Volterra型微分-積分方程的數值格式構造及理論分析

羅紫洋, 安文靜, 張新東

(新疆師范大學 數學科學學院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Volterra型微分-積分方程(VIDEs)源于19世紀末20世紀初,是在競爭或人口增長模型中所引入的一類具有積分內核的方程.VIDEs中的積分項具有記憶性質[1],這一性質是其在物理領域有著廣泛應用的重要原因.例如: 粘彈性方程[2]、具有記憶性的熱傳導方程[3-4],以及核反應堆中的熱交換過程等.由于求解此類方程的解析解較為困難,因此研究此類方程的數值解具有重要的理論價值和實際意義.

處理微分-積分方程的主要方法為差分法.1897年,Volterra[5]在其著作中對該類方程的數值解法已有所研究.1974年,Brunner[6]采用隱式Runge-Kutta方法求解Volterra型微分-積分方程,并分析了此類方程數值解的穩定性.1992年,陳傳淼等[7]利用內積近似一類微分-積分方程的積分項,并對空間項采用有限元方法,得到了相應的誤差估計.1993年,湯濤[8]運用梯形求積技巧構造了一類微分-積分方程中積分項的數值格式,使其時間誤差收斂階可以達到Ο(τ3/2),并給出具體的理論分析.2005年,Shahmorad[9]基于Tau方法分析了線性Fredholm-Volterra型微分-積分方程的有效誤差.2006年,Amiraliyev等[10]在均勻網格中構建Volterra型微分-積分方程的數值格式,并證明該格式的時間收斂階為一階均勻收斂.2008年,徐大[11]在希爾伯特空間中分析驗證了有限差分方法求解線性Volterra型方程的穩定性; 同年,Tari和Shahmorad[12]基于勒讓德多項式研究二維線性Fredholm積分方程,并給出了數值格式的誤差邊界.2010年,Wazwaz[13]提出結合Laplace變換和Adomian分解法,構造非線性Volterra型微分-積分方程的數值格式,并通過實驗證明該方法的有效性; 與此同時,Zarebnia[14]利用Sinc方法求解Volterra型微分-積分方程,并驗證該方法所具有的優良性,不僅收斂速度較快,且不存在當使用其他數值方法時常見的不穩定問題.2021年,Cimen和Cakir[15]基于正交規則和積分恒等式構造了一類Fredholm型微分-積分方程一種新的差分格式,并分析證明該格式的穩定性和收斂性.2022年,Santra和Mohapatra[16]利用復合梯形公式逼近Volterra型微分-積分方程中的積分項,使其誤差時間收斂階為Ο(τ).

本文考慮如下Volterra型微分-積分方程(VIDE)：

(1)

其中：Ω=[0,L]×(0,T],空間L>0,且時間T>0；積分核K(x,t-s)在Ω上光滑且有界；f,φ,g1和g2為給定的光滑函數.

1 緊致差分格式推導

為方便起見,本文中不同地方的常數C可以代表不同的數值.給定兩個正整數M和N,定義h=L/M為空間變量x的步長,τ=T/N為時間變量t的步長,所以

xj=jh,j=0,1,…,M,
tn=nτ,n=0,1,…,N.

(2)

由復合梯形求積公式可得

(3)

其中：R為整個區間的截斷誤差.由

和中值定理可得

(4)

引理1[17]假設s(x)∈C6[a,b],則有

其中：ξj∈(xj-1,xj+1),j=1,2,…,M-1.

接下來對方程(1)進行逐項分析.對于方程(1)的時間項來說,利用Taylor展開，可得

(5)

對于方程(1)的空間項來說,

(6)

對于方程(1)的積分項而言,由式(3)和(4)可得

(7)

如果對方程(1)作用H算子，可得

進而由式(5)、(6)和式(7)可得

(8)

省去式(8)中的截斷誤差,當j=1,2,…,M-1且n=1,2,…,N時得到方程(1)的離散格式如下:

(9)

2 穩定性分析

本節將利用能量不等式的方法討論數值格式的穩定性,并證明數值格式為無條件穩定.首先給出一些符號說明和引理.定義Vh為空間網格函數,Vh={V|V=(V0,V1,…,VM),V0=g1(tn+1),VM=g2(tn+1)}.以下內積和范數在證明中將用到,

引理1[18]假設U∈Vh,則有

定理1緊致差分格式(9)是無條件穩定的,并且滿足如下不等式：

其中：C為常數.

(10)

對式(10)兩邊同乘HUn+1,并在Ω上積分可得

(11)

由引理1可知

由式(11)可得如下不等式，

(12)

接下來將用歸納法證明.由式(12)可知,當n=0時，

(HU1,HU1)≤

(HU0,HU1)+τ(Hf0,HU1).

再由柯西-施瓦茨不等式可得

‖HU1‖≤‖HU0‖+τ‖Hf0‖≤
C(‖HU0‖+‖Hf0‖).

假設對任意k,k≤n時結論成立,即

(13)

由式(12),當k=n+1時，有

由上述不等式,結合式(13)可得

其中,C為常數.定理1證明完畢.

3 誤差估計

其中,C為常數.

(14)

(15)

由引理1和式(15),有

(16)

類似定理1的證明,將采用歸納法.由式(16)可知,當n=0時，可得

假設對任意k,k≤n時，結論成立,即

(17)

由式(16),當k=n+1時，有

由上述不等式,結合式(17)可得

其中,C為常數.定理2證明完畢.

4 結論

本文通過有限差分方法構造了一類Volterra型微分-積分方程的數值格式,分析了格式的穩定性和誤差估計,得到其誤差收斂階為O(τ+h4).相較于解決該問題原有的數值格式,在空間收斂階上有進一步的提升.在今后的研究工作中,將以構建收斂速度更快,誤差更低的數值格式為目標,并將此方法應用到分數階微分-積分方程的數值求解.