VMD在信號分解中的K值確定方法

張 軍

(蘭州石化職業(yè)技術(shù)大學 質(zhì)量管理處，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

VMD(Variational Mode Decomposition，VMD)是一種自適應(yīng)、完全非遞歸的模態(tài)變分和信號處理方法，近年來被廣泛應(yīng)用于信號處理、故障診斷與預測、負荷預測等領(lǐng)域.該方法由Dragomiretskiy等[1]在2014年提出，可將信號分解為具有不同頻率的模態(tài)分量.VMD方法有效解決了EMD(Empirical Mode Decompesotion,EMD)模態(tài)混疊和端點效應(yīng)問題[2]，對噪聲具有更強的魯棒性.徐文宮[3]建立了滾動軸承缺陷的故障信號計算模型，對VMD和EMD故障特征提取性能進行比較，結(jié)果表明，與EMD相比，VMD能更準確地提取主要模態(tài).文獻[4]中也進行了類似的比較，得出了相同的結(jié)論.然而，VMD中有許多參數(shù)需要精確給定，否則效果不佳，但這些參數(shù)的確定目前沒有統(tǒng)一的理論依據(jù)，特別是對VMD分解層數(shù)K的確定，直接影響分解的有效性和正確性.此外，二次型懲罰因子α直接影響分解精度，一些學者使用不同優(yōu)化算法來解決這一問題[5-8].Zhang等[9]使用最大加權(quán)峰度指數(shù)作為優(yōu)化VMD蚱蜢算法的適應(yīng)度函數(shù).王新剛等[10]提出了優(yōu)化K值的變分模態(tài)分解(VMD)和粒子群優(yōu)化算法(PSO)優(yōu)化參數(shù)L,與M的最大相關(guān)峭度解卷積(MCKD)相結(jié)合提取滾動軸承故障特征頻率的方法.

該方法雖然在信號自適應(yīng)分解方面得到了很好的應(yīng)用，但仍存在K值選取不準確及選取困難等問題，從而會影響后續(xù)應(yīng)用效果.本文利用中心頻率法、相關(guān)系數(shù)和中心頻率均值法對VMD進行分析研究，找到分解的穩(wěn)定狀態(tài)，進而得到最優(yōu)解優(yōu)化的K值，該方法有效且能精確選擇VMD分解層數(shù)K值.

1 變分模態(tài)分解(VMD)

1.1 變分模型

VMD是一種新穎的信號時頻分析方法，對非線性、非平穩(wěn)信號處理效果良好.該方法本質(zhì)上是通過利用交替方向乘子法(Altermating Direction Method of Multipliers，ADMM)，將實際問題轉(zhuǎn)化為解決數(shù)學中的變分問題，確保每個模態(tài)的帶寬之和最小，每個模態(tài)中心頻率值各不相同[11-12].

只有當所有模態(tài)uk(t)之和等于原始信號f(t)，才能確保各個模態(tài)的帶寬為最小.采用Hilbert變換對每個模態(tài)uk(t)估計其單邊頻譜，再乘以中心頻率e-jωkt，得到求解變分問題的數(shù)學模型如下：

(1)

其中，ωk(t)為各模態(tài)的中心頻率值，δ(t)為狄拉克分布，k為模態(tài)分解層數(shù).

1.2 變分求解

將增廣拉格朗日函數(shù)引入求解過程，使約束型的變分問題變換為非約束型的變分問題：

(2)

其中，α是為了保證原始信號f(t)在高斯噪聲影響下重構(gòu)精度的懲罰因子，λ(t)是拉格朗日乘法算子.

利用ADMM方法計算增廣拉格朗日函數(shù)的最優(yōu)解，即可通過VMD方法將原始信號分解成K個窄帶本征模態(tài)分量函數(shù)[13].具體算法步驟如下：

(2)n=n+1，開始整個循環(huán)；

(3)更新每個模態(tài)的頻譜

(3)

(4)更新中心頻率

(4)

(5)更新拉格朗日乘子

(5)

其中，τ為拉格朗日乘子更新參數(shù).

(6)重復步驟(2)～(5)，直到滿足如下迭代條件

(6)

得到K個窄帶本征模態(tài)函數(shù)分量，迭代結(jié)束.若不滿足迭代條件，返回步驟(2).變分模態(tài)分解(VMD)對故障振動信號分解如圖1所示.

圖1 變分模態(tài)分解(VMD)對故障振動信號分解

2 分解層數(shù)K的選擇方法

2.1 中心頻率法

該方法首先通過選擇模態(tài)數(shù)K取2～10進行預分解，得到每個模態(tài)分量的頻率中心,如圖2所示，當相鄰模態(tài)的中心頻率接近時，被認為是信號過度分解.在這種情況下，最佳分解層數(shù)是中心頻率接近時前一項的K值，即可確定分解層數(shù)K值.圖2是以軸承故障振動數(shù)據(jù)為例進行分解對應(yīng)不同K值的頻率中心.

(a)分解層的中心頻率K=2

當K≥7時，發(fā)生過度分解的問題，因此取K=6.判斷方法需要單獨計算K值，不同K值下的中心頻率如圖3所示，對于K=7，在最大中心頻率之前，模式3、模式4、模式5和模式6的中心頻率非常接近，原因是模式混疊現(xiàn)象引起的過度分解.

2.2 皮爾遜相關(guān)系數(shù)(PCC)法

PCC(Pearson Correlation Coefficient,PCC)是判斷向量間相關(guān)性的一種方法.輸出值的變化范圍為-1到 1，其值為0時表示不相關(guān)，為-1時表示負相關(guān)，為1時表示正相關(guān).假設(shè)樣本的PCC為：

(7)

對軸承內(nèi)圈的故障振動信號進行VMD，VMD每個模態(tài)的PCC值如圖4所示.其中PCC閾值設(shè)置為 0.02，即PCC值大于0.02的模態(tài)認定為有效模態(tài)，PCC值小于0.02的模態(tài)認定為噪聲信號或者趨勢余項.當K=7、8、9、10、11時，PCC值均低于0.02，因此，最佳分解層數(shù)K=6.

圖 3 不同分解層K下信號各IMF的中心頻率

2.3 瞬時頻率均值法

對原始信號進行VMD產(chǎn)生K個模態(tài)，其中第i個模態(tài)的采樣點數(shù)為M，則第j個采樣點的瞬時頻率為fij.使用VMD對原始信號進行預分解，將得到的模態(tài)分量進行Hilbert變換.通過instfreq()函數(shù)計算各模態(tài)的瞬時頻率.

(8)

式中，N為第i個模態(tài)分量瞬時頻率個數(shù).

圖4 皮爾遜相關(guān)系數(shù)

通過計算得到各個模態(tài)的瞬時頻率，進而求得每個模態(tài)的瞬時頻率均值，根據(jù)其變化曲線判斷是否會出現(xiàn)過度分解，最終確定最佳分解層數(shù)K.VMD 模態(tài)分量為2～10時的瞬時頻率均值曲線如圖5所示.隨著K值增加，瞬時頻率均值曲線在K=7時發(fā)生彎曲，由原來的單調(diào)遞減變?yōu)閱握{(diào)遞增，此時即為VMD分解層數(shù)的最優(yōu)值，因此選取K=6為最佳參數(shù).當K>6時，從第7個模態(tài)開始，瞬時頻率跳變比較嚴重.因此通過計算各個模態(tài)的瞬時頻率均值解決K值的選取問題，獲得VMD的最佳分解層數(shù).

圖5 VMD 模式分量瞬時頻率的平均值

每個模型的包絡(luò)頻譜如圖6所示.其中每個模型的包絡(luò)頻譜分量為VMD，包括161.1 Hz的內(nèi)圈故障頻率和58.59 Hz的二次諧波頻率.采用同樣的方法，最終確定了故障信號的分解層數(shù)K=6，這與其他兩種方法的K值分析一致.

圖6 每種模式的包絡(luò)頻譜

3 結(jié)論

本文研究了VMD分解層數(shù)K值的確定方法，綜合分析選擇最佳分解層數(shù)K，有效解決K值不確定性帶來的困擾.該方法在信號處理過程中既能有效獲取模態(tài)分量，提取原始信號中的有效信息，又能濾除較為敏感的噪聲，為VMD在信號處理中的應(yīng)用提供參考.