基于Payne效應的膜式空氣彈簧非線性動剛度模型*

鄔明宇，陳志剛，童 浩，王 靜，尹 航，鄭文博，李 耀，禹 真，危銀濤

（1.清華大學車輛與運載學院，北京 100084；2.中國第一汽車股份有限公司研發總院，長春 130013；3.汽車振動噪聲與安全控制綜合技術國家重點試驗室，長春 130013；4.科馬智能懸架技術（青島）有限公司，青島 266300）

前言

空氣彈簧（簡稱空簧）以其優良的隔振性能，已在車輛和部分精密隔振領域得到了普遍關注和應用。對于乘用車來說，空氣彈簧具有可調高度、改善平順性、質量較輕和可有效抑制噪聲等優點。普通乘用車單腔膜式空氣彈簧通過管路連接到儲氣罐、壓縮機或排氣閥進行充放氣操作。精確合理的空氣彈簧動力學模型是空氣懸架系統設計、建模和控制的基礎。但是目前空簧動力學建模存在兩個挑戰：（1）氣囊橡膠的貢獻難以從理論和實驗上驗證；（2）動剛度隨振幅的非線性變化難以建模。本文基于實驗和理論分析，提出一個一般的非線性動剛度模型以解決這兩個難題。

空氣彈簧動力學等效模型在諸多論文中已有論述。Li 等利用幾何學對鐵路用空氣彈簧進行非線性建模并通過實驗分析了幾何特性對垂向剛度的影響。Lee 等在Harris和Bryan工作的基礎上，基于熱力學建立雙腔空氣彈簧動力學模型并分析氣體的振蕩過程及其頻率相關性。Docquire 等對動態過程中熱交換過程的敏感性進行分析并研究了雙腔空氣彈簧內部的多變過程，其研究表明空氣彈簧的動力學特性與熱交換率呈強相關。李芾等對空氣彈簧等效力學模型參數進行分析，給出不同參數對空氣彈簧動力學特性的影響。陸曉黎等對空氣彈簧進行有限元分析，從設計角度對空氣彈簧的靜剛度和承載力進行了精確預報。陳俊杰基于設計參數對車用空氣彈簧的靜剛度進行預測并分析了其振幅相關性，通過實驗反推出橡膠氣囊的影響。陳俊杰等利用線性模型和實驗參數辨識方法對空氣彈簧靜剛度關鍵參數進行標定。

但上述研究都無法解決氣囊橡膠對剛度的貢獻度和動剛度隨振幅非線性變化建模的難題，故本文中提出了一種考慮氣囊橡膠Payne 效應和熱力學等效剛度阻尼滯回特性的膜式空氣彈簧非線性動剛度模型，以解決空氣彈簧動剛度非線性建模難題。

橡膠材料的Payne 效應指的是橡膠材料動剛度隨著簡諧激勵振幅的減小而增大的現象，有諸多學者對這一效應進行了廣泛研究。本文中設計的動剛度實驗定量表明，空氣彈簧動剛度隨振幅變化的非線性主要是由于氣囊橡膠的Payne 效應引起的，這與Kind 等的定性分析一致，該文獻指出膜式空氣彈簧的Payne 效應是直接導致聲振粗糙度（harshness）的原因。但是目前少見有基于Payne 效應、考慮氣囊動力學特性進行膜式空氣彈簧的動力學分析，并進行動剛度實部和虛部擬合及解釋的方法和理論。本文中首先基于熱力學考慮氣體剛度、有效面積剛度和熱交換等效阻尼和橡膠材料Payne效應理論給出一種解耦的膜式空氣彈簧動剛度模型與各貢獻量的數學表達與參數辨識方法；其次設計示功實驗在不同激勵頻率和振幅下對其實部和虛部分別進行參數辨識，對動剛度模型進行驗證；最后從振幅和頻率兩個維度給出各貢獻量對動剛度的影響及其變化規律和物理解釋。實驗結果表明，本文提出的考慮Payne 效應的膜式空氣彈簧動剛度模型在不同頻率和振幅下均可精確反映動剛度的實部和虛部，為膜式空氣彈簧的正向開發提供指導，并對膜式空氣懸架的動力學行為的精確預報提供基礎。

1 膜式空氣彈簧動剛度模型

普通乘用車單腔膜式空氣彈簧示意圖及其參數定義如圖1 所示，空氣彈簧的垂向剛度主要受內部高壓氣體和橡膠氣囊的影響。本文提出的膜式空氣彈簧動剛度模型主要根據熱力學和橡膠材料的Payne效應，分別對兩部分剛度進行推導并得到最終的一般動剛度公式。其中熱力學部分的推導，本文的作者已經在文獻［22］中發表，但為了論文的完備性，本文仍簡要給出熱力學分析的部分。

1.1 熱力學方程推導

首先考慮氣體剛度。在充放氣過程結束后，單腔膜式空氣彈簧就成為了一個內部氣體定質量工作的系統（見圖1）。

圖1 單腔空氣彈簧參數定義

首先假設力和位移矢量向上為正；壓強、溫度、體積和氣體質量增大為正；系統從外部吸熱、外部對氣體做功和氣體內能增加為正。表示有效面積。則基于熱力學第一定律可以得出方程為

式中：下標b 和atm 分別代表氣囊和外界大氣；表示空氣定容比熱容；表示熱交換系數。結合理想氣體狀態方程=和微分形式消去溫度對時間的導數。又根據壓強表達式和運動學方程，得到空氣彈簧體積變化率和力學傳遞公式：

對氣囊與外界大氣溫度差、氣囊壓強與其速度耦合項和空氣懸架系統行程之間做了如下假設：

式中下標0 代表初始狀態。對空氣彈簧傳遞的力進行全微分，得到關于有效面積變化和壓強變化的兩部分對剛度的貢獻量：

將式（2）～式（4）進行傅里葉變換，并將懸架動行程的傅里葉變換()=()-()代入，則空氣彈簧氣體產生的動剛度如式（5）所示。

式（5）即為由內部高壓氣體產生的單腔膜式空氣彈簧動剛度公式，各部分具有明確的物理意義。表示由有效面積變化產生的剛度變化，基于實驗測得；是由高壓氣體產生的剛度；是內部氣體和氣囊與外界熱交換產生的等效阻尼。

1.2 橡膠Payne效應剛度方程推導

膜式空氣彈簧的氣囊為橡膠-簾線增強復合材料，在對其垂向剛度計算時主要考慮橡膠動剛度的振幅相關性，即動剛度隨振幅下降而急劇上升的Payne效應。為此，本文假設氣囊結構動剛度隨振幅的變化符合橡膠材料模量的動剛度隨應變的變化規律，假設橡膠材料所受的振蕩簡諧應變為

式中：為應變幅；為應變角速度。由于橡膠的黏彈性滯后效應，其復模量（動態模量）可以寫為

式中為滯后角。進一步，可以將橡膠材料復模量分解成實部和虛部：

式中：實部稱為儲能（存儲）模量，正比于每循環中單位材料所儲存的最大能量；虛部″為損耗模量，表示循環中單位材料由于剪切和摩擦產生的不可逆能量損耗和黏滯損耗的熱量。

填充橡膠的動態力學特性幅值相關性是由于填料網絡間的van der Waals 鍵的斷裂和重構引起的，且分別是應變幅的指數函數，Kraus假設每個動態循環內斷裂的van der Waals 鍵的總數正比于現存的van der Waals 鍵總數，網絡重構率正比于斷裂的鍵總數，材料處于動態平衡時斷裂和重構的速率相等。基于上述假設，則可以得到任意應變幅值下的動態損耗模量和存儲模量，這就是著名的橡膠動態模量Kraus模型：

式中：為特征應變（定值）；為與炭黑結構的分維數相關的常數；′和″為無窮大應變下對應的模量。本文的一個創新點是認為空氣彈簧動剛度的振幅非線性就是由于氣囊橡膠的Payne 效應引起的，并且符合式（9）的物理規律，與式（5）熱力學剛度公式結合，提出考慮空簧剛度振幅非線性和頻率變化的普適的動剛度模型，并設計系統的動力學實驗加以驗證。由于膜式空氣彈簧在進行示功實驗時其宏觀位移激勵（動行程）幅值并非氣囊的應變，假設氣囊的應變與位移激勵呈正比。進一步，結合橡膠材料的參數，大量實驗分析結果表明的值約為0.5，且與炭黑種類無關，考慮實際物理意義與后續計算、參數辨識和實際工程應用等方面，取=0.5，代入式（9），可得空氣彈簧氣囊結構儲能剛度和損耗剛度″與激勵振幅關系，將其簡化為

式中為特征振幅（定值）。基于前述模型，可得單腔膜式空氣彈簧的動剛度計算方法（包含氣體部分產生的動剛度和橡膠氣囊產生的動剛度）：

由此可見，膜式空氣彈簧的動剛度分為實部（彈性剛度部分）和虛部（滯回損耗部分）。其中實部由橡膠材料剛度、有效面積變化率和氣體等效剛度構成；虛部由橡膠材料滯回特性和固氣間熱交換產生。根據上述理論，可以得出膜式空氣彈簧等效力學模型，如圖2所示。

圖2 單腔膜式空氣彈簧等效力學模型

可以看出，單腔膜式空氣彈簧等效力學模型的并聯組成部分包括：有效面積變化產生的剛度、高壓氣體剛度與等效滯回阻尼串聯、由橡膠材料產生的與位移相關的儲能模量和損耗模量″。需要指出的是，橡膠材料的儲能模量可以看做等效彈簧，但是損耗模量不能等效為線性黏性阻尼。雖然其形式上是直接對滯回特性產生影響，但其不隨頻率發生變化，僅是振幅的函數。

下面給出實驗數據處理方法。對有效面積產生的剛度，參考式（5）理論公式，用最小二乘法進行實驗數據計算。如上所述，空氣彈簧由于滯回特性，其加載和卸載曲線不重合。假設其示功曲線如圖3所示，取空氣彈簧充放氣結束后的靜態工作點為基準點進行分析。

圖3 空氣彈簧（線性剛度）滯回曲線

根據滯回曲線的一般計算方法，可以列出關于實部和虛部的一般表達式為

式中：為滯回角；為滯回面積。

基于實驗值，通過式（5）和式（12）確定、k和動剛度實部與虛部，進而進行橡膠材料和熱交換等效阻尼的參數辨識。下面根據實驗進行上述參數的辨識并通過實驗值和理論值的比較，驗證本文提出的動剛度模型的合理性和正確性。

2 實驗與模型驗證

2.1 實驗臺搭建與實驗描述

為驗證本文中提出的動力學模型的合理性和準確性，本文采用國內某乘用車型后軸單腔膜式空氣彈簧搭建了Mechanical Testing &Simulation（MTS）示功實驗平臺和氣動系統。氣動系統采用?6 的高壓管，并連接了減壓閥和壓強傳感器（如圖4所示）；作動器采用MTS 試驗機液壓正弦激勵。利用減壓閥控制空氣彈簧內部氣體壓強并通過壓強傳感器讀取絕對壓強數值，調整完畢后對管長進行約束以減少由于管內氣體帶來的誤差。在有效面積隨高度變化的實驗中固定壓強為工作壓強，改變工作高度（氣囊上下端的距離，該距離為體積與有效面積的比值）進行工作高度范圍內等分數據采集。示功實驗中以空氣彈簧初始工作狀態（=0.23 m，=8 550 N）為初始狀態進行實驗分析。實驗中選取的振幅和頻率值如表1 所示，每個振幅下均進行所有頻率的實驗，每次實驗進行3 個周期激勵并取第3 組數據為實驗值進行數據分析。

圖4 實驗平臺與原理圖

表1 實驗振幅和頻率

示功實驗的初始狀態參數如表2所示。其中溫度、初始相對壓強、初始壓力由對應傳感器直接測得；有效面積由初始位置處壓力與相對壓強比值計算。

2.2 參數辨識和模型驗證

首先根據實驗數據，利用式（12）計算出動剛度的實部和虛部。接著基于實驗工況，利用式（5）和表2參數計算出氣體產生的剛度和阻尼。然后利用最小二乘法進行橡膠材料Payne 效應相關參數的辨識。理論計算中所取辨識的參數結果如表3所示。

表2 示功實驗初始狀態及相關參數

表3 參數辨識結果

后續進行氣體相關參數辨識。根據物理變化，氣體從低頻到中頻轉換過程為多變過程。結合式（11）和表2 相關參數，可知氣體熱交換等效阻尼對動剛度實部的影響非常小，故根據不同頻率下的動剛度實部平移關系，可以進行氣體剛度的識別。同理，最后根據動剛度虛部平移關系和最小二乘法對等效阻尼進行識別。

對動剛度的實部對比結果如圖5所示。從固定頻率激勵結果來看（單條曲線），低振幅下橡膠材料的動剛度實部增加尤其劇烈，即Payne 效應尤為顯著。不同激勵頻率下的曲線呈現平移趨勢，表明Payne 效應對頻率變化不敏感，無耦合，驗證了模型的準確性。從曲線簇隨頻率變化趨勢可以看出，氣體的等效阻尼對動剛度實部的影響會使其隨頻率增大而增大，且在1 Hz 激勵頻率以上差別不大，存在收斂特性。

圖5 動剛度實部對比結果

動剛度的虛部對比結果如圖6所示。從單條曲線來看，在固定頻率下由于橡膠材料的Payne 效應會使得動剛度虛部隨振幅的增大呈現先升高后平緩下降的趨勢。這一點從物理意義可以解釋為：當振幅極低時材料的Payne 效應不明顯，因為此時橡膠材料仍處于線彈性階段；隨著振幅增大，橡膠材料的彈塑性開始顯現，van der Waals 鍵斷裂程度迅速增大導致損耗模量的迅速上升。在超過一定振幅后每個動態循環時van der Waals 鍵破壞率趨于穩定，故呈現緩慢下降趨勢。

圖6 動剛度虛部對比結果

從曲線簇變化趨勢可以看出，隨著頻率增大，動剛度虛部急劇增大，到達峰值（頻率約為0.01 Hz時）后逐漸減小的趨勢。從物理意義角度解釋為：在極低激勵頻率下氣體呈現等溫過程變化，加載卸載曲線重合（準靜態）；在較高激勵頻率下氣體呈現絕熱變化，此時氣體與外界熱交換極不充分，能量損失極少，故也無熱交換造成的滯回特性。最后給出不同頻率下辨識的氣體剛度對應的多變指數和等效阻尼，如圖7 所示。其中多變指數由式（13）（源于式（5））和表2數據計算得出：

圖7 多變指數與等效阻尼辨識結果

可以看出：氣體剛度部分的等效多變指數隨著激勵頻率增大而增大，表明氣體從等溫過程向絕熱過程轉變；由熱交換產生的等效阻尼隨著頻率增大而減小，尤其在低頻下變化尤為劇烈。這一現象的物理意義可以解釋為：在極低頻下根據式（11）可知，氣體部分產生的動剛度趨向于由k+決定；在極高頻下由于熱交換不充分，故其動剛度仍趨向于由k+決定。但此時由于多變指數變化，導致實際動剛度增加。由氣體產生的滯回特性也可由類似分析得出結論：隨著頻率從零增加，滯回特性先增大后減小。這與Kind等的定性分析一致。

基于上述實驗和對比結果，引入氣囊對膜式空氣彈簧剛度貢獻的新評價指標，其定義為在激勵頻率和振幅下由橡膠材料產生的動剛度模占總剛度模的百分比：

此值直觀地反映了空氣彈簧橡膠氣囊對總剛度貢獻的大小，權且稱之氣囊的剛度貢獻率，對實際反映裝配空氣懸架系統的車輛在鋪裝路面上行駛的動態響應具有十分重要的作用，也可以直接作為評價氣囊質量和動態特性的重要指標。本文選用的空氣彈簧的氣囊對總剛度的貢獻率如圖8所示。

圖8 氣囊剛度貢獻率隨振幅和頻率的變化

可以看出，空氣彈簧氣囊對總剛度的貢獻率隨著振幅增加而明顯下降。根據表3 參數辨識結果也可知，當振幅進一步增大到無窮大時，該百分比將降低至1%以下。

3 結論

本文從物理機理出發，綜合考慮膜式空氣彈簧橡膠材料的Payne 效應、有效面積變化產生的剛度與氣體剛度和等效阻尼對最終實驗動剛度的影響。對實部和虛部分別進行參數辨識并從振幅和頻率兩個維度闡述了各因素對最終結果的影響，并給出了針對橡膠氣囊的膜式空氣彈簧新評價指標，結論如下。

（1）基于熱力學和橡膠材料Payne 效應，提出了一種可以反映空氣彈簧滯回特性解耦的動力學模型，明確各貢獻量的物理意義和數學表達。

（2）證明了由橡膠材料的Payne 效應引起的動剛度增大在小振幅下不可忽視，實驗和模型的吻合度驗證了本文中的動剛度模型的準確性。

（3）從振幅和頻率兩個維度給出了各貢獻量的變化趨勢的物理解釋。橡膠材料會使動剛度實部隨振幅增大而減小，虛部隨振幅增大呈現先急劇增大后逐漸減小的趨勢；氣體剛度和由熱交換產生的等效阻尼使動剛度實部隨頻率升高逐漸增大且在大于約1 Hz 后變化不大，呈現極限特性，虛部隨頻率升高先急劇增大后減小。

（4）提出了反映橡膠氣囊動剛度貢獻率評價指標，該值隨振幅增加明顯下降，橡膠氣囊在低振幅時產生的動剛度不可忽視。

本文提出的空氣彈簧動剛度模型可為膜式空氣彈簧的理論建模和正向開發提供指導。

附表1 正文中出現的參數及其定義