被誤用的“平均”

羅爾夫·多貝里

假設你正和另外四十九名乘客一起乘坐一輛公交車，全德國最胖的人在某一站上了車。問題是：公交車上乘客的平均體重將會增加多少個百分比？4%或5%，大概是這個數值。

假設你還在同一輛公交車上，全德國最富有的人卡爾·阿爾布雷希特上了車，那么這輛公交車上的人均財產會增加多少個百分比呢？4%或5%？遠遠不止！

讓我們好好計算一下第二個假設。假設這五十名隨機選擇的乘客每人有五萬四千歐元的財產，這時卡爾·阿爾布雷希特的加入就使總財產增加了將近二百五十億歐元，公交車上的人均財產變成了五億，提高了一萬倍。一個單一的特殊個體導致了整個局面的改變。在第二個假設中，“平均”這個概念已經沒有了意義。

納西姆·塔勒布曾警告世人：“不要試圖去過一條平均一米深的河流。”這和我舉公交車的例子是一個意思。一條河流可以在很大的范圍內只有幾厘米深，但在中心位置有十米深，人就會被淹死。總使用平均值來考慮事情很可能是有害的，因為平均值掩蓋了事情背后的真實情況。

還有一個例子是夏日里紫外線的平均輻射強度。如果你整個夏天都在被遮住光線的辦公室度過，然后飛到馬略卡島，并且在那里不做任何防護措施地曬太陽，那你的健康肯定會出現問題——盡管你受到的平均紫外線輻射強度并不比那些定期進行戶外活動的人高。

以上不是什么新的認識，這里面的邏輯是可以理解的。新的認識是：在一個復雜的世界里，分布情況正在變得越來越不規律。或者我們可以回到那個有關公交車的假設上。在一個復雜的世界里，實際的分布情況更接近第二個假設，因此用平均值來進行解釋就越來越不合適。平均一個網站有多少訪客？沒有平均情況下的網站，只有很少的網站能吸引絕大部分訪客;而剩下的網站，可以說有無數個，只有很少的訪客。數學家將這種情況稱之為“冪律分布”。一旦有極為特殊的個體在控制分布情況，那么平均的概念就沒有意義。

什么是一個公司的平均規模？什么是一座城市的平均居民人數？什么是一場戰爭的平均規模（是戰爭人數還是戰爭天數）？什么是DAX（德國重要的股票指數）每日的平均變化？

建筑項目的平均超支是多少？一本書的平均版次是多少？一次龍卷風造成的平均損失是多少？一位銀行家獲得的平均紅利是多少？一次市場營銷活動的平均成功率有多少？電影演員們的平均收入是多少？以上這些，人們當然都可以計算出來，但卻是沒有意義的。在這些例子中，分布情況都與冪律分布有關。用最后一個例子說明一下。有小部分演員每年收入超過千萬歐元，但也有成千上萬的演員僅僅能維持溫飽。如果你因為電影演員的平均收入看起來很可觀而建議你的子女去當演員，那你最好還是再考慮一下。

【原載《讀者》】

插圖 / 有些平均 / 佚 名