與時間相關的非線性拋物型方程的反源問題

王澤慧

(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來，許多學者對具有物理背景的偏微分方程進行了大量的研究[1-5]，這些研究絕大部分是針對正問題展開的，即研究解的存在性、唯一性以及穩定性.隨著科學技術的發展，實際應用領域提出了很多由果索因的問題，這些問題的一大特點是系統中的部分參數或狀態是未知的，這就是所謂的反問題.反問題的研究近年來在科學和工程的各個分支中起著越來越重要的作用，但是由于其不適定性，反問題的研究難度較正問題而言會更大些.本文所研究的反問題是對一個非線性拋物型方程在給定的積分附加條件下進行源項重構.

本文結構如下：首先，由于源項是僅與時間相關的，并且附加條件是與空間積分相關的，所以文章將原方程進行空間積分, 再將方程中的q(t)替換得到了與原問題等價的反問題, 隨后證明了該反問題解的唯一性、弱解存在性并且導出了誤差估計.

1 解的唯一性

本文研究了一類非線性拋物型方程的源項重構問題,模型為

(1)

其中：r(x),u0(x) 都為已知的光滑有界函數；k(u)為已知的非線性函數,且Lipschitz連續(不失一般性，假設k(0)=0)；q(t)是方程的未知源項系數；假設給定附加條件：

其中：ψ(t)為已知函數.本文將要討論如何根據上述信息來確定函數u和q.

為了便于研究問題(1),以下對區域Ω上任意給定的函數u,v定義L2內積以及范數分別為

引入測試函數空間：

V={φ:Ω→R;φ|?Ω=0,
‖φ‖+‖?φ‖+‖Δφ‖+
‖?φ·n‖?Ω<∞},

其中：n為邊界外法線向量.

對問題(1)中的偏微分方程在x∈Ω上進行積分，得

將(1)中的第一個方程與測試函數-Δφ相乘,在Ω上進行積分,且對第一項應用格林公式,有

(2)

接下來需要證明：如果這個變分問題有解,那么解是唯一的.

引理1假設r∈H1(Ω),ψ′∈L2(0,T),u0∈V，對?s有|k(s)|≤C(|s|+1)，則存在C>0,使得以下不等式成立,

證明令φ=u，并且在時間(0,t)上進行積分，可以將式(2)寫為

(3)

顯然,等式(3)左側第一項可寫為

由|?Ω|>0以及Friedrichs不等式[ 9],有

‖u‖≤C‖?u‖.

由于|k(s)|≤C(|s|+1)，利用Friedichs不等式可將式(3)左側第二項化為

對任意的函數z∈H1(Ω),以下不等式成立，

相應地,以下不等式也成立，

應用格林公式、r的正則性、Young不等式、Friedrichs不等式以及上式，可將式(3)右側項化為

整合以上不等式，同時考慮ε和η，使得ε+Cε·η足夠小，則對?t∈[0,T]，有

應用Gronwall不等式即可得證.

注條件|k(s)|≤C(|s|+1)并不難滿足.事實上，當k(s) Lipschitz連續,且k(0)=0時,有

|k(s)|≤|k(s)-k(0)|≤L|s|,

L>0是Lipschitz常數,故上述條件顯然成立.

定理1假設r∈H1(Ω),ψ′∈L2(0,T),u0∈V,那么變分問題(2)最多存在一個解.

證明假設變分問題(2)有兩個解u1,h1和u2,h2.令u:=u1-u2,h:=h1-h2.將兩個解分別代入式(2)進行相減,用u代替φ,并且在時間上進行積分得

(4)

對等式左側第三項,應用Friedrichs不等式以及Young不等式，有

(k(u1)-k(u2),Δu)≤
‖k(u1)-k(u2)‖‖Δu‖≤
C‖u‖‖Δu‖≤C‖?u‖‖Δu‖≤
Cε‖?u‖2+ε‖Δu‖2.

與引理1同理，等式(4)右側項可化為

將以上估計整合到一起.對任意的t有

同時考慮ε和η,使得ε+η·Cε足夠小,對?t∈[0,t]，有

應用Gronwall不等式得u=0,同時q=0,即u1=u2,q1=q2，證畢.

2 解的存在性

2.1 時間離散格式

此時,對式(2)進行離散化,得到如下逼近方案

(5)

引理2假設r∈H1(Ω),ψ′∈C([0,T]),u0∈V,對于?i∈{1,…,n},都存在唯一的(ui,hi)滿足式(5).

證明顯然,可將式(5)寫為

(6)

根據引理1,由r的正則性,k(u)的Lipschitz連續性以及H?lder不等式,有

對于式(6)右側三項，分別可做以下估計，

對上述估計進行整合，可得

等式左側表示V×V上的一個橢圓、連續、雙線性形式,等式右側是Hilbert空間V上的線性有界泛函.根據 Lax-Milgram定理[10],利用線性橢圓偏微分方程理論可得解的存在唯一性.

接下來進行(ui,hi)的穩定性分析.

引理3假設r∈H1(Ω),ψ′∈C([0,T]),u0∈V,則存在C和τ0,使得對?0<τ<τ0,有

證明令φ=uiτ,并對i進行連加,則可將式(5)寫為

(7)

等式(7)左側第一項有

根據引理1,利用Cauchy不等式、Young不等式、跡定理、以及Friedrichs不等式,可將等式(7)右側第二項化為

進一步,利用Cauchy不等式和Young不等式將等式右側第一項化為

將以上估計整合,得

同時取足夠小的ε和η使得ε+η·Cε足夠小,利用Gronwall定理,可得證.

引理4假設r∈H1(Ω),ψ″∈L2(0,T),u0∈V,則存在C和τ0，使得對?0<τ<τ0，有

證明在式(5)中,令φ=δuiτ,并對第i項進行連加,得

(8)

顯然,等式(8)左側第二項可寫為

根據引理2,利用H?lder不等式、Young不等式, 可將等式(8)右側第一項化為

同時,可將等式右側第二項化為

對上式進行整合，可得

取ε足夠小,則有

(ii)由引理2得

|qi|≤C(|ψi′|+‖Δui-1‖+‖ui-1‖)≤
C(‖Δui-1‖+‖ui-1‖)，

則

而由引理3得

2.2 弱解的存在性

引入分段線性時間函數un：

un(0)=u0,un(t)=
ui-1+(t-ti-1)δui,t∈(ti-1,ti].

定義階梯函數：

使用新的記號可將變分公式(4)寫為

(9)

定理2假設r∈H1(Ω),ψ″∈L2(0,T),u0∈V,則式(1)存在一組解(u,h),其中

u∈C([0,T],L2(Ω))∩L∞((0,T),V),

?tu∈L2((0,T),H1(Ω)),q∈L2(0,T).

證明(i)由引理3、4得

由文獻[10]可知，存在

u∈C([0,T],L2(Ω))∩L∞((0,T),V)

和子序列{un}，滿足

其中u是時間可微的且在[0,T]中處處收斂.

?tun??tu,t∈L2(0,T),u∈H1(Ω).

由于

類似地，可以得到

和

則有

當τ→0時，可得

接下來，對于?t∈(ti-1,ti)有

根據引理4(i)，可得

同理，根據k(u)的Lipschitz連續性、Friedrichs不等式以及引理3，可得

(iii)對式(3)在時間上進行積分得

上式對n取極限,有

對上式進行微分,且對第一項應用格林公式,得

-(??tu,Δφ)+(Δu,Δφ)-
(k(u),Δφ)=-q(r,Δφ)，

即得

?tu-Δu+k(u)=qr，

3 誤差估計

(10)

定理3假設r∈H1(Ω),ψ″∈L2(0,T),u0∈V,則存在一個常數C，滿足

證明首先,對等式(10)左側的第一項有

利用Cauchy不等式和Young不等式,對等式(10)右側的第一項可做以下估計

接著,對等式(10)右側第二項做以下估計,

將上述估計整合起來,并取足夠小的ε,則有

應用Gronwall不等式即可得證.

4 結語

本文研究了一個具有未知源函數的非線性拋物型問題.通過給定的積分附加條件對方程進行等價改寫，定理1證明了改寫后所得到的變分公式其解的存在唯一性；接著基于向后歐拉方法對變分公式進行了時間離散化，引理3及引理4導出了一系列先驗估計，同時定理2說明了變分問題解的存在性；最后，定理3對所研究的近似方法進行了誤差估計.