隨機系統的Fuzzy系統逼近

李洪興

(1. 北京師范大學珠海校區 應用數學學院, 廣東 珠海 519085; 2. 大連理工大學 控制科學與工程學院, 遼寧 大連 116024)

1 隨機系統產生的背景

考察圖1所示的單輸入單輸出開環系統S,輸入變量x在輸入論域X中取值,輸出變量y在輸出論域Y中取值.如果該系統S是個確定性系統,可以采用常規方法建立系統S的數學模型(如用機理建模法建立微分方程模型),再用解析方法或數值方法獲得該模型的解y(x),這樣則認為已經掌握了該系統.這時該系統S可以簡單地理解為一個函數關系,記為s,即

圖1 單輸入單輸出開環系統

s:X→Y,xy?s(x).

(1)

這樣,可以將該系統形式化地記為s=S(X,Y).

(2)

用隨機的觀點看上述問題有這樣的含義,在X中隨機抽取一點x丟入系統S的輸入通道,進入系統后,在系統的輸出通道應有一個輸出y(x)與之對應,但y(x)在Y中取哪一個元素無法預先知道,這意味著對該系統S來說存在兩個隨機變量ξ和η,它們分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度.

其中φ取自一類Borel可測函數空間.熟知,條件數學期望即可滿足此要求[1],即應置

(4)

注 1.1根據(4)式,要證(3)式當且僅當證明:對于上述任何Borel可測函數φ,均有

事實上,

E[(η-φ(ξ))2]=

E{[(η-E(η|ξ))+(E(η|ξ)-φ(ξ))]2}=

E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]+

2E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))].

顯然有E[(η-E(η|ξ))(E(η|ξ)-φ(ξ))]=0,從而

E[(η-φ(ξ))2]=

E[(η-E(η|ξ))2]+E[(E(η|ξ)-φ(ξ))2]≥

ξ:Ω→R， (x,y)ξ(x,y)?ξ(x),

η:Ω→R， (x,y)η(x,y)?η(y),

這樣,(ξ,η)便成為聯合概率空間(Ω,F,P)上的二維隨機向量.這時,任取x∈X,當ω∈{ω∈Ω|ξ=x}時有

(5)

如果掌握(ξ,η)的全部概率信息,特別能知道(ξ,η)的概率密度f(x,y),則(5)式從形式上變為具體可操作的計算式

(6)

這里自然要求?x∈X,滿足條件

顯然在實際計算中,(6)式應為

(7)

(8)

2 單輸入單輸出連續隨機系統的Fuzzy推理意義

為了方便,須明確幾個概念.給定某個論域X,A={Ai|1≤i≤n}為X上的一族正規Fuzzy集,即?i∈{1,2,…,n},有?xi∈X使得μAi(xi)=1,其中xi叫做Ai的峰點;當然,峰點不必唯一.A為X的一個Fuzzy劃分,如果滿足條件

(9)

不難驗證具有這樣特性的Fuzzy集滿足Kronecker性質[4-6]

μAi(xj)=δ

此外,為了證明下面的主要定理,先給出3個引理.這3個引理均與含參積分有關.

引理 2.1設f(x,y)為X×Y上的二元連續函數,其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實區間,對于如下的含參積分

來說必有這樣的結論：任意取定ε>0,總存在一個與參數x無關的公共的δ>0,使得對于Y的任意劃分a2=y0

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,

其中

Δyi?yi-yi-1,i=1,2,…,n,

且ξi在[yi-1,yi]中任取.

證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,….可證一定存在一個k使δ=δk滿足該引理的結論.若不然,則對每個k,存在xk∈X,并存在Y的劃分

a2=y(k)0

λk?max{Δy(k)i|i=1,2,…,nk}<δk,

但|I(x注意{xk}為有界點列,必有收斂的子序列{xkj},使得

xkj→x*∈X，j→∞.

注意到δkj→0(j→∞),有

這是明顯的矛盾,這便證明了該引理.

引理 2.2設f(x,y)為X×Y上的二元連續函數,其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實區間,對于如下含參積分

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ?

證明首先,注意到

因此存在I(x)的最小點x0∈X,使得有

I(x)≥I(x0), ?x∈X.

取ε=I(x0),由引理2.1知,存在δ>0,使得對于Y的任意劃分

a2=y0

λ<δ?

這時有

I(x0)-ε=0

對一切x∈X一致地成立,故該引理的結論為真.

根據引理2.2并采用類似引理2.1的證明方法立即可以得到下面的引理2.3.

引理 2.3設f(x,y)為X×Y上的二元連續函數,其中

X=[a1,b1],Y=[a2,b2]

均為有限實區間,滿足條件

任意取定ε>0,總存在一個與參數x無關的公共的δ>0,對于Y的任意劃分

a2=y0

只要λ=max{Δyi|i=1,2,…,n}<δ,則對所有x∈X一致地成立

其中Δyi?yi-yi-1,且ξi在[yi-1,yi]中任取.

定理 2.1任意給定一個連續隨機系統

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實區間.如果?x∈X有

則存在一組Fuzzy推理規則：

IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n,

(10)

證明作區間Y上的劃分

P:a2=y0

記γ?(y1,y2,…,yn),以及

Δyi=yi-yi-1,i=1,2,…,n,

λ=max{Δyi|i=1,2,…,n},

于是

其中已經規定

μ

(11)

根據劃分P構造n+1個Y上的Fuzzy集Bj,j=0,1,…,n,要求諸Bj組成Y的一個Fuzzy劃分且在Y上連續.這相當于把諸清晰點yj,j=0,1,…,n模糊化,比如Bj可取“三角波”型隸屬函數[7-9](見圖2)：

圖2 由Bj形成的一組Fuzzy 劃分

μ

μ

j=1,2,…,n-1;

μ

再構造Ai(i=1,2,…,n)如下

μAi(x)?f(x,y

(12)

置A?{Ai|1≤i≤n},B?{Bi|1≤i≤n},視A、B為語言變量,它們分別在自身中取值,于是可形成Fuzzy推理規則組(10)式,將按CRI算法來構造一個Fuzzy系統,過程如文獻[10].

首先由(10)式中第i條Fuzzy推理規則形成一個X×Y上的Fuzzy關系Ri?Ai×Bi,隸屬函數為

?(x,y)∈X×Y,

μRi(x,y)=μAi(x)∧μBi(y).

?(x,y)∈X×Y,

μ

任取A∈F(X),通過R應獲得Fuzzy推理結果B∈F(Y),這相當于由Fuzzy關系R誘導一個從F(X)到F(Y)的Fuzzy變換,記為“°”,即

°:F(X)→F(Y),AB=°(A)?A°R.

隸屬函數規定為:?y∈Y,

μ

(13)

對任意指定的輸入x′∈X,為能使用(13)式,需將x′Fuzzy化,可以規定單點Fuzzy集A′∈F(X):

μA′(x)?χ{x′}(x).

(14)

代入(13)式得到Fuzzy推理結果B′∈F(Y):?y∈Y,

μ

(15)

B′是個Fuzzy集,故需經清晰化方法得到確切的量y′∈Y.由(15)式易知μB′(y)在Y上分段連續,故滿足條件:

μ

μAi0(x′)∧μBi0(y),

由此可知,μBi0(y)=0,a.e.,這與諸Bj為連續的正規Fuzzy集的規定相沖突.這樣一來,可令

根據引理2.2有

?δ3>0,λ<δ3??x∈X,

注意(16)式的Riemann和并注意Bi滿足Kronecker性質,有

(17)

其中已置

μ

從(17)式及引理2.3知?δ4>0,使得δ4<δ3,當λ<δ4時,對所有的x∈X一致地有

這樣一來可取δ=min{δ2,δ4}并注意(11)式,當λ<δ時,對所有的x∈X一致地有

注 2.1在定理的證明中,構造Fuzzy集Ai采用了(12)式.其實亦可采用下式

μAi(x)?f(x,yi)/M,i=1,2,…,n,

(18)

其中

M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

這時同樣可以證明該定理,證明細節從略.不過定理3.1的證明使用了這種證法.

如果取r2=0.5,a1=0,a2=0,σ1=0.5,σ2=1.5,則上式為

根據3σ原則,X與Y可近似地取為有限區間,如X按6σ1取有限區間[-3,3],Y按4σ2取有限區間[-6,6],根據定理2.1有

其圖像見圖3.

圖3 連續隨機系統的輸出曲線圖像

圖4 Fuzzy集Bj的隸屬函數

諸μAi(x)的表達式如(12)式

μ

其圖像見圖5.

圖5 Fuzzy集Ai的隸屬函數

來計算

圖6 Fuzzy系統的輸出曲線

圖7 h=1時與的比較

y0=-6,y1=-5.5,y2=-5, …,y24=6.

圖8 h=0.5時與的比較

圖9 h=0.1時與的比較

3 雙輸入單輸出連續隨機系統的Fuzzy 推理表示

考慮圖10所示的雙輸入單輸出開環系統S,輸入變量x與y分別在輸入論域X和Y中取值,輸出變量z在輸出論域Z中取值.如果該系統S是個確定性系統,可用機理建模法建立系統S的數學模型(如偏微分方程模型),再用某種方法獲得解z(x,y)后,則認為掌握了該系統.這時該系統S可以理解為一個二元函數關系,仍記為s,即

圖10 雙輸入單輸出開環系統

s:X×Y→Z，

(x,y)z?s(x,y).

(19)

于是該系統可記為s=S(X×Y,Z).

當S是一個不確定性系統時,雖然很難得到“準確的”函數關系(19),卻常常可以設法獲得一個近似的函數關系

(x,y)

(20)

設X、Y、Z均為實數空間R上的可測集,ξ、η、ζ分別為定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上的隨機變量,其中B1、B2、B3分別為X、Y、Z上的Borelσ-域,P1、P2、P3分別為B1、B2、B3上的概率測度,取Ω?X×Y×Z以及

F?B1×B2×B3,P?P1×P2×P3,

其中F為B1、B2、B3的卡氏積生成的Borelσ-域,P為乘積概率測度.這樣便得到聯合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把ξ、η、ζ定義為Ω上的隨機變量:

ξ:Ω→R，

(u,v,w)ξ(u,v,w)?ξ(u),

η:Ω→R，

(u,v,w)η(u,v,w)?η(v),

ζ:Ω→R，

(u,v,w)ζ(u,v,w)?ζ(w).

這樣(ξ,η,ζ)便成為聯合概率空間(Ω,F,P)上的三維隨機向量.任取(x,y)∈X×Y,當

ω∈{ω∈Ω|ξ=x,η=y}

時,可令

(21)

假如能知道(ξ,η,ζ)的連續概率密度f(x,y,z),那么條件數學期望(21)式具體化為

(22)

這里要求?(x,y)∈X×Y,滿足

(23)

為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個引理.

引理 3.1設f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續函數,其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實區間,對于含雙參積分

來說必有這樣的結論:任意取定ε>0,總存在一個與參數(x,y)無關的公共的δ>0,對于Z的任意劃分

a3=z0

只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,那么I(x,y)的Riemann和必滿足條件:

對所有的(x,y)∈X×Y一致地成立,其中,Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n)且ξi在[zi-1,zi]中任取.

證明任意取定ε>0,令δk=1/k,k=1,2,…,可證一定存在一個k使δ=δk滿足該引理的結論.事實上,倘若不然,則對每個k,存在(xk,yk)∈X×Y,并存在Z的劃分

a3=z(k)0

|I(xk,y

注意{(xk,yk)}中{xk}為有界點列,必有收斂的子序列{xkj},使得xkj→x*∈X(j→∞).另外{ykj}也為有界點列,故也有收斂的子序列{ykjp},使得

ykjp→y*∈Y,p→∞.

注意到δkjp→0(p→∞),有

0<ε≤

這是明顯的矛盾,從而該引理的結論正確.證畢.

引理 3.2設f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續函數,其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實區間,對于含雙參積分

來說,如果?(x,y)∈X×Y有I(x,y)>0,則存在δ>0,使得對于Z的任意劃分：

a3=z0

λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ?

其中Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n).

證明思路如同引理3.1,從略.此外,還有類似引理2.3的下述引理.

引理 3.3設f(x,y,z)為X×Y×Z上的三元連續函數,其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a3,b3]均為有限實區間,滿足條件

任意取定ε>0,總存在一個與參數(x,y)無關的公共的δ>0,對于Z的任意劃分

a3=z0

只要λ=max{Δzi|i=1,2,…,n}<δ,便對所有(x,y)∈X×Y一致地成立

其中,Δzi=zi-zi-1,i=1,2,…,n,并且ξi在閉區間[zi-1,zi]中任取.

則存在一組Fuzzy推理規則

If(x,y)isDithenzisCi,

i=1,2,…,n,

(25)

證明作區間Z的一個劃分：

a3=z0

記Δzi?zi-zi-1(i=1,2,…,n),以及

λ=max{Δzi|i=1,2,…,n},

由此得到兩個Riemann和:

由該定理條件及引理3.2,?δ1>0,當λ<δ1時有

于是

其中已經定義

μDi(x,y)?f(x,y,zi)/M,

(26)

這里

M?max{f(x,y,z)|(x,y,z)∈X×Y×Z},

μ

任意指定一個逼近精度ε>0,因f(x,y,z)連續,故由引理3.3,?δ2>0,使得δ2<δ1,當λ<δ2時,對所有的(x,y)∈X×Y一致地有

利用分點zj(j=0,1,…,n)構造n+1個Z上的Fuzzy集Cj(j=0,1,…,n),使得它們在Z上連續且組成Fuzzy劃分,比如仍可用“三角形”模糊化方法(參考圖2).置

D={Di|1≤i≤n},

C={Ci|1≤i≤n},

視D、C為語言變量,可形成Fuzzy推理規則組

If(x,y)isDithenzisCi,

i=1,2,…,n.

(27)

μRi(x,y,z)=μDi(x,y)∧μCi(z).

μ

任取D∈F(X×Y),通過R應獲得Fuzzy推理結果C∈F(Z),這里C?D°R,即

μ

對任何(x′,y′)∈X×Y,先作 Fuzzy化

μD′(x,y)?χ{(x′,y′)}(x,y),

再代入(28)式得推理結果C′∈F(Z),

μC′(z)=μR(x′,y′,z)=

易知μC′(z)>0.令

(29)

?(x,y)∈X×Y

及引理3.2,?δ3>0,當λ<δ3時有

?(x,y)∈X×Y.

注意(29)式的Riemann和,并注意Ci滿足Kronecker性質,有

μ

再由引理3.3,?δ4>0,使得δ4<δ3,當λ<δ4時,對所有的(x,y)∈X×Y一致地有

注 3.1在定理的證明中,構造Fuzzy集Di采用了(26)式.其實亦可采用下式

μ

(30)

按(30)式同樣可以證明該定理,證明細節從略.不過定理2.1的證明使用了這種證法.

例 3.1給定連續隨機系統

X=Y=Z=[0,2π],

根據定理3.1有下式(其圖像見圖11):

圖11 連續隨機系統的輸出曲面

z0=0,z1=0.2π,z2=0.4π, …,

z9=1.8π,z10=2π,

然后作Fuzzy集Ci(i=0,1,…,10),見圖12.

圖12 Fuzzy集Ci的隸屬函數曲線

諸Di(x,y)的表達式(26)式

μ

其中M=1/4π3,Di(x,y)的圖像見圖13.來計算

圖13 Fuzzy集Di的隸屬函數曲面

圖14 Fuzzy系統的輸出曲面

圖15 h=0.2π時的誤差曲面

圖16 h=0.1π時的誤差曲面

圖17 h=0.01π時的誤差曲面

4 多輸入多輸出連續隨機系統的Fuzzy 推理表示

現在考慮p個輸入q個輸出的開環系統S,輸入變量xi在輸入論域Xi中取值i=1,2,…,p,輸出變量yj在輸出論域Yj中取值j=1,2,…,q.如果該系統S是個確定性系統,可用機理建模法建立系統S的數學模型,再用某種方法獲得該模型的一組解

yj=yj(x1,x2,…,xp),j=1,2,…,q

s

(x1,x2,…,xp)yj?sj(x1,x2,…,xp),

(31)

再記s?(s1,…,sq),則(31)式可以更緊湊地寫為向量值函數形式

(x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

s(x1,x2,…,xp)=

(s1(x1,x2,…,xp),…,sq(x1,x2,…,xp)).

(32)

于是該系統可記為

當S是一個不確定性系統時,雖然很難得到“準確的”函數關系組(31),卻常常可以設法獲得一個近似的函數關系組

(x1,x2,…,xp)y

(33)

(x1,x2,…,xp)(y1,y2,…,yq)=

(34)

仍考慮用條件數學期望來實現上述逼近的思想.

Ω

P

這樣得到q個聯合概率空間

(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q.

不換記號,重新把諸ξi,i=1,2,…,p定義為每個Ωj,j=1,2,…,q上的隨機變量：

ξi:Ωj→R,

(u1,u2,…,up,vj)

ξi(u1,u2,…,up,vj)?ξi(ui),

而把ηj只重新定義在與其具有同樣指標的Ωj上：

ηj:Ωj→R,

(u1,u2,…,up,vj)

ηj(u1,u2,…,up,vj)?ηj(vj),

這樣得到在(Ωj,Fj,Pj)上有定義的p+1維隨機向量(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.任取

(x1,x2,…,x

當ωj∈{ωj∈Ωj|ξi=xi,i=1,2,…,p}時,可令

E(ηj|ξ1=x1,x2,…,ξp=xp).

(35)

如果掌握了(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj)的連續概率密度fj(ξ1,ξ2,…,ξp,ηj),j=1,2,…,q,那么條件數學期望(35)式具體化為

j=1,2,…,q.

j=1,2,…,q.

(37)

如果記

F(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)?

(f1(x1,x2,…,xp,y1),…,fq(x1,x2,…,xp,yq)),

則可以把(37)式緊湊地寫為向量形式

(39)

注 4.1如果取

則得到統一的聯合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把諸ξi,i=1,2,…,p,ηj,j=1,2,…,q定義為Ω上的隨機變量

ξi:Ω→R,

(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

ξi(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ξi(ui),

ηj:Ω→R,

(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)

ηj(u1,u2,…,up,v1,v2,…,vq)?ηj(vj).

獲得在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機向量

(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

當知道(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的連續概率密度f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)時,(39)式更應記為

f1(x1,x2,…,xp,y1)=

f2(x1,x2,…,xp,y2)=

…,

fq(x1,x2,…,xp,yq)=

即fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q不過是

f(x1,x2,…,xp,y1,y2,…,yq)

的邊緣概率密度.于是(40)式很容易變為(38)式,但反之不然.好在知道諸邊緣概率密度fj(x1,x2,…,xp,yj),j=1,2,…,q之后對于構造連續隨機逼近系統已足夠了.

為了下面證明主要定理的需要仍要先給出兩個類似引理3.1和引理3.2那樣的引理.由于基本表述形式類似,從略.

定理 4.1任意給定一個p輸入q輸出連續隨機系統(38),其中

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實區間.如果滿足條件:

?(x1,x2,…,x

則存在q組Fuzzy推理規則：

If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

(41)

其中,

A

kj=1,2,…,nj,j=1,2,…,q,

證明記Aj?{Akjj|1≤kj≤nj}以及

Bj?{Bkjj|1≤kj≤nj},j=1,2,…,q,

那么上述q組Fuzzy推理規則可簡寫為

Aj→Bj,j=1,2,…,q.

按照定理3.1的方法由Aj→Bj,j=1,2,…,q可以構造q個子Fuzzy系統

j=1,2,…,q.

它們分別能逼近q個子隨機系統

j=1,2,…,q

(42)

Aj→Bj,j=1,2,…,q,

(43)

5 離散型隨機系統的Fuzzy推理表示

先考慮單輸入單輸出不確定性系統s=S(X,Y).假定已經知道有關系統S的一些概率信息,自然應從隨機的角度去考察該系統.設X、Y均為實數空間R上的可測集,輸入隨機變量ξ和輸出隨機變量η分別定義在概率空間(X,B1,P1)和(Y,B2,P2)上,其中B1和B2分別為X與Y上的Borelσ-域,P1和P2分別為B1和B2上的概率測度,如同第一節那樣構造聯合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η)便為(Ω,F,P)上的隨機向量.無妨認為掌握的概率信息就是該系統的離散型概率分布

{P(xi,yj)|1≤i≤n,1≤j≤m},

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2],以及

a1≤x1

y0?a2

它視為系統S在得到輸入xi后的響應.這樣,若記

注 5.1按通常的習慣,總把P(xi,yj)記為pij,即pij?P(xi,yj),這樣表達起來簡便,故下面采用簡便表達法.

定理 5.1任意給定一個離散隨機系統

其中X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實區間,一定存在一組Fuzzy推理規則：

Δyj?yj-yj-1,j=1,2,…,m.

證明首先考慮如何構造Fuzzy推理規則組(45)式.Fuzzy集Bj∈F(Y)最易獲得,事實上只需按圖2 做成“三角波”型隸屬函數,只不過將下標n改為m即可.于是就得到語言變量

B={Bj|1≤j≤m}.

再來構造Fuzzy集Aj∈F(X).先按圖2那樣構造充當基函數用的一組Fuzzy集αi∈F(X),i=1,2,…,n:

μ

μ

i=2,3,…,n-1;

μ

用上述Fuzzy集αi(i=1,2,…,n)的加權平均來構造Fuzzy集Aj,

μ

j=1,2,…,m,

(46)

其中權向量組{(a1j,a2j,…,anj)|1≤j≤m}待定.這樣形式地得到語言變量

A={Aj|1≤j≤m},

于是便形成了Fuzzy推理規則組(45)式:

IfxisAj，thenyisBj,j=1,2,…,m.

(47)

因為μAj(xi)=aij,所以

(48)

比較(44)式與(48)式,可取

aij=P(xi,yj)M/Δyj,

令

ε?max

則最終得到

此外,任意取定精度ε>0,由(48)式知,?δ>0,當λ<δ時,對所有xi,i=1,2,…,n有

再考慮雙輸入單輸出不確定性系統s=S(X×Y,Z).設X、Y、Z均為實數空間R上的可測集,輸入隨機變量ξ、η和輸出隨機變量ζ分別定義在概率空間(X,B1,P1)、(Y,B2,P2)、(Z,B3,P3)上,其中B1、B2和B3分別為X、Y與Z上的Borelσ-域,P1、P2和P3分別為B1、B2和B3上的概率測度,可構造聯合概率空間(Ω,F,P),于是(ξ,η,ζ)便為(Ω,F,P)上的隨機向量.已知離散型概率分布

{P(xi,yj,zk)|1≤i≤n,1≤j≤m,1≤k≤p}，

其中,

X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2],

以及

a1≤x1

a2≤y1

z0?a3

(49)

(50)

定理 5.2任意給定一個離散隨機系統(50),其中,X=[a1,b1],Y=[a2,b2],Z=[a2,b2]均為有限實區間,一定存在一組Fuzzy推理規則：

If(x,y)isDk，thenzisCk,

k=1,2,…,p，

(51)

?i∈{1,2,…,n}, ?j∈{1,2,…,m},

證明類似定理5.1的情況,從略.

Ω

P

按照連續隨機系統的處理方法可構造q個聯合概率空間

(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q,

使得諸ξi,i=1,2,…,p為在每個Ωj上有定義的隨機變量,ηj為只在與其具有同樣指標的Ωj上有定義的隨機變量(j=1,2,…,q).這樣便得到在(Ωj,Fj,Pj),j=1,2,…,q上有定義的p+1維隨機向量(ξ1,ξ2<…,ξp,ηj),j=1,2,…,q.進一步假設

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實數區間.已知q組離散型概率分布

{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)|1≤k1≤n1,…,

1≤kp≤np;1≤lj≤mj},j=1,2,…,q,

其中

ai≤xi1

cj≤yj1

假定?(k1,k2,…,kp),有

記

E(ηj|ξi=xiki,i=1,2,…,n)=

(52)

將它視為系統S在得到輸入(x1k1,x2k2,…,xpkp)后關于輸出變量yj的響應.再置

{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)}(1≤ki≤ni,i=1,2,…,p;1≤lj≤mj),

j=1,2,…,q).

(54)

定理 5.3任意給定一個p輸入q輸出離散隨機系統(54),其中

Xi=[ai,bi],i=1,2,…,p,

Yj=[cj,dj],j=1,2,…,q

均為有限實區間,一定存在q組Fuzzy推理規則

If(x1,x2,…,xp)isAkjj,thenyjisBkjj,

kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q,

其中，

A

kj=1,2,…,mj,j=1,2,…,q，

{yjlj|1≤lj≤mj},j=1,2,…,q

的分割間隔越小,逼近的精度越高.

證明類似定理5.1及定理4.1的情況,從略.

注 5.2如果取

則得到統一的聯合概率空間(Ω,F,P).不換記號,重新把諸ξi(i=1,2,…,p)和ηj(j=1,2,…,q)定義為Ω上的隨機變量便得到在(Ω,F,P)上有定義的p+q維隨機向量

(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq).

當知道關于該不確定性系統S的隨機向量(ξ1,ξ2,…,ξp,η1,η2,…,ηq)所服從的離散概率分布

{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,…,xqlq)|1≤k1≤n1,

1≤k2≤n2,…,1≤kp≤np;1≤l1≤m1,

1≤l2≤m2,…,1≤lq≤mq}

時,(54)式更應記為

{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}).

(55)

P1(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1)=

P2(x1k1,x2k2,…,xpkp,y2l2)=

Pq(x1k1,x2k2,…,xpkp,yqlq)=

即{Pj(x1k1,x2k2,…,xpkp,yjlj)},j=1,2,…,q不過是{P(x1k1,x2k2,…,xpkp,y1l1,y2l2,…,yqlq)}的邊緣概率分布.于是于是(55)式很容易變為(54)式.

6 Fuzzy系統與隨機系統轉換中的還原性

以單輸入單輸出開環系統s=S(X,Y)為例來討論Fuzzy系統與隨機系統轉換中的還原性問題,暫限于連續系統,至于離散系統的討論是其特例,處理起來并不困難,這里X=[a1,b1],Y=[a2,b2]均為有限實區間.

先假定已知一個Fuzzy系統

其中A={Ai|1≤i≤n}和B={Bi|1≤i≤n}分別為X與Y上的Fuzzy劃分,視A與B為語言變量便可構成一組Fuzzy推理規則

IfxisAi,thenyisBi,i=1,2,…,n.

為了方便將這樣的Fuzzy推理規則組簡記為

A→B，

(56)

其中θ為Fuzzy蘊涵算子,滿足條件

θ(a,1)=a,θ(a,0)=0, ?a,b∈[0,1].(58)

再根據文獻[1],存在一個聯合概率空間(Ω,F,P),其中

Ω=X×Y, F=F1×F2,P=P1×P2,

隨機變量ξ與η分別定義在概率空間(X,F1,P1) 和 (Y,F2,P2)中;經過將ξ與η重新定義在概率空間(Ω,F,P)后得到隨機向量(ξ,η),它服從由下列概率密度確定的概率分布

H(2,n,θ,∨)=

(59)

根據(8)式又得到一個隨機系統

它的輸入輸出函數關系為

x1

可構造Fuzzy推理規則組

M?max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}.

注意到

M=max{f(x,y)|(x,y)∈X×Y}=

即MH(2,n,θ,∨)=1.易證?i∈{1,2,…,n},有

μ

自然得到B′=B.可見恢復了原本的Fuzzy推理規則組A→B.這是一方面的還原性.

(60)

其中,λ=max{Δyj|j=1,2,…,n},Ai采用(12)式或(18)式構造,而Bi可取三角波形隸屬函數(見圖2).這時Fuzzy系統的輸入輸出函數一般為(注意比(16)式廣泛)

這里Fuzzy蘊涵算子θ仍要滿足條件(58)式.根據文獻[1],得到一個隨機系統

這里H(2,n,θ,∨)的意義同前.以下分兩種情況考察還原性.

情況1按(18)式規定

Ai(x)?f(x,yi)/M,

這時在Y的分點yj(j=1,2,…,n)上有

f′(x,y

α(n)f(x,yj),

(61)

對任意取定的劃分,n固定,故α(n)為常數.(61)式說明在每個節點yj(j=1,2,…,n),f′(x,yj)除了一個常數因子α(n)外還原為f(x,yj).由于λ可任意減小,從而認為f′(x,y)除了一個常數因子外近似地還原為f(x,y).

情況 2按(12)式規定

μ

這時要求Y的分點yj(j=1,2,…,n)構成Y的等距劃分,即Δyj=h,j=1,2,…,n.于是在Y的分點yj(j=1,2,…,n)上有

f′(x,y

β(h)fη|ξ=x(yj|x),

(62)

f

為條件概率密度.根據上式,認為f′(x,y)除了一個常數因子外近似地還原為條件概率密度

fη|ξ=x(y|x).

注 6.1從常數β(h)?h/H(2,n,θ,∨)的定義看,兩個參數h與n是相關的.因此β(h)也可寫成β(n),而不必寫成β(h,n).

注 6.2注意f′(x,y)是個連續函數,不難從(61)式看出,f′(x,y)相當于在邊緣Y中有定義的結點組

{(yj,α(n)f(x,yj))|j=1,2,…,n}

上的插值函數.在節點yj處,f′(x,y)嚴格地等于結點函數值α(n)f(x,yj).那么在非節點y處f′(x,y)對α(n)f(x,y)逼近的精度如何？這是個有趣的問題.另外,對于(62)式有類似的理解.

注 6.3上述情況2只還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),似乎不令人滿意.其實Fuzzy系統與隨機系統之間的轉換重在逼近程度優劣,如果完全還原或近似還原固然結果漂亮.不過還原到條件概率密度fη|ξ=x(y|x),也說明透過fη|ξ=x(y|x)揭示了f′(x,y)與f(x,y)之間的緊密聯系.

7 具有一維隨機變量的不確定性系統及其表示

從本文及文獻[1]的內容可以發現一個現象：所涉及的概率密度至少是二維的,即至少涉及二維隨機向量(ξ,η),其中ξ本質上定義在輸入論域X,而η本質上定在輸出論域Y.這并不奇怪,因為一個不確定系統至少是一個單輸入單輸出系統.

然而在學習概率論時見過很多的隨機試驗只涉及一個隨機變量ξ,如其有密度函數,則是個一維密度函數f(x).

自然會問：什么樣的不確定性系統只涉及一個隨機變量,或者具有一維概率密度？可以猜想,這樣的不確定性系統一定具有某種特殊性或具有某種意義的平凡性,而這樣的系統會有很多.所以只能就幾個典型情況來考察.

典型情況 1(純粹確定性系統) 正如普通集可視為特殊的Fuzzy 集一樣,確定性系統亦可看作特殊的不確定性系統.考慮一個特殊的開環系統s=S(X,Y),其中X=[a,b],Y={y0}為一個單點集.已經知道符號s具有雙重含義,既抽象地代表一個系統,又具體地表示該系統的輸入輸出關系,即

s:X→Y,xy=s(x)?y0.

a=x1

將諸分點Fuzzy化,可按圖2構造三角形Fuzzy集Ai∈F(X)(i=1,2,…,n)(注意要將圖2中的n+1個下標0,1,…,n改為n個下標1,2,…,n).從而得到X上的Fuzzy劃分

A={Ai|i=1,2,…,n}.

再作Y上的Fuzzy集

Bi?Y={y0},i=1,2,…,n,

這里IY表示集合Y的示性函數(也叫特征函數,為了避免與概率論中隨機變量的特征函數相混淆,寧可稱其為示性函數).又得到

B={Bi|i=1,2,…,n}.

于是獲得Fuzzy推理規則組:A→B.這樣便得到了一個Fuzzy系統

為了簡單,把Fuzzy蘊涵算子θ取為常用的∧,有

p(x,y)=p(x,y0)=

這時該Fuzzy系統的輸入輸出關系應該為

令

f(x)?f(x,y0)=

(63)

這樣應該存在概率空間(X,F,P)上的隨機變量

ξ:X→R,xξ(x)

服從概率密度為f(x)的概率分布,其中F為X上的 Borelσ-域.注意到,若令

Ω?X×{y0},

則F可視為Ω上的Borelσ-域,ξ視為定義在Ω上的隨機變量,即不換記號重新定義

ξ:Ω→R,

ω=(x,y0)ξ(ω)=ξ(x,y0)?ξ(x),

只是形式上的表達,因為Y為單點集,其測度為零,故?x∈X,

從而

即

無意義.不過這并不難處理.事實上,任取ε>0,易知

p(x,y0)>0, ?x∈X，

由此可知,?x∈X,有

p(x,y0)ε>0;

于是?x∈X,又有

例 7.1考慮一個照明系統,為了簡單,假定該系統只有一盞燈.通常在傍晚時將燈打開,假定開燈時刻介于a與b之間.令X=[a,b],視它為輸入論域,那么取x∈X,則表示在時刻x把燈的開關閉合,這時燈亮,可記為1,視1為輸出,自然取輸出論域為Y={y0}={1}.當然燈用畢后要關上,而關閉動作不計其內.顯然輸入輸出關系為

s:X→Y，

xy=s(x)?y0=1.

這當然是個純粹的確定性系統.有理由要問:既然這個系統是確定性系統,那么為何出來個隨機變量ξ以及它服從的概率密度為f(x)的概率分布?這也不難解釋.如果把注意力集中在“究竟在X中的哪個時刻x把燈打開”,這又是個隨機性問題,而這與確定性的輸入輸出關系

s:X→Y,xy=s(x)?y0=1

并不矛盾.知道“傍晚在何時將燈打開”依賴許多因素,比如地區不同,開燈的時刻便不同.通過隨機實驗,可以大致知道在若干時刻附近,比如5點左右,6點左右,7點左右等有限種情況.一般化,可認為在x1左右,x2左右,…,xn左右開燈.記a=x1,b=xn,將諸xi(i=1,2,…,n)Fuzzy化,得到諸Fuzzy集

Ai∈F(X),i=1,2,…,n.

再作Y上的Fuzzy集

Bi?Y={y0},

μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

又得到B={Bi|i=1,2,…,n}.于是獲得Fuzzy推理規則組:A→B.這樣便得到了一個Fuzzy系統

這便回到了獲得(63)式的渠道.往下就不說自明了.

典型情況 2(純粹隨機系統) 考慮另外一個特殊的開環系統s=S(X,Y),其中X?{x0}為一個單點集,Y=[a,b].它的輸入輸出關系應該為

s:X→Y,x0y0=s(x0).

然而,由于該系統的不確定性,x0對應Y中哪一個y0無法預先確知.所以s=S(X,Y)是一個純粹的隨機系統.當輸入x0后,經過統計處理有這樣幾種情況：輸出在y1左右,輸出在y2左右,…,輸出在yn左右.無妨假定

a=y0

將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

Bi∈F(Y),i=0,1,…,n，

且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

Ai?X={x0},

μAi(y)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

并記A={Ai|i=1,2,…,n},以及B={Bi|i=1,2,…,n}(注意這里不用B0),得到Fuzzy推理規則組A→B,于是獲得Fuzzy系統

按CRI方法有

p(x,y)=p(x0,y)=

因為?y∈Y有p(x0,y)>0,所以

令

g(y)?g(x0,y)=

(64)

注意

該Fuzzy系統的輸入輸出關系應該為

這樣應該存在概率空間(Y,F,P)上的隨機變量η,它服從概率密度為g(y)的概率分布,其中F為Y上的Borelσ-域.同樣,若令Ω?{x0}×Y,則F可視為Ω上的Borelσ-域,η視為定義在Ω上的隨機變量,而P亦可視為(Ω,F,P)上的概率.于是又得到隨機系統

它的輸入輸出關系同樣為

記Δyj?yj-yj-1(j=1,2,…,n),有

(65)

a=y0

Δyj=h,j=1,2,…,n

為等距時,又有

(66)

例 7.2考慮一個射擊系統,為了簡單假定該系統只有一只槍.每一次試驗,即每一次操作,亦即每一次射擊打一發子彈,子彈記為x0(因為同類型的槍打同類型的子彈,而同類型的子彈之間可不加區別,均記為x0),這樣得到該系統輸入論域X?{x0}.每一次射擊,子彈x0打向靶子理解為向該系統輸入,靶子上的彈著點是該系統對于輸入x0的響應,對于該響應的測量有多種方式;這里取彈著點到靶心的距離y為系統的輸出.如果不算脫靶,彈著點到靶心的距離肯定有界,一個恰當的上界記為b(比如靶心到靶邊緣的最大距離,在實際應用中要比它小),下界顯然為a=0,于是又獲得輸出論域Y=[a,b].當該系統獲得輸入x0后,其相應的輸出y0不能預先確知,故這是一個純粹的隨機問題.假如考察一個具有n個人的射擊隊的團體射擊水平,經實驗后發現每個射擊隊員的彈著點到靶心的距離分別為y1左右,y2左右,…,yn左右.無妨假定

a=y0

將y0,y1,…,ynFuzzy化得到Fuzzy集

Bi∈F(Y),i=0,1,…,n,

且Bi為Y的Fuzzy劃分.再令

Ai?X={x0},

μAi(x)=χX(x)=χ{x0}(x),i=1,2,…,n,

并記A?{Ai|i=1,2,…,n},以及

B?{Bi|i=1,2,…,n},

現在考慮具有一維概率密度函數的隨機系統的Fuzzy推理表示及其對隨機系統的逼近問題.亦分兩種情況.

典型情況 1*該情況與前述的典型情況1對偶.給定一個連續隨機系統

這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機變量ξ服從概率密度為

f(x)?f(x,y0)

的概率分布,其中Ω?X×{y0}.從前面的討論已知該隨機系統的輸入輸出關系為

其中假定?x∈X有f(x,y0)>0,可見

作X的劃分a=x1

Ai∈F(X),i=1,2,…,n,

使其構成X的Fuzzy劃分.再作

Bi?Y={y0},

μBi(y)=χY(y)=χ{y0}(y),i=1,2,…,n,

置A?{Ai|i=1,2,…,n}以及

B?{Bi|i=1,2,…,n}，

得到Fuzzy推理規則組A→B.于是便有Fuzzy系統

因為A?{Ai|i=1,2,…,n}為X的Fuzzy劃分,所以

該Fuzzy系統的輸入輸出關系為

典型情況 2*該情況與前述的典型情況2對偶.給定一個連續隨機系統

這意味著存在概率空間(Ω,F,P)及定義在其上的隨機變量η服從概率密度為

g(y)=g(x0,y)

的概率分布,其中Ω?{x0}×Y.注意到

從前面的討論知該隨機系統的輸入輸出關系為

定理 7.1任意給定一個連續隨機系統

一定存在一組Fuzzy推理規則:A→B,其中,

A={Ai|i=1,2,…,n},

B={Bi|i=1,2,…,n},

Ai∈F(X),Bi∈F(Y),i=1,2,…,n,

證明首先作Y的劃分

a=y0

構作三角形Fuzzy集

令M?max{g(y)|y∈Y},再作分點yi,i=0,1,…,n的Fuzzy化:

μ

顯然Bi∈F(Y)(i=0,1,…,n).取

Ai?{x0},i=1,2,…,n,

A?{Ai|i=1,2,…,n},

B?{Bi|i=1,2,…,n}，

得到Fuzzy推理規則組A→B.于是做成Fuzzy系統

它的輸入輸出關系有下列表示:

因為

與

λ=max{Δyi=yi-yi-1|i=1,2,…,n}<δ,

就同時有

8 不確定性系統的統一性

上一節的結論表明,Fuzzy系統與隨機系統相互轉換中還具有還原性.這意味著在系統的觀點下,Fuzzy系統與隨機系統是統一的,它們好像一個天平上的兩個等量的砝碼,各置該天平的托盤之一,其中一個砝碼舊一點,而另一個砝碼新一點.舊砝碼意指概率論;新砝碼則代表Fuzzy系統理論.它們各有側重,互為補充,絕不相互排斥.

值得指出的是,面對一個不確定性系統,在概率論中要想獲得關于該不確定性系統的概率分布是件相當困難的事情;然而,對于該不確定性系統,得到一組Fuzzy推理規則并不困難;由既得的Fuzzy推理規則組便可轉化為該不確定性系統的概率密度,這是件極有意義的事情.

9 結論

本文詳細討論了隨機系統的Fuzzy推理表示問題,揭示了隨機系統與Fuzzy推理之間有著緊密聯系.主要結果如下.

1) 相對于不確定性系統,給出了隨機系統的定義,它視為從隨機系統的角度對一個不確定系統的逼近.

5) 面對一個不確定性系統,在概率論中要想獲得關于該不確定性系統的概率分布是件相當困難的事情;然而,對于該不確定性系統,得到一組Fuzzy推理規則并不困難;由既得的Fuzzy推理規則組便可轉化為該不確定性系統的概率分布,從而概率論中成熟的工具便可發揮作用了,這是件極有意義的事情.