概率問題學習導引

潘銀春

概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，概率是高考的必考內(nèi)容。高考主要考查隨機事件的概率，考查事件的相互獨立性以及概率與頻率等。下面舉例分析，供大家學習與提高。

一、互斥事件的概率及其應用

互斥事件與對立事件的概率計算：若事件求復雜事件的概率常用的兩種方法：將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和;先求其對立事件的概率，再應用公式P（A）= 1-P（A）求解。

例1 黃種人群中各種血型的人所占的比例如表1所示。

已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血，張三是B型血，若張三因病需要輸血，請問：

（1）任找一個人，其血可以輸給張三的概率是多少？

（2）任找一個人，其血不能輸給張三的概率是多少？

二、事件的相互獨立性

利用相互獨立事件求復雜事件概率的三種思路：將待求復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的簡單事件的和;將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件;代入概率的積、和公式求解。

例2計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書。甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為4/5，3/4，2/3，在實際操作考試中“合格”的概率依次為1/2，2/3，5/6所有考試是否合格相互之間沒有影響。

（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？

（2）這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率。

解：（1）設(shè)“甲獲得合格證書”為事件A，

（1）該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？

（2）假設(shè)該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？

（3）假設(shè)該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？

解：（1）由表可知，擊中靶心的頻率在0.9附近，故擊中靶心的概率大約是0.9。

（2）擊中靶心的次數(shù)大約是300×0.9=270。

（3）由概率的意義，可知概率是個常數(shù)，不因試驗次數(shù)的變化而變化。最后一次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊中靶心。

四、概率問題中的補集思想

在解答概率應用問題中，當某一事件的概率不易直接求出或求解較為困難，但該事件的對立事件的概率比較容易求得時，可利用公式“P（A）+P（A）=1”從反面進行思考，將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率，這就是概率問題中的補集思想。

例4 甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9。

（1）求兩人都射中的概率。

（2）求兩人中恰有一入射中的概率。

（3）求兩人中至少有一人射中的概率。

解：設(shè)“甲射擊一次，射中目標”為事件A，“乙射擊一次，射中目標”為事件B。事件A與B是相互獨立的。

（1）兩人都射中的概率為P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.9=0.72.

（2）兩人中恰有一人射中的概率為P（AB）+P（AB）=0.8×（1- 0.9）+（l-0.8）×0.9=0.26。

（3）兩人中至少有一人射中的概率為1-P（AB）=I-P （A）P （B）=1-0.2×0.1=0.98。

感悟與提高

新高考的“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式。某同學已選了物理，記事件A為“他選擇政治和地理”，事件B為“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B（ ）。

A.是互斥事件，不是對立事件

B.是對立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是對立事件

D.既不是互斥事件也不是對立事件

提示：事件A與事件B不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故事件A與B是互斥事件，不是對立事件。應選A。

作者單位：江蘇省鄭梁梅高級中學

（責任編輯 郭正華）