裝配式鋼-混組合梁橋振動(dòng)頻率的簡化計(jì)算

[摘? 要]：為確定裝配式鋼-混組合簡支梁橋的振動(dòng)頻率的簡化計(jì)算方法，文章根據(jù)D′Alembert原理，以慣性力法推導(dǎo)了此類橋梁的豎向彎曲振動(dòng)振動(dòng)頻率計(jì)算公式和考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的橫向振動(dòng)頻率計(jì)算公式，并選取6座不同跨徑、不同主梁數(shù)和不同主梁高度的裝配式鋼-混組合簡支梁橋，分別采用推導(dǎo)公式、推薦公式、規(guī)范公式和ANSYS有限元分析軟件對(duì)其自振頻率進(jìn)行了計(jì)算分析，分析結(jié)果表明：推導(dǎo)公式用于鋼-混組合簡支梁橋的振動(dòng)頻率的計(jì)算，所得結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合良好;式（10）～式（12）計(jì)算誤差較大，不宜用于鋼-混組合簡支梁橋的豎向彎曲振動(dòng)頻率的計(jì)算;JTG D60-2015《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》推薦的簡支梁橋的自振頻率計(jì)算公式可用于計(jì)算鋼-混組合簡支梁橋的自振頻率，且計(jì)算結(jié)果與有限元法所得結(jié)果吻合良好。所得結(jié)論可為同類型橋梁的自振頻率估算提供理論依據(jù)。

[關(guān)鍵詞]：橋梁工程; 自振頻率; 有限元法; 鋼-混組合梁; 裝配式; 能量法

U 448.21+6A

裝配式鋼-混組合梁橋以其施工周期短、裝配化程度高及全壽命周期經(jīng)濟(jì)性好等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)有橋梁中所占比例越來越大[1-2]。

對(duì)于裝配式鋼-混組合梁橋的靜力學(xué)性能方面的研究，國內(nèi)外學(xué)者主要集中于荷載橫向分布系數(shù)計(jì)算[4-6]、抗彎承載力計(jì)算[7]及考慮混凝土和鋼材2種材料間相對(duì)滑移的撓度和剪力釘受力性能計(jì)算[8-9]。在動(dòng)力學(xué)研究方面，國內(nèi)外學(xué)者主要集中于振動(dòng)特性的控制[10]、車-橋耦合動(dòng)力沖擊[11]及車輛作用下疲勞特性的研究[12]。研究采用的方法大多為有限元法。

現(xiàn)有研究成果對(duì)于裝配式鋼-混組合梁橋的自振特性的研究較少?，F(xiàn)行規(guī)范中，對(duì)于鋼-混組合梁橋的自振頻率的計(jì)算也未明確給出計(jì)算公式，JTG D60-2015《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》建議使用有限元法計(jì)算橋梁的自振頻率，且對(duì)于常規(guī)的預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋的自振頻率計(jì)算給出了估算公式。但時(shí)有限元模型的建立費(fèi)時(shí)費(fèi)力且對(duì)于計(jì)算結(jié)果的正確性較難把握，估算公式是否適用于裝配式鋼-混組合梁橋的自振頻率計(jì)算，尚未可知。因此，本文通過對(duì)裝配式簡支鋼-混組合梁橋的豎向自由振動(dòng)頻率及橫向振動(dòng)頻率計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并通過多參數(shù)變化的裝配式鋼-混組合梁橋算例，對(duì)比了本文推導(dǎo)公式和有限元法、集中折算質(zhì)量法、能量法和規(guī)范估算公式的自振頻率計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。所得結(jié)果可為同類橋梁的自振頻率的計(jì)算提供理論參考。

1 簡支鋼-混組合梁的豎向自由振動(dòng)

如圖1所示跨徑為L的鋼-混組合簡支梁橋，其沿跨徑方向的單位長度質(zhì)量和抗彎剛度分別為m（x）和EsIcb（x），其上作用有隨x和時(shí)間t變化的橫向荷載q（x，t），荷載作用下梁截面在t時(shí)刻的撓度為z（x，t）。取梁段某長度為dx的微元段作為研究對(duì)象，分析簡支鋼-混組合梁的豎向彎曲振動(dòng)特性。

依據(jù)初等變形理論，微元體受力如式（1）所示的關(guān)系。

M=EsIcb2zx，tx2

Q=Mx

qx，t=Qx（1）

根據(jù)D′Alembert原理，以慣性力法建立鋼-混組合簡支梁系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程如式（2）所示。

EsIcb4zx，tx4=m2zx，tt2（2）

根據(jù)分離變量法，引入位移函數(shù)Z（x）和時(shí)間函數(shù)T（t）并引入變量u2=m/EsIcb表示式（2），則有：

Z′xZx=-u2T··tTt（3）

欲使得式（3）成立，顯然，當(dāng)左右兩邊關(guān)于不同變量參數(shù)的部分均為常數(shù)時(shí)，等式成立。因此為方便式（3）的求解，引入常數(shù)j4并令：

工程結(jié)構(gòu)王乾波： 裝配式鋼-混組合梁橋振動(dòng)頻率的簡化計(jì)算

Z′xZx=-u2T··（t）T（t）=j4（4）

Z（x）=esx（5）

將式（4）和式（5）代入式（3）關(guān)于位移的函數(shù)有：

esxs4-j4=0（6）

式（6）解的一般形式為：

Z（x）=Asin（jx）+Bcos（jx）+Csinh（jx）+Dcosh（jx）（7）

代入梁端邊界條件，易得系數(shù)A=B=C=0，則式（7）為Zx=Asinjx，顯然，為使式（7）有意義，A≠0，而根據(jù)簡支梁的邊界條件，當(dāng)x=L時(shí)，sin（Lx）=0，因此則有：

j=rπL（8）

式中：r為鋼-混組合梁的自由振動(dòng)階數(shù)，當(dāng)r=1時(shí)，所求振動(dòng)頻率即為結(jié)構(gòu)的基頻。

求鋼-混組合簡支梁的豎向自由振動(dòng)頻率計(jì)算公式為：

fr=ji22πu=r2π2L2EsIcbm（9）

對(duì)于簡支梁豎向自由振動(dòng)頻率的計(jì)算，文獻(xiàn)[14]推薦了2種及近似計(jì)算方法，其分別為基于集中折算質(zhì)量法的式（10）和基于能量法分別取撓度曲線和二次拋物線為第一階振型的式（11）和式（12），而JTG D60-2015《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》提出，可使用式（13）來估算簡支梁橋的自振頻率。

f=9.8652πL2EIm（10）

f=9.872πL2EIm（11）

f=10.952πL2EIm（12）

f=π2L2EIm（13）

2 簡支鋼-混組合梁的橫向振動(dòng)

前文對(duì)于簡支鋼-混組合梁的豎向振動(dòng)的推導(dǎo)過程中，并未考慮梁截面在振動(dòng)過程中的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，即是基于歐拉梁理論進(jìn)行的推導(dǎo)。而對(duì)于高跨比較大的簡支鋼-混組合梁橋的自振頻率的計(jì)算，其剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響較大，一般不容忽略。因此，本節(jié)推導(dǎo)考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡支鋼-混組合梁的橫向振動(dòng)計(jì)算公式。簡支鋼-混組合梁的縱向受力與圖1一致，考慮剪切變形的微元體受力示意如圖2所示。

設(shè)截面轉(zhuǎn)角為φ，剪切角為β，則考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的時(shí)，梁的軸線轉(zhuǎn)角如式（14）所示。

zx=β+φ（14）

依據(jù)小變形理論和力的平衡，并不計(jì)高階微量有：

Qx+qx，t-m2t2zx，t=0（15）

Mx-Q+ρsIcbx2φx，tt2=0（16）

式中：ρs為鋼材的密度。

根據(jù)初等梁的彎曲理論有：

Q=j′AeGeβ（17）

M=-EsIcbφ（x，t）x（18）

式中：j′為截面的有效剪切系數(shù)，Ae為組合梁換算截面面積，Ge為組合梁換算截面剪切彈性模量。

將式（14）、式（17）和式（18）分別代入式（15）和式（16）得：

m2z（x，t）t2-q（x，t）-xj′AeGezx-φ=0（19）

ρsIcbx2φx，tt2-j′AeGezx-φ-xEsIcb2φx，tt2（20）

式（20）對(duì)x求導(dǎo)有：

xρsIcb2φx，tt2-xj′AeGezx-φ

-2x2EsIcb2φx，tt2=0（21）

將式（19）代入式（21）并整理得考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的梁的橫向彎曲動(dòng)力方程如式（22）所示。

ρsIcb4zx，tx2t2+ρsIcbj′AeGe-EsIcbj′AeGe2t2qx，t-m2zx，tt2

-qx，t-m2zx，tt2-EsIcb4zx，tx4=0（22）

假定振型函數(shù)和位移隨時(shí)間簡諧變化的模式為：

φx=CnsinnπxL（23）

zx，t=φxsinωt（24）

將式（23）、式（24）代入式（22），并令p4=f2m2πEsIcb，ρsIcb=mi2，整理得：

p4i2p4i2-Esj′Ge-1+Esj′GerπL2-p4+rπL4=0（25）

式中：i為慣性半徑，其值為Icb/Ae。

對(duì)式（25）求解，即可得到簡支鋼-混組合梁的橫向振動(dòng)頻率計(jì)算公式：

f=rπL2EsIcbmrπL2i2+EsIcbj′AeGe+1（26）

3 算例

3.1 橋梁概況

為綜合驗(yàn)證不同跨徑和截面特性的鋼-混組合梁橋的自振頻率，選取不同跨徑、主梁高和主梁數(shù)的鋼-混組合簡支梁橋作為研究對(duì)象[6]，對(duì)其在不同方法計(jì)算下的自振頻率計(jì)算值進(jìn)行分析。鋼-混組合梁橋混凝土橋面板為C50混凝土，厚度為20.5 cm，彈性模量、泊松比和密度分別取26 GPa、0.25和2 400 kg/m3。鋼主梁頂、底板寬均為40 cm，頂、底板及腹板厚度分別為15 mm、25 mm和10 mm，鋼主梁為Q345c鋼板，彈性模量、泊松比和密度分別取200 GPa、0.3和7 850 kg/m3。橋梁參數(shù)如表1所示，橋梁縱、橫截面示意如圖3所示。

3.2 有限元模型的建立

采用有限元分析軟件ANSYS建立實(shí)體單元有限元模型，實(shí)體單元選用solid45單元。所建模型中，混凝土與鋼主梁共節(jié)點(diǎn)，不考慮兩種材料間的相對(duì)滑移。主梁下翼緣板底板節(jié)點(diǎn)處設(shè)置支承約束用以模擬支座作用。該建模方法已在文獻(xiàn)[4，6]中驗(yàn)證了其正確性。所建立2號(hào)橋梁的有限元模型如圖4所示。

3.3 截面特性計(jì)算

組合截面梁截面計(jì)算時(shí)，應(yīng)進(jìn)行組合梁翼緣有效寬度計(jì)算[15]，文中組合梁截面的翼緣板有效寬度計(jì)算參考JTG D64-2015 《公路鋼結(jié)構(gòu)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范》中的附錄F進(jìn)行計(jì)算，通過計(jì)算知，文中的6座鋼-混組合截面橋梁的組合梁翼緣有效寬度為全截面利用。另外，11.1.3節(jié)第2條指出，對(duì)于剛-混組合截面進(jìn)行截面特性計(jì)算時(shí)，宜采用換算截面法進(jìn)行計(jì)算，即在保證截面換算前后組合截面形心高度不變的前提下，將混凝土橋面板換算成與鋼主梁相同材料的鋼材。截面換算示意如圖5所示。其中，hc為換算前截面的混凝土橋面板厚度，beff為翼緣板的有效寬度，bs為換算后鋼梁的翼緣板寬度，hs為換算后鋼翼緣板的厚度，zc和zs分別為鋼主梁底面到混凝土橋面板形心和鋼主梁形心的距離。

組合梁截面慣性矩計(jì)算公式如式（27）所示。

Icb=∑ni=1Icα+Is+AcAsαAs+Ac（zc-zs）2（27）

式中：Icb為組合梁截面慣性矩;n為主梁數(shù);Ic為主梁混凝土橋面板的慣性矩;α為鋼材和混凝土彈性模量比;Is為但鋼主梁截面的慣性矩;Ac為混凝土橋面板截面面積;As為鋼主梁截面面積。

通過式（27）計(jì)算所得各橋梁的截面特性如表1所示。

4 振動(dòng)頻率計(jì)算結(jié)果分析

采用ANSYS求解到1號(hào)橋的前四階振型如圖6所示。

采用不同方法計(jì)算得到的各橋梁的振動(dòng)頻率如表2所示。

從表2中可看出，對(duì)于一階豎向彎曲振動(dòng)的頻率，采用式（9）和式（13）計(jì)算出的一階豎向彎曲振動(dòng)頻率一致，其與ANSYS計(jì)算出的基頻的最大誤差為7.99%;式（10）～式（12）計(jì)算得到的豎向彎曲頻率與ANSYS計(jì)算的基頻的最大誤差分別任26.83%、26.77%和27.83%;式（9）計(jì)算得到的二階豎向彎曲頻率與ANSYS結(jié)算結(jié)果間最大誤差為6.01%;式（26）計(jì)算得到的一階、二階橫向彎曲振動(dòng)頻率與ANSYS結(jié)算結(jié)果之間最大相差4.77%和8.90%?？梢姡疚耐茖?dǎo)的組合梁橋的頻率計(jì)算公式具有較好的精確性，但文獻(xiàn)[14]推薦的豎向彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算方法與有限元法計(jì)算結(jié)果之間誤差較大，JTG D60-2015《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》推薦的豎向一階彎曲振動(dòng)頻率計(jì)算公式有較高的精確度。

5 結(jié)論

（1）所推導(dǎo)組合梁橋的豎向和橫向振動(dòng)頻率計(jì)算公式與ANSYS計(jì)算結(jié)果吻合良好，具有較好的計(jì)算精度，可作為同類型橋梁振動(dòng)頻率的計(jì)算依據(jù)。

（2）式（10）～式（12）較有限元法計(jì)算誤差較大，不宜用于組合簡支梁橋的自振頻率計(jì)算。

（3）式（13）用于計(jì)算組合簡支梁橋的豎向彎曲振動(dòng)基頻具有較高的計(jì)算精度。

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