關于相依隨機陣列的一類強偏差定理

楊珊珊, 胡 萍

(安徽工業大學數理科學與工程學院，馬鞍山 243002)

0 引言

二十世紀九十年代，劉文[1]教授在研究實數展式的性質時，給出了經典的Borel 強大數定律的一種分析證明。其證明的基本思路是用區間分割法構造[0,1)區間上的單調函數，由Lebesgue 關于單調函數幾乎處處存在有限導數獲得一個幾乎處處成立的不等式，最后利用分析中的極限性質給出強大數定律的一個分析證明。隨著研究的不斷深入，劉文[2]及其合作者借助網微分法、鞅、Borel-Cantelli 引理等強有力的工具，通過構造帶一個小參數的似然比得到了一系列用不等式表示的強極限定理(亦稱強偏差定理)，它是經典強大數定理的一個自然推廣。隨后，楊衛國等不斷發展這種獨特的方法，獲得了非齊次馬氏鏈以及樹指標馬氏鏈的強大數定律，離散信源的Shannon-MecMillian 漸近均分性定理以及隨機序列的無規則性定理等有意義的結果，詳情請參閱文獻[2]。

在統計應用中，考慮隨機陣列的類型往往是非常必要的。許多學者做了大量的相關研究，取得了豐碩的成果，例如：Hu 和Taylor[10]得到了行獨立隨機陣列的一類Chung 型強大數定律，并給出了Bootstrap 均值和方差一致性的有趣應用。Kuczmaszewska[11]研究了Banach 空間中行獨立隨機元陣列的弱與強大數定律的等價性，沈燕等[12]在不需要同分布的假定下，研究了NOD 隨機陣列加權和的完全收斂性，給出完全收斂性的一個充分條件，推廣了NA 序列和NOD 序列的已知結論。

汪忠志和楊衛國在[13]中首次引入了滑動似然比等概念，通過構造帶一個參數的滑動似然比，建立了相依隨機序列滑動平均的一類強偏差定理。運用該方法，他們獲得了一系列有意義的結果。例如，在文獻[14]中利用隨機受控的概念，給出任意隨機序列延遲和的一類強極限定理，并且在文獻[15—16]中分別討論了非齊次馬氏鏈的強極限與強遍歷定理。受上述工作的啟發，本文中，我們利用截尾技術，在Chung 形式的條件下可以將該方法推廣到一類相依隨機變量陣列的強偏差定理的情形。

1 基本概念與引理

設{Xni,vn ≤i ≤un}n∈N是定義在概率空間(?,F)上的隨機陣列，其中{(vn,un),vn?∞,un<+∞}n∈N。令{Xni,vn ≤i ≤un}n∈N的聯合概率函數為

我們稱之為參考乘積概率函數。

定義1 令

并稱之為隨機陣列{Xni,vn ≤i ≤un}n∈N關于測度μ相對于參考測度～μ的似然比。

定義2 設{σn}n∈N是一列單調遞增的正數序列。令證明 注意到以概率1 只可能發生有限次，因此

2 主要結論

由Borel-Cantelli 引理得

假設s ?=0，令

易知EμΛn(s,ω)=1，由引理1，有

注意到

故有

由(4)式和(18)式，有

根據(7)式，有

由(19)式，有

由(8)式和(20)式，得

由(21)式及不等式logx ≤x ?1(x>0)，得

由(18)式和(22)式，得

令s>0 易知

由(13)式、(17)式和(23)式，得

(11)式成立，顯然β(x,y)≥0。類似地，在(23)式中令s<0，有

即

(10)式成立，且β(x,y)≤0，易知(15)式和(16)式成立，定理1 證畢。

推論1 在定理1 的條件下，如果c=0 或=0, μ—a.s.，則

證明 因為α(x,0) =β(x,0) = 0 且α(0,y) =β(0,y) = 0，如果c= 0 或=0, μ—a.s.，由定理1 得證。

則

由(17)式知第一部分幾乎處處收斂到0。下面來估計第二部分。類似于定理1 的證明，注意到

其中

由(27)式和(30)式，有

結合這三部分的證明，定理2 證畢。

下面討論隨機序列一致有界的情形，不失一般性，以下總假設對所有的n ∈N, vn ≤i ≤un，恒有|Xni|≤1。

其中M是滿足不等式ex ?1?x ≤Mx2,|x|≤2 的最小值。

證明 令t=±1，設

定義

則定理1 可以改寫成

因此

由(34)式及不等式logx ≤x ?1(x>0)，有

由(33)式和(35)式，得

令t=±1，由(35)式，可得