行波的旋轉矢量法和駐波的可視化*

周群益

(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)

肖桂英

(廣州理工學院機電工程學院 廣東 廣州 510540)

王培穎

(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)

周麗麗

(贛南醫學院醫學信息工程學院 江西 贛州 341000)

旋轉矢量法可以直觀地描述簡諧振動，但是并沒有文獻用于描述簡諧波．駐波是兩列振幅相等、頻率相同、傳播方向相反的簡諧波疊加的結果．有文獻用旋轉矢量法研究駐波的特征[1～4]，雖然說明了一些問題，但是用旋轉矢量法研究駐波較為困難，繪制的圖像也不夠具體形象．

有文獻研究了駐波的能量[5～12]，推導了能量密度公式和能流密度公式，但是沒有用圖像說明問題．還有文獻用MATLAB研究駐波的能量[13]，方法很好，若充分發揮MATLAB的可視化功能，則可進一步改進．

本文從簡諧振動公式推導了簡諧波的公式，用曲面說明簡諧波的分布規律．用振動的旋轉矢量法的動畫說明了簡諧波的傳播過程，用動畫的截圖說明了駐波的形成過程，用曲面表示了能量和能流密度的分布規律，用動畫的截圖說明了能流的方向與能量分布之間的關系．

1 簡諧振動和簡諧波的旋轉矢量法

1.1 波形曲面和曲線

如圖1所示，設一個質點在原點做簡諧振動，振幅為A，角速度為ω，初相為φ0．旋轉矢量A順時針旋轉，ω的方向垂直紙面向里．

圖1 簡諧振動的旋轉矢量圖

經過時間t，相位φ=ωt+φ0，位移為

x=Acosφ=Acos(ωt+φ0)

(1)

這是質點的運動方程，其周期為

(2)

設波沿著Or方向傳播，波速為u，則波長為

(3)

x=Acos[ω(t-t0)+φ0]=

(4)

x(t,r)=Acos(ωt-kr+φ0)

(5)

用周期和波長可以表示為

(6)

此式便于畫圖．

取周期T為時間t的單位，取波長λ為坐標單位，取振幅A為位移單位，則無量綱的波動方程為

cos[2π(t*-r*)+φ0]

(7)

利用MATLAB的surf指令可畫曲面，利用plot3指令可畫三維曲線[14]．

如圖2所示，取φ0=0，右行波的位移是波浪形的曲面．當r=0時，可得原點處質點的運動方程曲線，如實線所示；當t=0時，可得所有質點在初始時刻的波形曲線，如虛線所示．當r=2.5λ時，可得該處質點的運動方程曲線；當t=1.5T時，可得所有質點在該時刻的波形曲線．當r=2.5λ，t=1.5T時，質點的位移x=1A．

圖2 波動方程曲面

1.2 波的傳播的旋轉矢量動畫

利用MATLAB的計算和圖形功能，我們設計了一個程序，可演示旋轉矢量法與右行波傳播的動畫，見附錄[14]．

執行程序，初始時刻的旋轉矢量和波形曲線如圖3所示，每一點的旋轉矢量都在不同的tOx平行平面上，處于豎直或水平位置．

圖3 初始時刻的各點的旋轉矢量和波形曲線

按任意鍵(例如空格鍵或回車鍵)，旋轉矢量和波形曲線如圖4所示．所有矢量都旋轉了一個角度，每一條矢量線與兩條虛線組成一個直角三角形，矢量線在Ox軸上的投影就表示質點的位移，行波同時向右傳播了一定的距離．波的傳播方向與ω的方向相反．不斷按任意鍵，各點的直角三角形隨著矢量的旋轉而改變，行波不斷向右傳播．當矢量旋轉一周后，再按任意鍵，矢量就持續旋轉，行波持續右行，直到按ESC鍵為止．

圖4 某時刻各點的旋轉矢量和波形曲線

修改程序也可以用旋轉矢量法演示左行波的動畫，讀者不妨一試．

2 駐波的特點

2.1 駐波的位移

兩列振幅相等、頻率相同、傳播方向相反的波的方程為(取初相φ0= 0)

x1(t,r) =Acos(ωt-kr)

(8)

x2(t,r) =Acos(ωt+kr)

(9)

其中，x1(t,r)是右行波，x2(t,r)是左行波．行波的特點是包含因子(ωt±kr)．兩波疊加的結果為

x(t,r)=x1(t,r)+x2(t,r)=

2Acoskrcosωt

(10)

振幅為零，此處稱為波節．除了波節之外，其他各點做簡諧振動．當kr=nπ(n=0,±1,±2,…)時

振幅最大，即2A，此處稱為波腹．其他點的振幅介于零到2A之間．

取周期T為時間t的單位，取波長λ為坐標單位，取振幅A為位移單位，則無量綱的行波方程為

(11)

(12)

利用MATLAB的動畫功能，可演示左右行波傳播的動畫以及駐波形狀變化的動畫[14]．

圖5 右行波，左行波和駐波的截圖

2.2 駐波的能量和能量密度

設媒質是彈性均勻媒質，其質量體密度為ρ，在位置r處取一個體積元ΔV，其質量Δm=ρΔV．質元的速度為

(13)

質元的動能為

(14)

2ρA2ω2ΔVsin2krcos2ωt

(15)

對橫波則要將楊氏模量Y改為切變模量G，結果完全相同．質元的機械能為

ΔE=ΔEk+ΔEp=

2ρA2ω2ΔV(cos2krsin2ωt+sin2krcos2ωt)

利用半角公式可得

ΔE=ρA2ω2ΔV(1-cos 2krcos 2ωt)

(16)

質元的動能、勢量和機械能都是關于坐標和時間的二元函數，任何一個質元的能量都隨時間做周期性的變化，其圓頻率是駐波圓頻率的2倍．由于能量公式中并不包括因子(ωt±kr)，所以能量并不隨波傳播．

在一個周期內，質元動能的平均值為

(17)

質元勢能的平均值為

(18)

機械能的平均值為

(19)

可見，一個質元的動能和勢能的平均值與坐標有關，平均動能大的質元，其平均勢能一定小，但是機械能是常數．

在波節處，coskr=0，sinkr=±1，質元的動能為ΔEk=0，勢能為

ΔEp=2ρA2ω2ΔVcos2ωt

(20)

這是因為在波節處的質元靜止而相對形變會隨著時間發生改變．

在波腹處，sinkr=0，coskr=±1，質元的勢能為ΔEp=0，動能為

ΔEk=2ρA2ω2ΔVsin2ωt

(21)

這是因為在波腹處的質元不發生相對形變而速度隨著時間發生改變．

單位體積內的能量稱為能量密度，動能、勢能和機械能的能量密度分別用wk，wp和w表示．機械能的能量密度為

(22)

能量密度也是關于坐標和時間的二元函數．在垂直于Or方向取一個截面S，在r處取一個體積元dV=Sdr，在波節與波腹之間的機械能為

(23)

可見，波節與波腹之間的機械能是恒定的，不隨時間改變．

取周期T為時間單位，取波長λ為坐標單位，取最大能量ΔEm=2ρA2ω2ΔV為能量單位，就能將動能和勢能無量綱化，兩者之和就是無量綱的機械能，簡稱能量．

取最大能量密度wm=2ρA2ω2作為能量密度的單位，則無量綱的能量密度就等于無量綱的能量．

圖6 駐波的動能和動能密度

圖7 駐波質元的勢能和勢能密度

圖8 駐波質元的機械能和機械能密度

2.3 駐波的能流密度

對于右行波來說，一個質元的動能與勢能相等，可以證明其能量(機械能)為

ΔE1=ρA2ω2ΔVsin2(ωt-kr)

(24)

單位體積內的能量就是能量密度．因此，右行波的能量密度為

(25)

沿著波的傳播方向單位時間內穿過單位面積的能量稱為能流密度，其大小等于波速與能量密度之積．右行波的能流密度為

I1=uw1=uρA2ω2sin2(ωt-kr)

(26)

同理，左行波的能流密度為

I2=uw2=uρA2ω2sin2(ωt+kr)

(27)

駐波的能流密度為

I=I1-I2=

uρA2ω2[sin2(ωt-kr)-sin2(ωt+kr)]

利用平方差公式，展開上式再化簡，可得

I=uρA2ω2sin 2krsin 2ωt

(28)

(29)

說明駐波并不傳播能量．

取周期T為時間單位，取波長λ為坐標單位，取最大能流密度Im為能流密度單位，就能將右行波和左行波以及駐波的能流密度無量綱化．

利用左右行波和駐波完全相同的方法，可以演示3個能流密度的動畫．

圖9 右行波、左行波和駐波的能流密度截圖

3 結束語

行波和駐波是機械波中的兩個典型問題，波的傳播和波形改變都可以用圖形和動畫表示．行波不但可以用曲面表示，還可以用旋轉矢量法演示．在波節上質元的動能為零，勢能隨時間做周期性變化；在波腹上質元的勢能為零，動能隨時間做周期性變化．能量可以在相鄰波節和波腹之間周期性流動，但不會傳播．當能量向波節或波腹流動時，波節或波腹的能量就會增加，反之則減少．

學科交叉是學科發展的一個重要方向．MATLAB程序設計是一門學科，系統掌握這門知識有助于我們研究物理問題，也有助于物理教學．本文附錄中的程序可供參考，相信有助于讀者的教學和研究．