非均勻介質內障礙反散射的Bayes方法

尹偉石, 尹運文, 孟品超

(長春理工大學 理學院, 長春 130022)

非均勻介質中不可穿透障礙物反散射問題在醫學探測、 地球物理勘探和非破壞性實驗等領域應用廣泛. 目前, 在反散射問題的研究中已有許多方法可重構障礙物或非均勻介質[1-4], 但同時重構非均勻介質和嵌入障礙物的研究文獻報道較少. 對于該類問題, 文獻[5]用牛頓迭代法同時重構非均勻介質、 嵌入障礙物的邊界以及邊界條件； 文獻[6]用傳統線性采樣方法重構出外部的非均勻介質, 由于傳統線性采樣法無法重構出內部嵌入障礙物的信息, 因此需通過改進的線性采樣法重構嵌入障礙物.

近年來, 隨著計算機技術的進步與發展, 以Bayes理論為基礎的反問題求解方法已引起人們廣泛關注. Bayes方法可從統計角度思考反問題. Stuart[7]首次提出了反問題下的Bayes理論框架, 并給出了反問題Bayes方法的適定性定理； Bui-Thanh等[8]證明了聲波障礙反散射中形狀重構問題的Bayes方法適定性； 基于文獻[8], Wang等[9]用Bayes方法求解了一類腔體反散射問題; Li等[10]將擴采樣方法與Bayes方法相結合求解有限孔徑反散射問題, 先用擴采樣方法重構障礙物的位置, 再用Bayes方法重構障礙物的形狀. 上述研究均考慮有相位的情形, Yang等[11]進一步將Bayes方法應用到無相位反散射問題求解中. 本文針對非均勻介質內障礙反散射問題, 用Bayes方法同時重構非均勻介質的交界面和嵌入障礙物.

1 正問題

正問題的幾何模型如圖1所示. 設Ω?2表示非均勻介質的支集且具有Lipschitz邊界Γ0,Ω內的折射率為n(x)∈L∞(Ω), 且Ren(x)>0和Imn(x)≥0.表示非均勻介質外部的均勻介質, 且Ω0內折射率n0=1.設D??Ω表示嵌入在非均勻介質內部的聲軟障礙物, 具有C2,α邊界Γ1, 且

圖1 正問題的幾何模型Fig.1 Geometric model of positive problem

和

分別表示Γ0的外部散射總場和內部散射總場.給定入射平面波, 考慮如下Helmholtz系統：

其中k>0為波數,v0為Γ0的單位外法向量,λ為取決于介質Ω和Ω0的傳輸系數.

(6)

2 Bayes方法

用全孔徑遠場數據和有限孔徑遠場數據同時重構交界面Γ0和障礙物邊界Γ1的Bayes方法.

2.1 先驗分布

非均勻介質和內部嵌入障礙物由交界面Γ0和邊界Γ1決定,Γ0和Γ1可通過有限集合P和Q形式分別進行參數化

P∶=(p1,p2,…,pN1)T∈N1,Q∶=(q1,q2,…,qN2)T∈N2,

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記Z∶=(P,Q)∈N,N=N1+N2.設{zn}(n=1,2,…,N)是相互獨立的Gauss變量,zn滿足

zn～N(mn,sn),n=1,2,…,N,

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為便于計算, 假設m1=…=mn=mpr,s1=…=sn=spr,n=1,2,…,N, 即{zn}(n=1,2,…,N)是獨立同分布的Gauss變量.

2.2 后驗分布

考慮入射場形式為

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其中入射方向dl∶=(cosαl,sinαl), 入射角度α均勻分布在[0,2π)內,

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(13)

式(13)表明非線性觀測算子Fl可視為交界面和嵌入障礙物的參數空間到散射遠場空間的一個抽象映射, 且Fl:N→C(S1).進一步, 可將統計模型寫為

Yl=Fl(Z)+ηl,

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根據Bayes公式可求得后驗概率密度為

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求解反問題MCMC(Markov chain Monte Carlo)算法的流程如下：

1) 初始化Z(0),β∈(0,1)為一個常數,K為最大迭代次數；

5) 重復步驟2～4)至K次.

3 數值算例

下面通過數值算例驗證Bayes方法的有效性.在所有數值實驗中均假設：

2)Γ0和Γ1的未知參數服從分布的均值mpr=0和標準差spr=1, 對于觀測誤差ηλ滿足s1=…=sl=serror,l=1,2,…,L;

3) MCMC算法最大迭代次數K=10 000, 取最后1 000個樣本的均值作為參數反演結果;

4) 用實線表示Γ0和Γ1的真實曲線信息, 用虛線表示Γ0和Γ1的重構曲線信息.

實驗1考慮交界面Γ0為橢圓x(t)=(0.1,0.1)+(4cost,3sint), 嵌入障礙物邊界Γ1為風箏x(t)=(-0.5+cost+0.65cos 2t,-0.5+1.5sint)，n(x)=4, 波數k和k1分別為0.5和1,serror=0.01, 觀測孔徑為[0,2π].Γ0和Γ1的參數形式Z可表示為

Z∶=(z1,z2,…,z9)T,

圖2 z1的后驗分布直方圖Fig.2 A posteriori distribution histograms of z1

圖3 入射波個數L=1時Γ0和Γ1的重構圖Fig.3 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident wave L=1

實驗2考慮交界面Γ0為圓形三角形x(t)=(-0.1,-0.3)+(3+0.3cos 3t)(cost,sint), 嵌入障礙物邊界Γ1為風箏x(t)=(-0.5+cost+0.65cos 2t,-0.5+1.5sint),n(x)=2.25, 波數k和k1分別為1和1.5, 入射波個數L=4, 觀測孔徑為[0,2π].參數Z可表示為

Z∶=(z1,z2,…,z14),

圖4 入射波個數L=4時Γ0和Γ1的重構圖Fig.4 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident waves L=4

圖5 入射波個數L=2時Γ0和Γ1的重構圖Fig.5 Reconstruction diagrams of Γ0 and Γ1 when number of incident waves L=2

綜上, 本文提出了同時重構非均勻介質以及嵌入聲軟障礙物的Bayes方法. 通過少量的入射波進行入射即可較好地重構出非均勻介質和嵌入聲軟障礙物. 數值實驗結果表明, 所提Bayes方法可行且有效.