“互聯網+”高中數學幾何探究性實驗教學的實踐與研究

◎ 海南省海口市海南華僑中學 李玉玲 李紅慶

從廣義來講，高中幾何教學涉及高中數學的方方面面，既包括狹隘意義的立體幾何、解析幾何，也包括廣義意義的函數的圖像、解三角形的測量問題，還包括充當代數與幾何橋梁的向量幾何。幾何探究性實驗教學既可以選擇購置幾何模型或動員學生自做幾何模型進行動態演示，也可以應用沙盤、塑泥手工作業來動手演示，還可以借助信息技術進行探究性實驗。在“互聯網+”環境下，上述幾何探究性教學實驗都可以云計算和在網絡畫板上完成，保持了探究性實驗的原汁原味，也可以直觀演示和記錄動態軌跡?，F談一談在網絡畫板環境下高中數學幾何探究性實驗教學的一些實踐與研究。

一、立體幾何探究性實驗教學的實踐與研究舉隅

1.立體幾何探究性實驗教學。立體幾何探究性實驗教學選取問題常常具備3個特征：不具備條件完備性、結論的不確定性和思維過程的發散性。設計這類問題要從構建背景新穎、思辨性靈活和體現核心素養等方面考量，進而培育學生的創新與探究意識。

例：如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是直角三角形，其中AB⊥BC，AB=3m，BC=4m，CC1=4n，M、N分別BB1和AA1的中點。

圖1

(1)探究：CN⊥平面CMN在什么條件下成立；

(2)當點O在平面C1A上移動時，求點O在何處，且λ=m:n為何值時球O是直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球。

探究性實驗：①通過網絡畫板計算功能，分別計算CN、CN1、CC1的長度，檢驗是否滿足NC2+CN2=CC12，由勾股定理的逆定理來判斷CN⊥NC1是否成立，同樣檢驗CN⊥NM是否成立。

②根據外接球的性質，過△ABC的外心O1，作底面ABC的垂線O1O2，球心O在此直線上，拖動點O，發現當點O是O1O2的中點時，且λ是任意正數。

探究性實驗必須與課堂教學實際情境以及學科素養相融合，盡量把探究性實驗定位在“輔助性”教學位置上，讓學生能運用到紙質環境下的思考與操作。

2.立體幾何折疊探究性實驗教學。立體幾何探究性實驗教學也經常選取折疊問題，它包含了數學建模、邏輯推理和直觀想象等數學核心素養，通過探究性實驗，讓學生親自參與體驗折疊問題中平面圖形的不變量、不變位置關系，空間圖形中出現變化量與變化位置關系，培育學生的空間想象能力與創新意識。

圖2

圖3

(1)判斷χ取什么值時，A1F⊥平面BED；

(2)拖動χ的值，觀察二面角B-A1D-F的隨χ的變化規律。

探究性實驗：①先拖動平面A1EF，使得θ=90o，再拖動χ觀察圖形的變化，發現當χ=1/3左右時，EF⊥AB，此時，易知A1F⊥FE，A1F⊥BF，從而得到結果。

②拖動χ觀察二面角B-A1D-F的大小隨著χ的變大而變小，當χ→1時，二面角B-A1D-F的大小趨近于0。

探究性實驗教學的主要目的是培養學生動手實際操作與真實感受立體幾何中的點、線、面的位置關系，教學重點不是解決具體的計算問題，而是親歷體驗幾何圖形?；谶@種想法，還把點A1設置在線段AP間移動，由拖動b和點P來演示變式情形下探究性實驗教學。

二、解析幾何探究性實驗教學的實踐與研究舉隅

1.解析幾何探究性實驗教學。解析幾何中探究性實驗教學選取問題常常具備4個特征：條件開放、結論不確定性、圖形難畫和涉及平面幾何性質難找。同時也考查學生數學運算、邏輯推理和直觀想象等核心素養，特別是數學運算還須具備靈活運算手段與方法的選擇優化。

例：如圖4，已知橢圓C：χ2/4+y2=1，設直線l經過點P(1,0)、Q(4,0)，l與C相交于兩點A(χ1,y1)，B(χ2,y2)，直 線AQ與C另 一交 點D(χ3,y3)，直 線BQ與C另一交點E(χ4,y4)，若直線DE經過點M(2.5,3)，求l的方程。

圖4

探究性實驗：拖動變量m，觀察發現直線l與DE是傾斜角互補，即斜率是相反數，當然這個發現需要通過運算來檢驗。但可以先設直線DE的方程為χ=-my+t，最后來驗證直線l的方程是χ=my+1。再拖動變量m，當直線DE經過點M時，估計的值m為-0.5。這個實驗的驗證應選擇適當算法才能簡捷解決，否則運算相當復雜。

算法梳理：第一步，聯立方程χ=-my+t和χ2+4y2=4，消去χ，得到關于y的二次方程，根據韋達定理，得到兩根和、積關系式；第二步，由Q和D兩點得到直線QD的方程，與C的方程聯立，得到點A的坐標，同理得到點B的坐標；第三步，根據點A、P、B三點共線，得到直線l的方程為χ=my+1，也得到t=1；第四步，將點M的坐標代入方程χ=-my+1，得m=-0.5。

2.解析幾何精準畫圖探究性實驗教學。圖形難畫、問題難想也是解析幾何探究性實驗教學需要著重考慮的問題，有些問題看似好理解，真正透徹講清晰也是很難的。如果借助網絡畫板進行探究性實驗教學，那么這樣的問題就能迎刃而解。

例：（深圳市2022調研試題11題）已知圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖5所示的兩條拋物線，記這兩條拋物線的焦點到對應準線的距離分別為p1、p2，則 。

圖5

探究性實驗：考慮圓C1與圓A外切情形時，點C1到點A的距離為r1+1，其準線為χ=-1；考慮圓C2與圓A內切情形時，點C1到點A的距離為r2-1，其準線為χ=1，實驗結果可以由圖6清晰呈現。

圖6

先拖動點C1，圓C1總是與圓A內切，與直線l相切，點C1形成軌跡是外圍拋物線；再拖動點C2，圓C2總是與圓A外切，與直線l相切，點C2形成軌跡是里面拋物線。

運用代數運算及變換解決橢圓、雙曲線的離心率問題是通常的方法，但在解客觀題中把條件轉化成平面幾何問題，利用平面幾何的性質進行求解就會起到四兩撥千斤的作用，簡捷、直觀、清晰地得到結論。

圖7

網絡畫板是張景中院士的研究團隊為幾何探究性教學量身打造互動交流平臺，在立體、解析幾何上非常好用，只要用心思考也可以用在代數、三角函數、向量幾何等模塊中。

三、向量幾何探究性實驗教學中的實踐與研究舉隅

1.用向量探究平面幾何問題實驗教學。向量幾何在數學中起到聯系代數與幾何的橋梁作用，屬于數學工具性內容。它能簡捷表示點、線、面的位置關系，又有代數運算的功能。因此，以向量幾何為背景的探究性實驗教學更需要實踐與研究。

圖8

2.用平面幾何探究向量問題實驗教學。向量幾何具有工具性，用向量解決平面幾何、三角函數、解析幾何的問題比較直觀、簡捷。但向量表示三角形的四心，除了三角形的重心可借用向量的基本定理，由線性表示外，其他的外心、內心、垂心用向量的基本定理表示還是比較困難的，對比可以借用平面幾何的性質和正余弦定理結合向量的基本定理進行表示。

圖9 （a）

圖9（b）

圖9 （c）

四、其他幾何探究性實驗教學的實踐與研究舉隅

1.導數幾何探究性實驗教學。應用導數研究函數性質的大量試題中需要求參量的取值范圍，這類試題由于選擇是超越函數，函數圖像形狀復雜，關鍵的極值、間斷點、最值點難求。雖然應用導數的確可以描述函數圖像的大致走勢，但實際計算過程也相當復雜。因此，通過網絡畫板進行探究性演示實驗教學可以幫助學生從根本上理解函數圖像，理解應用導數研究函數的意義。

例：已知函數?(χ)=(χ+1)e-mχ(1-χ)-1對于任意的x∈(0,1)，恒有?(x)＞1，求實數m的取值范圍。

探究性實驗：如圖10所示，拖動變量m時，由小到2時，觀察函數在區間(0,1)內圖像，函數值均大于1；當拖動變量m時，由2到無窮值時，觀察函數在區間（0,1）內的圖像，圖像變得很復雜，總有小于1的情形。有時也可以通過演示實驗發現實驗結束與純理論計算結果不吻合，探究性實驗不僅有輔助教學作用，其實幾何探究性實驗還有檢驗性作用。

圖10

2.三角函數幾何探究性實驗教學。三角函數具有函數的共性，但也有自身的個性，尤其是剛接觸弧度制時，學生不理解開始時弧度制的角是繞著原點旋轉而成，作圖像時又是以x軸為角。建立弧度制就要讓角由實數表示，嚴格意義上講弧度本身是沒有單位，它的含義是弧長長度與半徑長的比值，這個比值就是沒有單位，相對于角度制的度，就建立了弧度制的弧度。在三角函數中，幾何探究性實驗的重點在于探究弧度與函數圖像的關系。

例：設計一個模型，能幫助初學者理解弧度制的三角函數圖像。

探究性實驗：如圖11所示，以Hz為軸作底面半徑為1的圓柱側面，在圓柱側面繞一個螺旋曲線，把這條曲線壓縮到底面，就形成了弧度制為單位的角。再設一條y軸，曲線在y軸的投影就是對應的函數值，把曲線拉長放在x軸上就成了以弧度為單位的橫軸了。做成實物模型，教師注意誘導分析，學生就能理解以弧度制為單位的三角函數圖像。

圖11

3.不等式幾何探究性實驗教學。啟發于教材關于兩個正數的均值不等式的模型構造（圖12 a），在探究性實驗教學中設計了三個正數的均值不等式模型（圖12b），先拖動m與n的值，讓學生觀察EG、GF、EF的長度有什么規律？在什么情形下能使EF=EG+GF。此時，發現m與n有什么關系？然后讓學生拖動a、b、c的值，把得到結論分享給同學。

圖12 a

圖12 b

幾何探究性實驗教學重點是理解事物的幾何形態的位置關系，培育學生的直觀想象能力與意識，使其借助圖形語言理解數學的抽象性。當然探究性實驗只是一種教學輔助工具，真正要把數學學好還需要學生具備熟練的運算能力和嚴謹的思維。