含參數(shù)集值向量優(yōu)化問題超有效點(diǎn)集的連通性

吳昌耀， 陳劍塵， 何煥民

1. 南昌航空大學(xué)， 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 南昌 330063； 2. 汕頭市林百欣科學(xué)技術(shù)中等專業(yè)學(xué)校， 廣東 汕頭 515057

關(guān)于集值向量最優(yōu)化問題， 自文獻(xiàn)[1-2]， 在賦范向量空間中， 給出超有效點(diǎn)的相關(guān)定義以來， 已有不少專家和學(xué)者對(duì)超有效性進(jìn)行研究[3-6]． 受文獻(xiàn)[6]啟發(fā)， 本文對(duì)含參數(shù)的集值向量優(yōu)化問題超有效點(diǎn)集的連通性進(jìn)行研究． 首先， 引入含參數(shù)超有效點(diǎn)集的相關(guān)概念， 然后， 在含參數(shù)的目標(biāo)集值映射是C-弧連通的， 可行域?yàn)榛∵B通緊且參數(shù)擾動(dòng)的情況下， 證明了含參數(shù)集值向量優(yōu)化問題的超有效點(diǎn)集的連通性．

1 預(yù)備知識(shí)

本文假設(shè)X，Y和Z均為Hausdorff局部凸的拓?fù)渚€性空間，Y*為Y的拓?fù)鋵?duì)偶空間．N(0)為Y的零點(diǎn)鄰域基． 設(shè)M?Y且M≠?， 分別用int(M)， cl(M)， conv(M)， 表示M的內(nèi)部、 閉包以及凸包． 由M生成的錐記為cone(M)={lm：l≥0，m∈M}．

設(shè)C?Y為非空閉凸點(diǎn)錐， 且int(C)≠?(其中int(C)表示C的內(nèi)部)．C*為C的拓?fù)鋵?duì)偶錐， 記為

C*={f∈Y*：f(c)≥0， ?c∈C}

C#為C的對(duì)偶錐C*的擬內(nèi)部， 記為

C#={f∈Y*：f(c)>0， ?c∈C{0}}

非空凸子集B?C稱為C的基， 若C=cone(B)且0?cl(B)． 顯然有：

另外， 以下結(jié)論也是成立的：

定義1[7]設(shè)D?Y為非空子集．y*∈D稱為D關(guān)于C的有效點(diǎn)， 記為y*∈E(D，C)， 如果(D-y*)∩(-C)?C． 如果C為點(diǎn)錐， 則y*∈D為有效點(diǎn)?(y*-D)∩C={0}?(y*-C)∩D={y*}．

定義2[7]設(shè)D?Y為非空子集．y*∈D稱為D關(guān)于C的超有效點(diǎn)， 記為y*∈SE(D，C)， 設(shè)N(0)是Y的零點(diǎn)鄰域基， 若對(duì)?V∈N(0)， 都?U∈N(0)， 使得

cl(cone(D-y*))∩(U-C)?V

注1顯然， 超有效點(diǎn)必為有效點(diǎn)， 即SE(D，C)?E(D，C)． 反之不成立．

引理1[3]設(shè)D?Y為非空子集，C?Y是閉凸點(diǎn)錐， 且C有有界基B， 則

SE(D，C)=SE(D+C，C)

接下來， 我們介紹一下集值映射的一些基本概念和結(jié)論．

tF(x1)+(1-t)F(x2)?F(tx1+(1-t)x2)+C

conv(F(A))?F(A)+C

φx1， x2(0)=x1，φx1， x2(1)=x2

(1-t)F(x1)+tF(x2)?F(φx1， x2(t))+C

(1-t)F(x1)+tF(x2)?F(φx1， x2(t))-C

注3C-弧連通的必為C-類凸的， 反之不成立．

F(x)={(x1，x2)， (1， 1)}， ?x=(x1，x2)∈A1

則F在A1上是C-類凸的， 但F不是C-弧連通的．

SE(F(A)，C)=SE(F(A)+C，C)=SE(conv(F(A))，C)

h(y*)=min{h(y)|?y∈F(A)}

SE(F(A)，C)=∪{PE(F(A)，h)|h∈int(C*)}

其中

PE(F(A)，h)=PE(conv(F(A))，h)

稱F在A上是上半連續(xù)的， 如果F在A上每一點(diǎn)均是上半連續(xù)的．

定義7[15]設(shè)X為拓?fù)渚€性空間． 集合A?X稱為有界， 如果它能被X中的每一個(gè)零元鄰域吸收， 即對(duì)于每一個(gè)V∈N(0)， 存在一個(gè)l>0， 使得A?lV．

定義8[15]設(shè)X為拓?fù)渚€性空間， 則在X上由X*生成的F-拓?fù)浞Q為弱拓?fù)洌?記為TX*或TW． 相應(yīng)的局部凸空間記為(X，TX*)， (X，TW)或XW．

若集合A關(guān)于弱拓?fù)溆薪纾?則稱A為弱有界， 或稱為A?XW有界．

引理8[15](Banach-Mackey)設(shè)X為局部凸空間， 則A?X有界當(dāng)且僅當(dāng)A?XW有界．

引理9[16]設(shè)X1，X2，…，Xn是n≥1個(gè)弧連通空間． 則積空間X1×X2×…×Xn也是弧連通空間．

2 含參超有效點(diǎn)集的連通性

考慮以下含參數(shù)集值向量優(yōu)化問題(PSVOP)：

定義9設(shè)x*∈H(λ)，y*∈F(x*，λ)稱為F(H(λ)，λ)關(guān)于C的(PSVOP)中的含參超有效點(diǎn)， 設(shè)N(0)是Y的零點(diǎn)鄰域基， 若對(duì)?V∈N(0)， 都?U∈N(0)， 使得

cl(cone(F(H(λ)，λ)-x*))∩(U-C)?V

(PSVOP)中的含參超有效點(diǎn)的全體記為SE(F(H(λ)，λ)，C)．

命題1設(shè)X，Y，Z均為Hausdorff局部凸的拓?fù)渚€性空間，E?X為非空的緊子集， 且E為弧連通的，Λ?Z為非空的弧連通集，C?Y為閉凸點(diǎn)錐， 且C具有有界基B． 如果同時(shí)滿足下列條件：

則SE(F(H(λ)，λ)，C)， ?λ∈Λ是非空的連通集．

證若以下無特別說明， 都假設(shè)任意取定λ∈Λ，F(xiàn)(x，λ)均定義在H(λ)上．

由于E為弧連通的，Λ為弧連通的， 則由引理9可知，E×Λ也是弧連通的．

又因?yàn)楹瑓?shù)的目標(biāo)集值映射F在E×Λ是C-弧連通的， 且H(λ)×{λ}是弧連通的， 故F在H(λ)×{λ}是C-弧連通的． 即F(x，λ)在H(λ)上是C-弧連通的． 由引理2可知

F(H(λ)，λ)+C

是凸集． 由注2知，F(xiàn)(x，λ)是H(λ)上的C-類凸的映射． 又因?yàn)镃?Y是具有有界基B的凸錐， 所以由推論1知

SE(F(H(λ)，λ)，C)=∪h∈int(C*)PE(F(H(λ)，λ)，h)

SE(F(H(λ)，λ)，C)≠?， ?λ∈Λ

又由引理3知， ?λ∈Λ，

SE(F(H(λ)，λ)，C)=SE(F(H(λ)，λ)+C，C)=SE(conv(F(H(λ)，λ))，C)≠?

下面證明SE(F(H(λ)，λ)，C)為連通集， 證明過程分為3部分．

首先定義集值映射

并令

φ(h)=PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)

對(duì)?h∈int(C*)， 設(shè)

PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)={y*∈(conv(F(H(λ)，λ)))|h(y*)≤h(y)， ?y∈F(H(λ)，λ)}

因?yàn)镻E(F(H(λ)，λ)，h)≠?， 由引理5可知

PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)=PE(F(H(λ)，λ)，h)≠?

任取y1，y2∈PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)，t∈(0， 1)， 則有

y1，y2∈conv(F(H(λ)，λ))

設(shè)y=ty1+(1-t)y2， 因?yàn)閏onv(F(H(λ)，λ))是凸集， 所以y∈conv(F(H(λ)，λ))， 且對(duì)?z∈conv(F(H(λ)，λ))， 有

h(y)=h(ty1+(1-t)y2)=th(y1)+(1-t)h(y2)≤th(z)+(1-t)h(z)=h(z)

即y=ty1+(1-t)y2∈PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)． 因此PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)為凸集， 從而PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)為連通集．

故φ(h)=PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)也為連通集．

φ(hα)?V?α∈Δ

由于F(H(λ)，λ)是弱緊集， 不失一般性， 故可以假設(shè)網(wǎng){yα：α∈Δ}， 使得

且yα∈φ(hα)， 但是

yα?V?α∈Δ

(1)

又由于V是開集， 因此y0?V．

由推論1和引理3可得，

yα∈φ(hα)=PE(conv(F(H(λ)，λ))，hα)?SE(conv(F(H(λ)，λ))，C)=SE(F(H(λ)，λ)，C)

因?yàn)閥α∈φ(hα)， 則有

hα(yα)≤hα(z) ?z∈conv(F(H(λ)，λ))

(2)

設(shè)K： =F(H(λ)，λ)， 由于K是弱緊的， 因此，K是弱有界的． 再由引理8可知，K是Y中的有界集．

定義

PK(h*)=sup{|h*(y)|：y∈K}，h*∈Y*

從而對(duì)?α≥α0， 有

因此， 對(duì)?y∈K， 有

且有

(3)

(4)

由(3)式和(4)式得

于是

對(duì)(2)式兩邊同時(shí)取極限， 得

h0(y0)≤h0(z) ?z∈conv(F(H(λ)，λ))

yα∈V?α≥α2

這與(1)式矛盾， 故所定義的集值映射φ在int(C*)上是上半連續(xù)的．

綜上， 由引理7知， ∪{φ(h)：h∈int(C*)}是連通的． 即∪h∈int(C*)PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)是連通的． 又由推論1和引理5可得

SE(F(H(λ)，λ)，C)=∪h∈int(C*)PE(F(H(λ)，λ)，h)=∪h∈int(C*)PE(conv(F(H(λ)，λ))，h)

故SE(F(H(λ)，λ)，C)是非空的連通集．

定理1設(shè)X，Y和Z均為Hausdorff局部凸的拓?fù)渚€性空間，E?X和Λ?Z均為非空的弧連通緊子集，C?Y為閉凸點(diǎn)錐，C具有有界基B． 如果同時(shí)滿足下列條件：

則∪λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)是非空的連通集．

證定義集值映射

使得T(λ)=SE(F(H(λ)，λ)，C)． 由命題1可知， 對(duì)于?λ∈Λ，T(λ)=SE(F(H(λ)，λ)，C)≠?， 因此， ∪λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)≠?．

下面將證明過程分為3步進(jìn)行：

由命題1知， 對(duì)于?λ∈Λ，SE(F(H(λ)，λ)，C)是連通的， 因此

T(λ)=SE(F(H(λ)，λ)，C)

是連通的．

T(λi)?V?i∈I

即?{yi：i∈I}， 使得

yi∈T(λi)，yi?V?i∈I

(5)

其中I為指標(biāo)集． 由推論1和引理5知

SE(F(H(λ)，λ)，C)=∪h∈int(C*)PE(F(H(λ)，λ)，h)

又由于

SE(F(H(λ)，λ)，C)=∪h∈CΩPE(F(H(λ)，λ)，h)

故有

T(λi)=∪h∈CΩPE(F(H(λi)，λi)，h)

由于yi∈T(λi)， 則?hi∈CΩ， 使得

yi∈PE(F(H(λi)，λi)，hi)

因?yàn)榫W(wǎng){hi}?CΩ， 且由CΩ是緊的， 不妨設(shè)h0∈CΩ， 使得

從而有

hi(yi)≤hi(vi)， ?vi∈F(H(λi)，λi)

(6)

由于H(λ)及F(x，λ)均是下半連續(xù)的， 故由引理10知，F(xiàn)(H(λ)，λ)關(guān)于λ是下半連續(xù)的， 從而， 對(duì)于?v0∈F(H(λ0)，λ0)， ?vi∈F(H(λi)，λi)， 使得

記L： =∪λ∈ΛF(H(λ)，λ)． 因?yàn)镚是上半連續(xù)的， 且G(λ)=F(H(λ)，λ)是弱緊的， 故L是弱緊的． 因此，L是弱有界的． 又由引理8可知，L是有界的．

這里定義

PL(h)=sup{|h(y)|：y∈L}，h∈Y*

即有

(7)

(8)

由(7)式和(8)式得

?i≥i0， ?i≥i1

因此

對(duì)(6)式兩邊同時(shí)取極限得

h0(y0)≤h0(v0) ?v0∈F(H(λ0)，λ0)

yi∈V?i≥i2

這與(5)式矛盾． 故T在Λ上是上半連續(xù)的．

綜上所述， 由引理7知， ∪λ∈ΛSE(F(H(λ)，λ)，C)是連通的． 證畢．