一個連續(xù)離散時間模型的傳播速度和行波解

王明龍， 黃啟華

西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 重慶 400715

一個生物種群的繁殖、 死亡和擴散如何影響其持久性和空間傳播是空間生態(tài)學中一個非常重要的問題[1-2]， 數(shù)學模型在研究此類問題以及空間生態(tài)學理論中發(fā)揮了重要作用． 其中一類傳統(tǒng)的研究空間種群動力學行為的模型是反應-擴散方程模型， 該類模型假設(shè)種群的成長和擴散是同時發(fā)生的． 然而， 許多物種的繁殖和擴散發(fā)生在一年中的不同季節(jié)， 例如哺乳動物和水生物種等． 此時， 經(jīng)典的反應-擴散方程不適合用來描述這些種群的持久性和空間傳播等性質(zhì)． 在文獻[3]中， 作者建立了以下具有不同繁殖和擴散的脈沖反應-擴散模型

(1)

其中：un(x，t)(模型(1)為了記號方便寫成un)表示擴散階段第n年， 時間為t∈[0， 1]， 位置在x的種群密度；Nn(x)表示第n年生殖階段開始時x點的種群密度． 并研究了模型(1)的傳播速度、 行波解和臨界區(qū)域尺寸(確保種群持續(xù)生存最小的空間尺寸)． 模型(1)的非擴散階段由離散映射g描述， 映射g綜合了種群的繁殖和生長過程．

近年來階段結(jié)構(gòu)模型[4-6]受到越來越多的重視． 這些模型大多將物種生長分為兩個階段． 許多具有高度結(jié)構(gòu)化生命周期的物種包含多個成長階段， 在不同的成長階段， 它們的繁殖率和擴散能力顯著不同， 一般在其早期階段(例如植物的種子)通過擴散來入侵新的棲息地， 擴散結(jié)束后移動范圍很小， 通常使用差分方程描述生長過程． 文獻[7]提出了具有階段結(jié)構(gòu)的連續(xù)離散種群模型， 將貝殼類生物分為3個生長階段， 即貝殼類生物擴散的早期的擴散階段、 降落后到性成熟前的幼年階段和具有繁殖能力的成年階段．

本文模型生命周期也分為3個生長階段：un(x，t)表示物種擴散早期階段(例如植物的種子， 浮游生物)的種群密度，Jn(x)表示物種擴散完成后靜止下來一直到具有繁殖能力前這一階段(幼年階段)的種群密度，An(x)表示物種在有繁殖能力階段(成年階段)的種群密度． 我們對模型(1)進行延伸， 建立如下多階段的脈沖反應-擴散方程：

(2)

這里以植物種群為例：un(x，t)表示第n年t時刻， 位置在x的種子密度；Jn(x)和An(x)分別表示第n年位置在x的幼年和成年階段的植物種群密度； 擴散系數(shù)d>0， 擴散周期T≤1，m表示擴散過程中由于種子與環(huán)境相互作用導致的死亡率，γ表示擴散過程中由于種子個體間競爭導致的死亡率；s1表示種子個體生長到幼年階段的概率，s2和s4分別表示植物幼年和成年個體存活到本階段下一年的概率，s3表示幼年個體生長到成年階段的概率；f表示脈沖出生函數(shù)．

模型(2)的第一個方程描述了植物種子的擴散和死亡； 第二和第3個方程描述植物種群的存活和生長； 最后一個方程描述了繁殖季節(jié)成年植物個體生育種子的過程． 模型(2)也可用來描述湖泊中貝殼類生物等． 本文主要研究模型在正常數(shù)平衡解存在的前提下， 通過對模型線性化的方法， 使用模型參數(shù)給出了種群傳播速度的具體表達式， 模型的解映射是非緊的， 可以通過應用弱緊性理論[8-9]得到行波解的存在性．

對模型作如下假設(shè)：

使用Q1表示下列初值問題的時間T解映射

(3)

則有un(x，T)=Q1[f(An)(x)]， 定義向量值算子

(4)

這里Nn=(Jn，An)T． 因此模型(2)能寫成遞推形式

Nn+1(x)=Q[Nn](x)

(5)

1 正常數(shù)平衡解

若種群沒有擴散， 即d=0， 則模型(2)退化為：

(6)

根據(jù)模型(6)的第一和第四個方程可以求得

(7)

將(7)式代入模型(6)第二個方程， 得到

(8)

模型(8)總是有平凡解0． 下面考慮非平凡解， (6)式或(8)式的一個正常數(shù)平衡解是下列平衡方程

(9)

的一個正根． 將(9)式的第二個方程代入到第一個方程得

等價于

G(A，f(A))=0

(10)

這里

(11)

所以當(11)式成立時， 正常數(shù)平衡解存在， 定義為β*=(J*，A*)T．

2 傳播速度

本節(jié)考慮在無界區(qū)域種群的傳播速度， 模型(2)在0處的線性化模型為

(12)

對線性模型(12)式求解得到下列積分差分模型

(13)

(14)

引入對應線性化算子的矩母矩陣Bμ， 使其滿足下列條件： 對于每個常數(shù)向量α，

Bμα=L[αe-μx]|x=0

因此

(15)

這里

其中K(μ)是k(x)的矩母函數(shù)．

Bμ的主特征值λ(μ)滿足

命題1若條件(11)成立， 則Bμ的主特征值λ(μ)>1．

證從λ(μ)的表達式可以看出它在μ=0有最小值． 所以只需證明λ(0)>1． 根據(jù)條件(11)有下列式子等價

s1s3f′(0)e-mT>1-(s2+s4)+s2s4

4s1s3f′(0)e-mT-4s2s4>4-4(s2+s4)

(s2+s4)2+4s1s3f′(0)e-mT-4s2s4>(s2+s4)2+4-4(s2+s4)

(s2-s4)2+4s1s3f′(0)e-mT>[2-(s2+s4)]2

因此λ(μ)≥λ(0)>1． 證明完畢．

Bμ的主特征值λ(μ)滿足

BμN=λ(μ)N

(16)

這里N=(J，A)T． 將(16)式寫成下列形式：

s2J+s1e-mTf′(0)K(μ)A=λ(μ)J

s3J+s4A=λ(μ)A

(17)

通過化簡， (17)式等價于

(18)

引理1若假設(shè)，成立， 則λ(μ)是嚴格對數(shù)凸的．

證文獻[10]的引理6.4表明λ(μ)是對數(shù)凸的， 即對于0

λ(tμ1+(1-t)μ2)≤λt(μ1)λ1-t(μ2)

(19)

反證， 若(19)式中的等號成立， 則(18)式可寫成

(20)

由于K(μ)滿足K(μ)K′′(μ)>(K′(μ))2， 所以K(μ)是嚴格對數(shù)凸函數(shù)， 即

K(tμ1+(1-t)μ2)

對(20)式應用赫爾德不等式得

(21)

通過(18)，(21)式得出1<1， 這是矛盾的． 所以λ(μ)是嚴格對數(shù)凸的． 證明完畢．

根據(jù)文獻[10]， 定義

(22)

這里

定理1若假設(shè)，成立， 并且滿足條件(11)， 則種群傳播速度c*由(22)式給定， 該傳播速度c*可以用數(shù)學語言描述如下： 若連續(xù)初值函數(shù)N0(x)在有界區(qū)域外是0， 但是N0(x)?0， 并且0≤N0(x)<β*， 則對于任意的ε>0， 系統(tǒng)(2)的解Nn(x)具有下列性質(zhì)：

(23)

Q[Nn](x)≤L[Nn](x)

根據(jù)文獻[3]中定理2.1的證明過程可得Q1[f(θAn)](x)≥θQ1[f(An)](x)， 0<θ≤1， 因此有

Q[θNn](x)≥θQ[Nn](x)

從而存在向量值函數(shù)v(x)，

這里β*： =(b，b)T． 綜上所述， 從文獻[10]中的定理3.1-3.4和命題3.3得到模型(2)具有定義為(22)滿足性質(zhì)(23)的傳播速度， 證明完畢．

3 行波解

本節(jié)研究模型(2)具有波速為c的行波解Nn(x)=w(x-nc)， 模型(2)能被寫成

(24)

可以看出Q不是緊算子． 但是因為Q1是緊算子， 并且max{s2，s3，s4}<1， 根據(jù)非緊性Kuratowski測度的性質(zhì)， 所以Q滿足文獻[8]中弱緊性的條件． 模型(2)是單調(diào)動力系統(tǒng)，Q[0]=0，Q[β*]=β*并且在0，β*之間沒有其他不動點，Q具有保序性、 平移不變性和連續(xù)性等性質(zhì)． 因此能從[8]中的定理4.1和定理4.2得到如下結(jié)論

定理2若假設(shè)，以及條件(11)成立， 則有下列結(jié)論：

1) 若c≥c*， 模型(2)存在連續(xù)非增行波解w(x-nc)， 滿足w(-∞)=β*，w(+∞)=0．

2) 若c

4 結(jié)論與討論

本文研究了具有階段結(jié)構(gòu)的脈沖反應擴散種群模型， 在正常數(shù)平衡解存在的前提下， 通過將模型線性化， 然后通過線性確定性討論了種群的傳播速度， 又由遞推算子的弱緊性得出行波解的存在性． 本文中的出生函數(shù)是單調(diào)非減的并且擴散階段為自由擴散， 也可討論出生函數(shù)為非單調(diào)的和擴散階段為非局部擴散的情形．