M×N.對fA(x,y)和fB(x,y)分別進行J層Shearlet變換分解，低頻部分的區域能量表示如下：

(8)

(9)

其中,T和K為局部區域的最大行、列坐標，CJA(m+m',n+n')為A圖像第J層(m+m',n+n')點對應的低頻系數，w(m',n')為其對應的權系數，CJB(m+m',n+n')為B圖像第J層(m+m',n+n')點對應的低頻系數，w(m',n')為其對應的權系數.

兩幅圖像對應區域的能量匹配度M可表示為

(10)

(11)

低頻子帶對應的小權重系數Wmin和大權重系數Wmax可表示為

(12)

Wmax=1-Wmin.

(13)

其中,T為定義的匹配閾值.

低頻子帶系數的融合規則可表示為

(14)

3 基于低秩稀疏表示的高頻方向子帶融合規則

對于經Shearlet變換之后獲得的高頻方向子帶，會包含源圖像中一定的噪聲，這樣對于高頻方向子帶，本文選擇低秩稀疏表示(LRSR)對其建模.

設X=[x1,x2,…,xn]∈d×n是一個數據矩陣,X的列是從獨立子空間提取出的n個數據樣本，因此X的每一列可以用基向量A=[a1,a2,…,am]的線性組合表示為

X=AZ.

(15)

其中,Z=[z1,z2,…,zn]表示系數矩陣.

式(15)一般有無窮多個解，為此在式(15)基礎上施加一個最稀疏和最低秩的標準和一個非負約束，即通過求解下列問題來尋找Z的表示：

(16)

其中,β>0表示在低秩和稀疏之間的權衡參數.

(17)

考慮到實際應用中的噪聲，在上式中加入噪聲項E，因此式(17)可以轉化為如下表達式：

(18)

進一步采用基于線性化交替方向法的自適應懲罰方法(LinearizedAlternatingDirectionMethodwithAdaptivePenalty，LADMAP)[19]對式(18)進行求解.

(19)

最后通過選擇最大策略來融合高頻系數矩陣，表達式如下：

(20)

4 算法的實現與結果分析

基于剪切波變換和低秩稀疏表示的多聚焦圖像去噪融合過程如下：

Step 1 對兩幅含有噪聲的多聚焦圖像分別進行剪切波變換，得到相應的低頻子帶和高頻方向子帶.

Step 2 對剪切波變換后得到的兩個低頻子帶采用式(14)的區域能量匹配的融合規則，獲得融合后的低頻子帶.

Step 3 對剪切波變換后得到的高頻方向子帶分別采用LRSR算法進行融合獲得低秩稀疏矩陣Z和噪聲矩陣E,通過去除噪聲矩陣E，達到去噪效果，對得到的低秩稀疏矩陣Z采用式(20)的選擇最大策略進行融合，獲得融合后的高頻方向子帶.

Step 4 對融合后的低頻子帶和高頻方向子帶采用逆剪切波變換，從而獲得清晰的聚焦圖像.

算法流程圖參見圖1.

圖1 算法流程圖

為了驗證所提出算法的有效性，選擇對二幅多聚焦噪聲圖像進行去噪融合實驗，并與MWGF、改進GRW、PC算法和雙邊梯度算法進行對比.采用峰值信噪比(PSNR)、結構相似性(SSIM)和均方差誤差(RMSE)來從客觀角度證明本文所提出算法的有效性.實驗環境為Windows 10操作系統，試驗平臺為Matlab R2014a，16GB內存.實驗結果如下：

圖2～圖5分別表示對“原圖像1”分別加入方差為50和100的高斯噪聲、方差為100和200的椒鹽噪聲后的左聚焦圖像、右聚焦圖像，以及與MWGF[20]、改進GRW[21]、PC算法[22]和雙邊梯度算法[23]的對比結果，同時表1給出了采用峰值信噪比(PSNR)，結構相似性(SSIM)和均方差誤差(RMSE)的客觀評價指標.

圖2 原圖像1加入50倍高斯噪聲的實驗結果

圖3 原圖像1加入100倍高斯噪聲的實驗結果

圖4 原圖像1加入100倍椒鹽噪聲的實驗結果

圖5 原圖像1加入200倍椒鹽噪聲的實驗結果

表1 圖像1在不同類型噪聲和不同算法下的客觀評價指標

圖6～圖9分別表示對原圖像2分別加入方差為50和100的高斯噪聲、方差為100和200的椒鹽噪聲后的左聚焦圖像、右聚焦圖像，以及與MWGF算法、改進GRW算法、PC算法和雙邊梯度算法的對比結果；表2為對應的客觀評價結果.

圖6 原圖2加入50倍高斯噪聲的實驗結果

圖7 原圖2加入100倍高斯噪聲的實驗結果

圖8 原圖像2加入100倍椒鹽噪聲的實驗結果

圖9 原圖像2加入200倍椒鹽噪聲的實驗結果

表2 圖像2在不同類型噪聲和不同算法下的客觀評價指標

5 結束語

本文首先對多聚焦噪聲圖像進行shearlet變換，對于變換后分解出的低頻子帶采用區域能量匹配的融合規則，對于高頻方向子帶采用低秩稀疏表示的融合規則，最后利用shearlet逆變換獲得融合結果.從實驗結果可以看出，對于適加的高斯噪聲和椒鹽噪聲，本文提出的方法均有較好的融合效果，可以很好地保留圖像的細節和紋理信息，特別隨著噪聲水平的增加，本文所提出的算法相對于其他算法具有更好的比較優勢.