從培養物理核心素養的角度談一類變壓器習題的改進

陳思澹

(寧波市效實中學 浙江 寧波 315012)

1 問題的提出

在人教版新版教材《物理(選擇性必修二)》第三章“交變電流”的單元課后練習中，出現了這樣一道題目(B組第3題)：

【例1】如圖1所示，理想變壓器原、副線圈的匝數比為3∶1，在原、副線圈的回路中分別接有阻值相同的電阻，原線圈一側接在電壓為220 V的正弦交流電源上，求:

圖1 新教材“交變電流”單元課后練習B組第3題

(1)副線圈回路中電阻兩端的電壓;

(2)原、副線圈回路中電阻消耗的功率之比．

參考解答：

(1)副線圈電流

原線圈電流

與原線圈串聯的電阻分壓

由變壓器原、副線圈電壓與匝數比關系得原線圈分壓為

U1=3U2

根據原線圈回路電路規律

U1+UR=220 V

解得副線圈電壓U2=66 V，即副線圈回路中電阻兩端的電壓U=66 V.

(2)原線圈回路中電阻功率

副線圈回路中電阻功率

結合(1)中結論，原、副線圈回路中電阻消耗的功率之比

這是一道變壓器原線圈含阻的題目，教師們感到困惑的問題有：

(1)電感線圈會如何影響交變電流電壓和電流的相位；

(2)電源與電感的電壓峰值是否會存在不同步的情況；

(3)如何利用基本電路定律建立方程組，求解原線圈回路中電阻和電感的分壓配比；

(4)參考解答中的電路規律與直流電形式無異，如此簡單處理是否符合實際？

2 同類問題的整合與分析

關于變壓器原線圈含阻類習題，不僅在平時的練習中經常遇到，近年在高考中也多次出現，例如2015年全國高考新課標卷Ⅰ理綜第16題和2016年全國卷Ⅰ理綜第16題，類似的題設在2020年全國卷Ⅲ理綜第20題中也有所體現．

【例2】(2015年高考全國卷理綜試題新課標卷Ⅰ第16題)一理想變壓器原、副線圈的匝數比為3∶1，在原、副線圈的回路中分別接有阻值相同的電阻，原線圈一側接在電壓為220 V的正弦交流電源上，如圖2所示．設副線圈回路中電阻兩端的電壓為U，原、副線圈回路中電阻消耗的功率的比值為k，則( )

圖2 2015年高考全國卷試題新課標卷Ⅰ第16題

【例3】(2016年高考全國卷Ⅰ理綜試題第16題)一含有理想變壓器的電路如圖3所示，圖中電阻R1，R2，R3的阻值分別為3 Ω，1 Ω，4 Ω，○A為理想交流電流表，U為正弦交流電壓源，輸出電壓的有效值恒定．當開關S斷開時，電流表的示數為I；當S閉合時，電流表的示數為4I．該變壓器原、副線圈匝數比為( )

圖3 2016年高考全國卷Ⅰ理綜試題第16題

A.2 B.3

C.4 D.5

【例4】(2020年高考全國卷Ⅲ理綜試題第20題)在圖4(a)所示的交流電路中，電源電壓的有效值為220 V，理想變壓器原、副線圈的匝數比為10∶1，R1,R2,R3均為固定電阻，R2=10 Ω，R3=20 Ω，各電表均為理想電表．已知電阻R2中電流i2隨時間t變化的正弦曲線圖如圖4(b)所示，下列說法正確的是( )

圖4 2020年高考全國卷Ⅲ理綜試題第20題

A.所用交流電的頻率為50 Hz

B.電壓表的示數為100 V

C.電流表的示數為1.0 A

D.變壓器傳輸的電功率為15.0 W

針對變壓器原線圈中含阻的問題，集中爭議在于是否需考慮RL電路中電壓和電流的相位差對原線圈電路電壓分配的影響，簡而言之，即原線圈與電源的電壓是否同相．文獻[1]和[2]中，作者認為這類問題的多種解法值得商榷；文獻[3～7]中，作者通過各種方式證明了此類問題科學性的滿足條件．

結合電磁學、電工學的知識，基本就題設的科學性達成了共識，變壓器的原線圈與電源電壓無相位差．具體理論推導本文不加贅述，僅對文獻中的分析過程進行綜述總結，如表1所示．

表1 對文獻的總結

以上證明需要嚴謹的推導和大學課程知識儲備，為便于高中學生理解，筆者從能量守恒的角度提出一個簡要的定量說明.

首先需簡要補充說明大學階段電工學中的基本知識[8,9].

對于電阻、電感與電容元件串聯的交流電路，阻抗的輻角

即電流與電壓之間的相位差.阻抗模

有功功率

P=UIcosφ

無功功率

Q=UIsinφ

視在功率

S=UI

功率三角形、阻抗三角形、電壓三角形可以如圖5所示，三者模的值的差異實質上與交流電的相位直接相關．

圖5 功率、阻抗、電壓三角形

根據理想變壓器的特點，既不消耗能量，也不儲存能量(屬于高中知識，由理想變壓器無磁損、無銅損、無鐵損的條件得)，在任一時刻進入理想變壓器中的功率等于零，即從原線圈進入理想變壓器的功率，全部傳輸到副線圈的負載中．如果負載為純電阻，圖5中的Q應趨于零，因此可認為原線圈中視在功率與有功功率相等，即原線圈中的電壓與電流不存在相位差．但如果負載中含電感、電容器等元件，由于這類元件的儲能特性，整個輸電回路的電能傳輸過程中無功功率不再為零，因而原線圈中的電壓與電流不再同相．

再進一步擴展，遠距離輸電問題的部分題型也可被歸類為原線圈含阻問題，即在考慮降壓變壓器的原、副線圈制約關系及輸電回路的電壓分配關系時，本質也屬于此類問題．而遠距離輸電問題向來是一個重要的考查點，一般來說也是將用戶端負載作純電阻處理，例如下題中就明確考查了輸電線上等效電阻與降壓變壓器原線圈電阻、升壓變壓器副線圈電阻的電壓關系．

【例5】(2020年7月浙江卷第11題)如圖6所示，某小型水電站發電機的輸出功率P=100 kW，發電機的電壓U1=250 V，經變壓器升壓后向遠處輸電，輸電線總電阻R線=8 Ω，在用戶端用降壓變壓器把電壓降為U4=220 V．已知輸電線上損失的功率P線=5 kW，假設兩個變壓器均是理想變壓器，下列說法正確的是( )

圖6 2020年7月浙江卷第11題

A.發電機輸出的電流I1=40 A

B.輸電線上的電流I線=625 A

C.降壓變壓器的匝數比n3∶n4=190∶11

D.用戶得到的電流I4=455 A

從科學性角度來講，當滿足變壓器副線圈負載為純電阻的條件時，原線圈串接電阻后，電流與電壓并無相位差，很多學生按照直流電路來處理電壓分配并無不妥．但在物理核心素養發展的課程目標的構建和新教材推行的現下，這類問題在教材中出現，其導向性是否合理，有待討論；同時作為高考題，其區分度和效度也值得探討．

3 從培養核心素養角度出發的思考

關于這類題目的爭議原因，可以總結為高中與大學物理知識體系的差異．因高中階段學生尚未學習電感、電容影響交變電壓、電流相位的知識，如果沒有另外說明，從發展規律而言，學生很自然地會利用直流電的電路規律來求解，而正好因為這類題目在理想化情況下相位因素不影響結果，所以學生的求解會碰巧使得計算結果正確．但筆者認為，從物理核心素養的培養角度而言，教材中安排此類習題似有不妥，理由如下.

(1)此類問題雖可幫助學生鞏固變壓器的基本構造和工作原理，但實則不利于絕大多數學生形成完整的交變電流的物理觀念．新教材在“交變電流”這一章節并未專門有針對“相位”的教學，而其作為交流電與直流電對比的一個明顯差異性概念，在學生形成交變電流概念時是不可被忽視的，教師在授課時也或多或少會提及，但在本題的電路基本規律應用過程中，沒有體現交流電與直流電的重大差異．

同時，從能量觀的角度，交流電與直流電在功率的計算方法上亦存在差異，若在其他情境中用直流電的結論解決交流電的功率問題，也可能會出現不相匹配的情況(原因在于交流電有有功功率和無功功率之分，而直流電則沒有)．雖然前文已說明能量角度是一個證明思路，但對高中生而言已屬于拓展內容了．

(2)從科學思維的角度[10]，此題意在考查學生理想模型構建的能力，電路的模型構建看似沒有問題，但對于沒有相關的電磁學知識儲備的學生而言，他們構建的模型是不完整且不嚴謹的，自然也無法基于此完成進一步的科學探究與推理的環節(即無法從理論上探究交流電相位關系且證明此題不體現相位差影響，更不可能有機會參與定量的實驗探究)，所以此類問題科學思維的訓練維度較為單一，題目的可替代性較強.

(3)最重要的一點，絕大部分學生在解決這類問題的過程當中，雖然得到了正確的答案，在考試中獲得了分數，但本質上可認為他們是用了一個不完全相符的模型(直流電模型)，得到了個結論恰好一致的答案，于是便不會再繼續深究，這一點在學生科學態度與責任的培養上亦是欠妥，會陷入“為做題而練習”的導向．

(4)基于前面3點的分析，學生面對這個問題可以分為4類：

1)缺乏基本模型構建能力，不能熟練分析基本電路，無法完成求解.

2)知道變壓器的原理，會分析電路，但沒考慮到相位問題.

3)接觸過一定的大學先修知識，考慮到了交流電的相位問題，但不會證明，覺得可能和直流電情況不同.

4)有扎實的大學先修知識基礎，能夠完整證明或論證.

從高考的要求和高考題的效度分析，應該能夠對不同掌握程度的學生加以區分，尤其是以上4個層次的學生在物理核心素養能力方面有著明顯差異，但這道題能夠得分的卻可能是2)、4)兩類學生，2)類學生基于不嚴謹的思維前提獲得了分數(當然這個不能怪他們)；3)類學生雖牢固掌握了高中知識且具備批判性思維，但極有可能因非考查內容的知識儲備不足導致失分，但實際上他比1)、2)類學生的認知更為深刻；4)類學生雖能得分，卻可能將更多時間花在證明非重點考查內容上．

因此，從培養物理核心素養的角度考慮，這類問題作為平日里電路的基本規律以及變壓器的習題，是可以達到練習的目的的；但真正要全面而科學地分析這個問題，完成合理而充分的分析探究，對于高中生來說是要求過高而達不到的；且作為考題無法根據課程目標有效考查學生的物理核心素養．所以若是考慮到要編寫入教材和正式考試中，或許可以有更優的選擇．

4 淺談改進思路

對于這類問題，從考查要點來看，主要為變壓器的規律和電路綜合分析兩個考點；從考查的思維角度而言，需要學生具備邏輯分析能力和知識綜合運用能力[11,12]．結合教材和課程標準，考慮高中生的思維水平和知識儲備，從保持考查點不變、倡導科學嚴謹的態度，避免出現 “誤打誤撞做對，多思多想犯錯”的情況的角度出發，筆者提出以下幾個改進方向供參考：

(1)將電路綜合分析的考查重點置于副線圈回路，只要副線圈電路中是純電阻負載，不論原線圈回路含阻情況如何，若只考查構建由將副線圈回路的電路模型，可以規避掉電路分析中的相位問題，科學性也沒有問題．

(2)若設定原線圈含阻的前提，且必須要考查原線圈中的電路規律，則可以考慮電阻與原線圈并聯的情況，因并聯電壓特點，通過電阻和原線圈的電壓相等，例如下面這道參考習題.

圖7 參考習題

(3)上題的另一個思路，結合對能量觀的核心素養要求，重點考查功率和能量問題，選取部分電路的功率，尤其是純電阻負載，可以規避對交變電流問題中視在功率、有功功率、無功功率的考慮．可以考慮引入二極管在副線圈回路中，考查有效值、焦耳熱、功率之間的聯系，增加一點題目的變化性與難度，提升區分度．