一類Hill型估計量分布的次漸近逼近①

陳艾谷， 彭作祥

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

(1)

其中矩統計量

(2)

本文主要結論如下:

(3)

(4)

(5)

其中

以及

(6)

其中

為了證明本文結論， 先給出如下3個引理：

引理1令(2)式成立． 對x>0且x≠1， 有

(7)

證由(2)式易得

再結合(2)式， 引理1得證．

引理2令(2)式成立． 對任意ε>0， 存在一個函數A0～A和充分大的t0使得對t≥t0，x≥1， 一致地有

(8)

證由(2)式易知logU(x)-γlogx∈ERVρ， 結合文獻[14]中定理B.2.18可得， 對任意ε>0， 存在一個函數A0～A以及充分大的t0使得對t≥t0，x≥1， 一致地有

結合三角不等式可得

由拉格朗日中值定理和Potter界可得

結合引理1得證．

(9)

(10)

定理1的證明令{Yi，i≥1}為獨立同標準帕累托分布的隨機變量序列， {Yi，n， 1≤i≤n}為其升序統計量． 由全概率公式和文獻[9]中引理2可得

(11)

其中

以及

其中Var(V1)<∞． 由引理3可得

(12)

由切比雪夫不等式可得

(13)

那么

定理2的證明由全概率公式， 文獻[9]中引理4可得

由(11)-(13)式， 定理2得證．

由定理2和引理3知， (5)式成立． 結合(5),(10)式知(6)式成立．