一類二重飽和可逆生化反應擴散模型的Hopf 分支和Turing 不穩定性

郭改慧, 郭飛燕, 劉曉慧

(陜西科技大學數學與數據科學學院，西安 710021)

0 引言

生命進行的條件是時時刻刻都發生著生化反應，研究生化反應是探究生物體內在機理的重要手段。生化反應擴散模型是一類描述生物化學反應中擴散現象的數學模型，不僅可從空間和時間兩個方面解釋復雜的實驗現象，還可預測反應物的變化趨勢，為實際生產提供理論依據。

本文考慮一類具有二重飽和度的四分子可逆生化反應系統，其化學反應過程如下

相應的數學模型為

其中A、U為反應物，V不僅是反應物還是產物，O為某種惰性產物，[A]、[U]、[V]分別表示A、U、V的濃度，K1、K2、K?2、Km表示反應速率，Vm表示飽和定律的強度。令

則系統(1)無量綱化為

其中a、b、c、d均為正常數。基于系統(2)的實際意義，假設u、v均具有非負初始條件。

對系統(2)，文獻[?]應用微分方程定性理論，研究了其極限環的存在性、不存在性和惟一性。文獻[?]研究了一類具有米氏飽和反應速率的可逆生化反應模型，討論了極限環的存在性、不存在性和惟一性。對可逆生化反應模型的研究，目前大多關注常微分系統的極限環問題，對帶擴散項的偏微分系統討論較少。

對單個微分方程而言，擴散會隨時間的變化使得最終的解趨于一個均衡的狀態，但對方程組而言，反應和擴散的共同作用可能導致完全不同的結果。1952 年，英國數學家Turing 發現反應擴散系統內在的擴散特性會導致穩定的狀態變得不穩定[?]，即Turing 不穩定性。近年來有大量學者關注化學、生物學和物理學等領域物質相互作用關系，并基于反應擴散模型研究系統的Turing 不穩定，見文獻[?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?]。文獻[?]針對一類具有擴散的Lengyel-Epstein 模型，建立了常微分系統和擴散系統Hopf 分支的存在性、方向和穩定性。更多關于Hopf 分支的研究，有興趣的讀者可參見文獻[?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?]及其中的參考文獻。

本文主要針對系統(2)，首先給出常微分系統Hopf 分支的存在性和穩定性，然后對偏微分系統建立穩定性分析，給出由擴散引起的Turing 不穩定性和Hopf 分支的存在性及其穩定性。

1 常微分系統的穩定性和Hopf 分支

本節主要針對系統(2)，給出正平衡點的穩定性和Hopf 分支的存在性及其穩定性。

當d>a時，系統(2)存在惟一正平衡點(u?,v?)，其中

系統(2)在(u?,v?)處的雅可比矩陣為

顯然A<0, W>0。注意到

如果T> 0，那么正平衡點(u?,v?)不穩定；如果T< 0，那么正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定。

假設條件

成立。令

以下均假設條件(H)成立。

定理1 設d>a，則：

(i) 若0

(ii) 若c>cH，則系統(2)的惟一正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定；

(iii) 若c=cH，則系統(2)在正平衡點(u?,v?)處產生Hopf 分支，且該Hopf 分支為次臨界方向，周期閉軌漸近穩定。

證明 (i) 當0 0，又因D> 0，此時J存在具有正實部的特征值，正平衡點(u?,v?)不穩定；

(ii) 當c>cH時，T< 0 又因D> 0，此時J的特征值均具有負實部，正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定；

(iii) 當c=cH時，J存在一對純虛特征根。令λ=α(c)±iβ(c)為J在c=cH附近的一對共軛復特征根，其中

經計算

將系統(3)泰勒展開為

其中

這里

作變換

其中

當c=cH時

將變換代入系統(4)得

其中

經計算可得G1(u,v,c)和G2(u,v,c)在(0,0,cH)處的各階偏導數為

下面通過判斷q(cH)的符號給出周期解的方向和穩定性[?,?]，其中

由于d>a，將各階偏導數代入計算得

由于α′(cH)< 0，根據Poincar′e-Andronov-Hopf 分支定理[?]可知，系統(2)在正平衡點(u?,v?)處產生Hopf 分支，且該Hopf 分支為次臨界方向，周期閉軌漸近穩定。

2 反應擴散系統的Turing 不穩定性和Hopf 分支

本節在一維空間(0,π)上討論具有二重飽和度的四分子可逆生化反應擴散系統

其中d1、d2分別代表兩種反應物的擴散系數，均為正常數，?為拉普拉斯算子。

定義實Sobolev 空間

并且定義X的復延拓空間XC=X ⊕iX={x1+ix2|x1,x2∈X}。

系統(5)在(u?,v?)處的線性化算子為

L的所有特征值可由Lk的特征值給出，其中

這里λk=k2(k=0,1,2,···)為??在齊次Neumann 邊界條件下的特征值，滿足

設Lk的特征方程為

其中

注意到二次函數

的判別式為

因此f(s)=0 存在兩個實根

定理2 設d>a。

(i) 當0

存在兩個正實根

其中

從而對所有的d1>0，有

由上述分析可得如下結論。

定理3 設d>a。當cH

則對固定的d2>0 和所有的d1>0，系統(5)的正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定。

證明 如果(6)式成立，那么P1∩P2= ?。此時，對所有的k ∈N, Dk>0 且Tk<0，故系統(5)的正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定。

固定d1且令d2→0，則

因此，存在?d>0，使得當0

定理4 設d>a且cH 0，存在?d> 0，使得當0

定理5 設d>a。令

證明 如果c=cH，那么T0= 0 且D0> 0。由于λk> 0(k ≥1)且d1, d2> 0，于是對所有的k ≥1，有Tk(cH)<0。因為

如果

那么分支是超臨界的(或次臨界的)。另外，若L的所有其它特征值都有負實部且Re(b1(cH))<0(>0)，則分支周期解是穩定的(不穩定的)。

設L?為線性化算子L的伴隨算子，定義為

當k=0 時，有

由于α′(cH)<0，因此該Hopf 分支的方向是次臨界的，且由該Hopf 分支產生的周期解漸近穩定。

3 數值模擬

本節利用Matlab 軟件，給出具體數值實例，驗證補充理論分析結果。

對常微分系統(2)，取a= 1, b= 1, d= 2，則cH= 1。當c= 1.2>cH時，T<0，由定理1(ii)可知正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定，見圖1；取c= 0.9

圖1 參數c=1.2>cH 時，系統(2)正平衡點(u?,v?)漸近穩定

圖2 參數c=0.9

對偏微分系統(5)，參數a、b、d取常微分系統中對應的值，則cH= 1。當c=1.5 時，s1= 0.05。如果d1= 2, d2= 1，那么d1、d2滿足條件d2/d1>s1，由定理2 可知系統(5)的正平衡點(u?,v?)局部漸近穩定，見圖3。若取d1=1, d2=0.045，d1、d2滿足條件0

圖3 參數d1 =2, d2 =1 時，系統(5)正平衡點(u?,v?)漸近穩定

圖4 參數d1 =1, d2 =0.045 時，系統(5)正平衡點(u?,v?)漸近穩定

若取d1= 1, d2= 0.005，則d1、d2滿足條件0

圖5 參數d1 =1, d2 =0.005 時，系統(5)產生非常數穩態分支

圖6 參數c=0.9, d1 =2, d2 =1 時，系統(5)產生穩定的齊次Hopf 分支

4 小結

本文針對具有齊次Neumann 邊界條件的一類四分子飽和可逆生化反應擴散模型，首先分析了該模型所對應的常微分系統正平衡點的局部穩定性和Hopf 分支的存在性及穩定性。然后討論了相應擴散系統正平衡點的穩定性和Turing 不穩定性以及Hopf 分支的存在性和穩定性。特別對擴散系統，當0s1時，擴散系統的正平衡點局部漸近穩定；當0