簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統特性

宮峰勛，李建坤

研究與開發

簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統特性

宮峰勛，李建坤

（中國民航大學，天津 300300）

采用簡化頻域Volterra級數研究分析輸入信號為S模式應答脈沖的多點定位（multilateration，MLAT）系統的非線性特性。首先以典型超外差接收系統為例，探索建立多點定位系統的簡化頻域Volterra級數模型和誤差率模型；其次，研究建立基于核函數的S模式應答脈沖信號模型；最后分析輸入基于核函數的S模式信號時，簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率。仿真結果表明，當輸入基于核函數的S模式信號時，信噪比為15 dB的簡化頻域Volterra級數的接收系統模型誤差率最小在23.23%以下；輸入信噪比為16.25 dB的實際S模式測試信號時，該模型誤差率最小在22%以下，小于誤差率閾值。說明簡化頻域Volterra級數的接收系統模型可以準確地描述S模式信號接收系統的輸出特性，為多點定位系統前導脈沖到達時間戳的識別奠定理論基礎。

簡化頻域Volterra級數；S模式信號；非線性系統；核函數

0 引言

實際工程中的系統大多是非線性系統。對于弱非線性系統，可以使用線性系統近似代替。當系統越來越復雜時，線性系統已經無法滿足實際要求，所以非線性系統逐漸成為人們的研究重點。文獻[1]使用軌跡相平面法分析邏輯控制系統的特性，但該方法不適合分析弱非線性系統；文獻[2]使用多特征卷積神經網絡模型提取運動想象信號，但過程較復雜；文獻[3-5]使用簡化的Volterra級數模型分析非線性系統特性，但只局限于低階Volterra級數模型；文獻[6]使用Volterra級數推導射頻功率放大器的輸出交調失真方程，但并未獲得 Volterra級數的顯示表示式；文獻[7]使用簡化的頻域Volterra級數模型分析電壓互感器的輸出特性，但對輸入信號形式有嚴格限制；文獻[8]使用三維頻率空間的Volterra級數模型對發射機系統進行預失真處理，但并未繪制Volterra核的具體路徑。

以S模式應答脈沖為輸入信號的多點定位系統屬于非線性系統。目前，對于此類系統的研究主要為內部非線性器件。文獻[9]使用補償記憶多項式模型提升功率放大器的線性度；文獻[10]對接收機的非線性模塊和記憶模塊分別進行建模，但過程比較復雜；文獻[11]使用基帶Volterra級數分析接收機放大器的交叉信道非線性失真，但并未實際測試。

圖1 超外差接收機的基站原理結構及S模式信號[12]

本文對基于簡化頻域Volterra級數的S模式信號多點定位系統特性進行研究。當輸入基于核函數（kernel function）的S模式信號時，分析不同信噪比的簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率，并使用實際S模式測試信號加以驗證。

1 簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型

1.1 超外差接收機結構及S模式信號

民航機場場面目標監視采用由多個基站組成的多點定位系統，該系統的基站屬于超外差接收機。超外差接收機的基站原理結構及S模式信號如圖1所示[12]。

超外差接收機基站工作原理是利用功率放大器、混頻器、解調器等非線性器件將接收到的射頻信號轉換為基帶信號，非線性特性主要來自內部的功率放大器、混頻器等。此外，信號在傳輸過程中受到信道衰落、射頻損傷、噪聲等因素的影響[13]，會使接收機出現諧波失真、互調失真[14]等現象。

1.2 簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型

Volterra級數可以分析非線性系統的輸出特性，考慮核函數的對稱形式，完整形式的頻域Volterra級數表示式為[7]：

其中，和分別表示輸入、輸出信號的頻譜，和分別表示輸入、輸出信號的諧波次數，表示系統的最高階數，表示輸入信號的最高諧波次數，表示系統的Volterra核函數，表示系統階數，取值范圍是1～，n表示輸入信號的第次諧波，表示取值范圍是1～的整數，n表示輸入信號的第次諧波。完整形式Volterra級數計算量大，現對式（1）進行化簡。假設輸入信號為準正弦信號，該信號是含有多次諧波的周期性信號，且基波項幅值遠大于諧波項幅值。在求解第階系統的輸出信號時，可利用輸入信號的i個基波項(1)、i個基波共軛項(?1)及一個通用諧波項()的幅值乘積代替輸入信號，并使用互調矩陣表示。其中p、i為非負整數，分別表示(1)、(?1)的數量。中的某一項元素為：

第階系統下第次輸出諧波()可用與表示[15]：

p、i有多組取值，每一組取值都對應一個核函數元素(p,i,)。則第階系統下第次輸出諧波的核函數矩陣為：

簡化頻域Volterra級數在描述系統輸出特性時存在一定誤差，使用式（5）表示簡化頻域Volterra級數的系統模型誤差率：

其中，I()表示簡化頻域Volterra級數的非線性系統模型輸出信號第次諧波項幅值，Iact()表示非線性系統輸出信號第次諧波項幅值。為研究簡化頻域Volterra級數的系統模型誤差率，設誤差率閾值為30%，當TVE()＜30%時，表示簡化頻域Volterra級數的系統模型誤差率較小，可以準確描述系統的輸出特性；當TVE()＞30%時，表示該簡化模型的誤差率較大，不能準確描述系統的輸出特性。

簡化頻域Volterra級數是Volterra級數的一種化簡形式，因此可以描述非線性系統的輸出特性。對于多點定位系統的S模式信號接收機，在已知輸入輸出信號的前提下反推出Volterra核函數，通過Volterra核函數可以構建基于簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型。

1.3 仿真結果及分析

分析一階至十階簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型誤差率。系統階數=10，所以=55，要求輸入信號的數量≥55。設依次輸入55個幅值不同的準正弦信號，每個輸入信號中均含有直流項、基波項至九次諧波項，計算式為：

令直流項幅值=35 mV，基波項幅值1的取值范圍是0.4～22 mV，間隔是0.4 mV；諧波項幅值均為2，取值范圍是0.004～0.22 mV，間隔是0.004 mV；基波頻率是50 Hz，相位為0。55個幅值不同的輸入信號依次經過接收機系統后得到55個輸出信號，由輸入及輸出信號反推出Volterra核函數。為求解簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型誤差率，設待驗證信號是，計算式為：

一階至十階簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型誤差率仿真結果如圖2所示。

圖2 一階至十階簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型誤差率仿真結果

由圖2可知，七階至十階簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型中，第五次諧波誤差率分別為14.2%、3.81%、3.960 5×104%、1.147 47×105%，明顯高于其他諧波項。直流項誤差率最大約為10.44%，其余項的誤差率基本在3%以下；六階簡化模型的誤差率最小，在0.005%以下，遠小于規定的誤差率閾值。由此說明簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型能夠準確描述多點定位系統的輸出特性。

2 基于核函數的S模式信號模型及誤差分析

2.1 基于非線性系統核函數的S模式信號

非線性系統原理等效電路圖如圖3所示。為構建基于非線性系統核函數的S模式信號，設非線性系統輸出特性為鐵芯電感形式，可等效為圖3所示的電路形式[7]，其輸入信號為圖1（b）所示的S模式信號。

圖3 非線性系統原理等效電路圖

已知輸入電壓S()與輸出電流L()之間滿足[7]：

針對具有鐵芯電感形式輸出特性的非線性系統，輸入1 090ES（1 090 extended squitter，1 090 MHz擴展電文）的S模式信號。S模式信號是周期性信號，每個周期中均包含8 μs前導脈沖和56/112 μs數據脈沖[16]。S模式信號中含有多次諧波，且基波項幅值大于諧波項幅值，所以可將S模式信號看作準正弦信號。鐵芯電感形式輸出特性的非線性系統要求輸入信號大于0，故向S模式信號中加入直流項；考慮實際S模式信號一般是毫伏級別，故將鐵芯電感形式非線性系統的輸入信號單位換算為毫伏（mV）。綜上，對S模式信號進行修改，修改后的S模式信號表示式為：

S表示含直流分量的S模式信號，表示直流項幅值，S表示幅值范圍是?1～1 mV的S模式信號，1為系數。設=35 mV，1的范圍是0.45～24.75 mV，取值間隔是0.45 mV。分析輸入S模式信號時，一階至十階簡化頻域Volterra級數的非線性系統模型誤差率，仍然需要輸入55個幅值不同的S模式信號。由55個幅值不同的輸入信號及對應的輸出信號反推Volterra核函數，第七階、第九階和第十階模型的第四至第六次諧波項對應的核函數值見表1。

為求解輸入S模式信號時，簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型誤差率，設待驗證信號是S1，計算式為：

一階至十階簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型誤差率的仿真結果如圖4所示。

表1 第四次至六次諧波項對應的Volterra核函數值

圖4 一階至十階簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型誤差率的仿真結果

由圖4可知，當輸入S模式信號時，一階和二階簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型的誤差率較大，三階至十階模型的誤差率較小。但七階、九階和十階簡化模型的第五次諧波誤差率明顯高于其他次諧波，可以認定第五次諧波項誤差率為異常值。由表1可得，第五次諧波項的核函數值與第四次、第六次諧波項的核函數值存在數量級的差距，進而造成第五次諧波項誤差率遠大于第四次、第六次諧波項誤差率。直流項誤差率最大約7.01%，而四階簡化模型的誤差率最小，在0.25%以下。故四階簡化頻域Volterra級數的非線性系統模型可以準確描述鐵芯電感形式非線性系統的輸出特性。

現對第五次諧波的核函數值進行修正。令表1中第七階模型的第五次諧波核函數值縮小至1/100，第九階模型的第五次諧波核函數值整體縮小至1/100，第十階模型的第五次諧波核函數值整體擴大10倍。修正后的第五次諧波核函數值見表2。

對Volterra核函數值修正后，分析簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型誤差率。設待驗證信號仍是S1，則一階至十階簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統誤差率的仿真結果如圖5所示。

圖5 一階至十階簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統誤差率的仿真結果

表2 修正后的第五次諧波核函數值

由圖5可知，第七階、第九階、第十階簡化模型的第五次諧波誤差率明顯降低，此時高階簡化頻域Volterra模型能夠準確描述鐵芯電感形式非線性系統的輸出特性。

2.2 基于核函數S模式信號的MLAT接收系統誤差分析

當輸入信號是S模式信號時，通過求解非線性系統的核函數構建基于核函數的S模式信號，分析基于核函數S模式信號的MLAT接收系統模型誤差率。設待驗證信號為S2，計算式為：

基于核函數S模式信號的MLAT接收系統模型誤差率仿真結果如圖6所示。

由圖6可知，基于核函數S模式信號的MLAT接收系統中，七階至十階模型的第五次諧波誤差率不存在異常值；直流項的誤差率最大約為105%，七階至十階模型的誤差率均小于1.57%，遠低于誤差率閾值。故基于核函數S模式信號的MLAT接收系統可以準確描述MLAT接收系統的輸出特性。

2.3 仿真結果分析

當輸入基于核函數的S模式信號時，通過分析非線性系統模型誤差率，可得以下結論。

●輸入S模式信號時，簡化頻域Volterra級數的鐵芯電感形式非線性系統模型誤差率較小，但高階模型中存在誤差率異常值。通過對第五次諧波對應的核函數值修正，使其與第四次、第六次諧波對應的核函數值保持相同的數量級，能夠降低第五次諧波項的誤差率。

●通過Volterra核函數構建基于核函數的S模式信號。當輸入基于核函數的S模式信號時，基于核函數S模式信號的MLAT接收系統可以準確描述MLAT接收系統的輸出特性。

3 簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型性能分析

3.1 簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統誤差分析

當輸入基于核函數的S模式信號時，分別分析信噪比為20 dB、15 dB、10 dB時的簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率，設待驗證信號仍是S2。

信噪比為20 dB、15 dB、10 dB時的一階至十階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率仿真結果如圖7所示。

圖7（a）表示信噪比為20 dB時簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率。整體來看，七階至十階簡化模型的誤差率較大，在100%以上；一階至六階簡化模型的誤差率在100%以下；四階簡化模型的誤差率最小，在15.7%以下，低于誤差率閾值。說明輸入基于核函數的S模式信號時，信噪比為20 dB的四階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型可以準確描述MLAT接收系統的輸出特性。

圖7 一階至十階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率仿真結果

圖7（b）表示信噪比為15 dB時簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率。整體來看，六階至十階簡化模型的誤差率較大，在116.47%以上；一階至五階簡化模型的誤差率較小，在112.93%以下。二階簡化模型的誤差率最小，在23.23%以下，低于誤差率閾值。說明輸入基于核函數的S模式信號時，信噪比為15 dB的二階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型可以準確描述MLAT接收系統的輸出特性。

圖7（c）表示信噪比為10 dB時簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率。此時一階至十階簡化模型的誤差率均在94.6%以上，大于誤差率閾值。說明輸入基于核函數的S模式信號時，信噪比為10 dB的簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型不能描述MLAT接收系統的輸出特性。

隨著簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型信噪比減小，對應的模型誤差率在增大，但誤差分布狀態相似，即低階簡化模型的誤差率較小，高階簡化模型的誤差率較大。信噪比為10 dB的簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率非常大，不能描述MLAT接收系統的輸出特性。

分析信噪比為20 dB、15 dB、10 dB的二階完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率，與簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率進行對比。不同信噪比、不同形式Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率對比如圖8所示。

圖8（a）、圖8（b）、圖8（c）分別表示信噪比為20 dB、15 dB及10 dB的二階完整形式Volterra級數與簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率對比圖。由圖8可知，信噪比分別為20 dB和15 dB時，簡化頻域Volterra級數與完整形式Volterra級數的直流項與第五次諧波誤差率相差較大，其余諧波的誤差率相差較?。恍旁氡葹?0 dB時，簡化頻域Volterra級數與完整形式Volterra級數的第三次諧波與第五次諧波誤差率相差較大，其余諧波的誤差率相差較小。故比較信噪比分別為20 dB和15 dB時兩種Volterra級數的直流項與第五次諧波誤差率及信噪比為10 dB時兩種Volterra級數的第三次諧波與第五次諧波誤差率。以兩種Volterra級數的誤差率差值作為比較指標，差值大于0，說明簡化頻域Volterra級數的誤差率更高；差值小于0，說明完整形式Volterra級數的誤差率更高。不同信噪比的誤差率差值見表3。

圖8 不同信噪比、不同形式Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率對比

表3 不同信噪比的誤差率差值

由表3可知，信噪比為20 dB時，兩種Volterra級數的直流項誤差率差值為?23.06%，第五次諧波誤差率差值為10.56%。簡化頻域Volterra級數的第五次諧波誤差率較高，但直流項誤差率遠低于完整形式Volterra級數。說明信噪比為20 dB時，四階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統對MLAT接收系統輸出特性的描述更準確。

信噪比為15 dB時，兩種Volterra級數的直流項誤差率差值為?26.56%，第五次諧波誤差率差值為10.78%。簡化頻域Volterra級數的第五次諧波誤差率較高，但直流項誤差率遠低于完整形式Volterra級數。說明信噪比為15 dB時，二階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統對MLAT接收系統輸出特性的描述更準確。

信噪比為10 dB時，兩種Volterra級數的第三次諧波項誤差率差值為370.24%，第五次諧波誤差率差值為85.25%。簡化頻域Volterra級數的誤差率明顯高于完整形式Volterra級數的誤差率。說明信噪比為10 dB時，二階完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統對MLAT接收系統輸出特性的描述更準確。

以上說明，當信噪比大于15 dB時，簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統對MLAT接收系統輸出特性的描述準確度略優于完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統；當信噪比為10 dB時，完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統對MLAT接收系統輸出特性的描述準確度略優于簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統。說明完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統對噪聲的抗干擾能力更強。

3.2 實際S模式測試信號驗證

使用MLAT系統中的實際S模式測試信號進行驗證。對實際S模式測試信號進行歸一化處理，一個周期的實測S模式信號如圖9所示。

圖9 一個周期的實測S模式信號

圖9所示的信號的信噪比約為16.25 dB。當輸入實際S模式測試信號時，一階至十階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率仿真結果如圖10所示。

由圖10（a）可知，六階至十階簡化頻域Volterra級數模型的誤差率最大，在55.7%以上；一階至三階簡化模型的誤差率較小，在44.9%以下，二階簡化模型的誤差率最小在22%以下，低于誤差率閾值。說明，當輸入實際的S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型可以準確描述實際的MLAT接收系統輸出特性，且誤差率低于規定的閾值。

圖10（b）表示輸入實際S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統與二階完整形式Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率對比圖。由圖10（b）可知，簡化頻域Volterra級數的第三次諧波誤差率比完整形式Volterra級數低10.04%，直流項誤差率低7.89%，第二次諧波誤差率高8.17%，其余項的誤差率相差較小。對比完整形式Volterra級數誤差率，雖然簡化頻域Volterra級數的第二次諧波誤差率較高，但直流項和第三次諧波的誤差率較低。說明當輸入實際S模式測試信號時，二階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型對MLAT接收系統的輸出特性描述更準確。

圖10 一階至十階簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率仿真結果

4 結束語

研究基于簡化頻域Volterra級數的S模式信號多點定位系統特性，通過輸入基于非線性系統核函數的S模式信號，分析簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型誤差率，結論如下。

●基于簡化頻域Volterra級數的接收機模型誤差率在10.44%以下，小于誤差率閾值。說明簡化頻域Volterra級數的多點定位系統模型可以準確描述多點定位系統模型的輸出特性。

●當輸入基于核函數的S模式信號時，簡化頻域Volterra級數的接收系統模型信噪比越小，誤差率越大。當信噪比在15 dB以上時，該模型的誤差率最小為23.23%，小于誤差率閾值。說明當信噪比大于15 dB時，簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型可以準確描述MLAT接收系統的輸出特性。

●對簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型進行實際測試。當輸入信號是含有16.25 dB信噪比的實測S模式信號時，該模型的誤差率最小在22%以下，小于誤差率閾值。由此說明，基于簡化頻域Volterra級數的S模式信號接收系統模型可以準確描述實際的MLAT接收系統的輸出特性。

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Characteristics of simplified frequency-domain Volterra series based S-mode receiver

GONG Fengxun, LI Jiankun

Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China

The nonlinear characteristics of multilateration(MLAT) system were analyzed by simplified frequency-domain Volterra series when the S-mode signal response pulse was input. Firstly, take the typical super heterodyne receiver system for example, the model based on simplified frequency-domain Volterra series and error rate model of MLAT system were explored and created. Secondly, the S-mode response pulse signal model based on kernel function was researched and established. Finally, the model error rate of S-mode signal receiver system based on simplified frequency-domain Volterra series was analyzed when the S-mode signal based on kernel function was input. The results show that the minimum error rate of the receiver system based on 15 dB SNR simplified frequency-domain Volterra series is less than 23.23% when the S-mode signal based on kernel function is input. When the actual S-mode test signal with 16.25 dB SNR is input, the minimum error rate of the model is less than 22%, which is less than the error rate threshold. It shows that the receiver system model based on simplified frequency-domain Volterra series can accurately describe the characteristics of S-mode signal receiver system, which provides the theoretical foundation for the identification of preamble arrival timestamp in MLAT system.

simplified frequency-domain Volterra series, S-mode signal, nonlinear system, kernel function

Key Research and Development Program of the Ministry of Science and Technology (No.2018YFC0809500)

TN851

A

10.11959/j.issn.1000?0801.2022153

2022?04?11；

2022?06?10

科技部重點研發計劃項目（No. 2018YFC0809500）

宮峰勛（1965? ），男，中國民航大學教授、碩士生導師，主要研究方向為電磁輻射與電磁兼容、民航通信導航監視及多源數據融合等。

李建坤（1996? ），男，中國民航大學碩士生，主要研究方向為電磁輻射與電磁兼容。