“串聯”“并聯”法在初中數學相似三角形試題命制中的應用

一道數學試題之所以能夠同時考查多個知識，是因為所考查的數學知識之間存在著內在邏輯聯系，這種內在邏輯聯系為數學試題的命制提供了多樣的可能.由于數學知識之間的內在邏輯聯系類似于物理學中的“串聯”“并聯”電路，故本文將基于這種理解，提出“串聯”“并聯”命題方法，并借助一道相似三角形試題的命制過程闡釋這種命題方法.

1 數學知識的“串聯”與“并聯”

數學知識包括定理、公式、法則、定義、公理等，這些可以統稱為數學命題[1]，人教版初中七年級下冊教材指出命題由題設與結論兩個部分組成，通過題設與結論的組合，銜接形成具備邏輯性的判斷語句，因此數學知識可以表述為包含題設與結論的語句.當數學試題考查單一知識點或多個知識點時，實際上就是考查題設與結論的邏輯聯系，而這種邏輯聯系從其銜接結構來看，類似于物理電路組成方式中的“串聯”“并聯”，

在電路中，串聯只有一條路徑，所有的電子元件首尾依次連接.當數學知識發生“串聯”時，所有的題設與結論首尾相連，構成一條邏輯推導思路.單一知識由單個題設推導出結論，形成“串聯”;當一個數學知識的結論可以作為另外一個數學知識的題設時，那么這兩個知識就形成了“串聯”;當題設推導出結論，結論又作為新的題設推導出結論，如此反復，從而實現多個數學知識的“串聯”.

在電路中，并聯電路有多條路徑，最后匯總到一條主路徑，當數學知識發生“并聯”時，多個題設或結論組合作為題設，推導出結論.單一知識由多個題設共同推導出結論，形成“并聯”;多個知識的結論共同作為新的題設推導出結論，形成“并聯”.

數學試題在命制過程中，“串聯”與“并聯”方法可同時使用，二者并不矛盾，因為兩種方法本質上均是基于題設與結論的邏輯聯系.

2 數學試題命制基本流程

2.1 選擇知識內容

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱為課標）指出，初中數學內容分為數與代數，圖形與幾何，統計與概率，綜合與實踐四個部分.

2.2 確定考核目標及知識點數量

根據初中數學學業考試的相關要求，結合試題考核難度要求，并依托數學知識點之間的內在聯系，即數學知識點題設與結論之間的聯系，確定可參與考核的知識點及數量.

2.3 單一知識點的“聯前”整理

在對多個知識點進行“串聯”或“并聯”之前，先對每一個知識點的側重程度、顯隱性、正逆向、表征方式進行處理.

（1）明確知識點側重點

根據課標中課程內容的水平要求，確定主考知識點、次考知識點;

（2）明確知識點顯隱性

根據課標中課程內容的水平要求，確定知識點題設或結論的顯隱性程度.在隱性程度的提升方面，為使得試題所給定條件抽象化、形式化，解題需多步驟進行[2]，可對題設或結論采取隱藏，調換、等價轉化表述、多次“串聯”或“并聯”銜接生成、添加實際背景等方法.

（3）明確知識點正逆呈現方向

根據課標中課程內容的水平要求，確定知識點正逆呈現方向，明確題設與結論.初中數學教材給出的知識點一般視為知識的正向呈現，如果調換題設與結論就視為該知識點的逆向呈現，比如人教版七年級下冊數學教材中先給出平行線的判定方法，可視為知識點的正向呈現，如果將其題設與結論調換，也就是平行線的性質就可視為知識點的逆向呈現，一般而言，逆向呈現的知識點在難度上以及隱性程度上比正向呈現的知識點大，因此可通過調換題設與結論來提升知識點的隱性程度.

（4）選擇知識點表征方式

數學試題可通過文字、符號、圖象三種語言來表征.

（i）文字表征

數學概念、性質、公理、定理、判定方法、命題等通常以文字形式呈現，在試題命制中，可將知識點的題設或結論使用文字進行表述.

（ii）符號表征 常見于數學公式、性質、定義等，在試題命制過程中，可將題設或結論借助符號來表示.

（iii）圖象表征

數學知識點以表格、圖象、幾何圖形、平面直角坐標、統計圖等方式呈現，常見于函數模塊、幾何模塊、統計與概率模塊等;在試題命制過程中，可將題設或結論以圖表形式來表達.

（iv）對數學知識點進行“串聯”“并聯”銜接

根據知識點題設與結論之間的內在邏輯聯系，確定數學知識點的出場次序，明確知識點“串聯”或“并聯”銜接結構.

3 試題生成范例

3.1選擇知識內容 考查的知識內容為數與代數中的二次函數、圖形與幾何中的等邊三角形和相似三角形;

明確知識點側重點：主考知識點為相似三角形、二次函數，次考知識點為等邊三角形.

3.2建構等邊三角形

（1）等邊三角形隱性呈現

（i）使用幾何畫板繪制等邊三角形ACED，隱藏ED，在CD上任意取點F，在等邊三角形內部構造ACEF.

（ ii）設置幾何圖形的變換.如圖1，將△CEF繞著點C旋轉60°，產生△CDA，構造“手拉手”模型.

此時發現，若連接AF，則始終能保證△CFA是等邊三角形，CE∥AF.

以上兩個步驟實現等邊△CED和△CFA的隱藏.

（2）多個知識點“并聯”一結論到題設逆向推導

為推導△CFA是等邊三角形，先借助等邊三角形的判定方法之一“有一個內角是60°的等腰三角形是等邊三角形”找出該判定方法中的題設與結論如下：

題設 如果一個三角形的一個內角是60度，并且這是個等腰三角形;

結論 那么這個三角形是等邊三角形.

從結論到題設的逆向推導使用符號語言表示如下：△CFA是等邊三角形<=>CF= CA且△CFA內有角為60°.

將題設中的等腰三角形作為結論1，將內角為60°作為結論2，逆向推導繼續尋求其題設.

結論1 CF= CA.

逆向推導，尋得題設至少五種方案：

①△CEF由△CDA旋轉而來;

②△CEF≌△CDA;

③∠CFA= ∠CAF;

④讓點C落在線段FA的垂直平分線上;

⑤令線段CF，CA的長度數值相等.

結論2 ACFA內有角為60°.

逆向推導，尋得題設至少四種方案：

①給定C，F，D，A等點的坐標，使得能通過三角函數值求得角度;

②借助△CFA三邊相等來求角度;

③構造與△CFA相似或全等的某個等邊三角形;

④令CA∥x軸并結合“手拉手”模型.

在設置數學試題己知條件時，就可以從題設方案中進行選擇，比如選擇題設“△CEF由△CDA旋轉而來”和題設“令CA∥x軸”.

將上述（2）中知識點“串聯”“并聯”的銜接結構用圖表達如下（如圖2所示）.

3.3銜接平面解析幾何

（1）多個知識點“串聯”

固定幾何圖形在二維平面內的位置.

（i）借助幾何畫板，將“手拉手”模型與平面直角坐標系整合，整合后使得點E，D落在x軸上，且點E，D關于y軸對稱，讓點C落在y軸正半軸上，不要刻意將∠A弄成直角，否則會造成學生錯覺（如圖3所示）;

缺漏說明：此時“手拉手”模型的大小并未確定，因此可以借助固定該模型中的某些點的位置或線段長度來確定模型大小.

（ ii）“手拉手”模型中點坐標的位置可以借助二次函數來給定，比如設置開口向上的、以點G為頂點的二次函數圖象經過點A（如圖4所示）;缺漏說明：借助幾何畫板發現，令二次函數圖象經過點A不足以固定點A位置，因此需要添加條件，使得點A與二次函數具備兩種限定關系.

（2）多個知識點“并聯”

添加條件“令點A，F，G在同一直線上”，或添加一次函數，使得點A，F，G都在一次函數圖象上.

將上述3.3中知識點“串聯”“并聯”的銜接結構用圖表達如下（如圖5所示）.

3.4 引入相似三角彤

（1）連接線段，找平面圖形中的固定三角形、固定大小和位置的三角形至少有三種：

①令拋物線圖象與x軸分別交于點I，J.過點G作GB⊥x軸于點B，此時連接JG，產生△JBG，形狀大小固定（如圖6所示）;

②連接點A，G，線段AG交x軸與點M，過點G作GB⊥x軸于點B，產生△BMG，形狀大小固定（如圖7所示）;

③連接線段EF交y軸于點K，產生ACKD，形狀大小固定（如圖8所示）;

（2）單一知識點“串聯”一設置與幾何圖形運動或變化屬性相關的問題

知識點正向呈現：給定動點位置，使得動三角形與固定三角形相似，現隱藏題設中的動點位置，將動點位置作為問題來設置.

針對①中的固定三角形，設置問題如下：如圖6，在拋物線上設置動點P，作PK⊥x軸，點K為垂足，問是否存在點P使得△JBG與△PIK相似;

針對②中的固定三角形，設置問題如下：如圖7，在x軸上設置動點P，問是否存在點P使得ABMG與APAM相似;

針對③中的固定三角形，設置問題如下：如圖8，在拋物線上設置動點P，連接線段FG交x軸于點N，問是否存在點P使得△PNG與△CKD相似，

以上三種問題設置均可，都是與初中幾何相似三角形有關.

3.5預設問題

一般預設三個小問題，問題的設置要考究難度梯度，三個小問題難度逐漸增大，設置常規、計算量合理的二次函數，并逐一驗證計算三個小問題;

3.6將題設用文字、符號、圖象語言表征形成題干

如圖9，在平面直角坐標系中，拋物線y= √3/6（x+4）2—3√3經過點A，點G為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，點D在x軸的正半軸上，ACAD繞點C順時針旋轉得到△CEF，點F落在線段CD上，點E落在x軸的負半軸上，CA∥x軸，點A，F，G在同一直線上.

3.7設置問題

（1）連接AF，求∠CFA;

（2）求點A的坐標;

（3）連接EF交y軸于點K，連接F交x軸于點N，連接皿，問拋物線上是否存在點P使得△PNG與△CKD相似.如果存在，請求出點P坐標，如果不存在，請說明理由.

參考文獻

[1]韓龍淑，屈俊，李曉芬等，基于啟發式數學教學思想的命題教學設計——以“一元二次方程的求根公式”為例[J].教學與管理，2012 （11）：69-71

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[5]孔凡哲，中考數學命題技術探析[J].中學數學教學參考，2016 （5）：