耦合中心游移和雙權重因子的鯨魚算法及應用

程浩淼，王夢磊，汪 靚，章小衛

1.揚州大學 環境科學與工程學院，江蘇 揚州 225127

2.揚州大學 水利科學與工程學院，江蘇 揚州 225127

3.揚州大學 信息工程學院，江蘇 揚州 225127

群體智能算法是一類模擬生物種群生存行為（捕覓食、孵化等）的優化方法[1-2]。在近年逐漸興起的群體優化算法中，鯨魚優化算法（WOA）由于其獨特的螺旋更新方式及較強的全局搜索能力，迅速得到研究人員的廣泛關注。WOA 是2016 年由文獻[3]提出的一種新型群體優化算法，其通過模擬座頭鯨覓食過程中的包圍捕食、螺旋氣泡以及隨機游走搜索行為，以搜尋目標函數的最優解。在函數優化方面，該算法已被證實在求解精度、收斂速度等性能上優于粒子群（PSO）、蟻群（ACO）、人工蜂群（ABC）、灰狼（GWO）等群體算法[3-5]。

目前，WOA 已成功應用于化工機械設備優化設計[3，6]、拉伸/壓縮彈簧設計[3，7]、水資源優化[8]等領域。但在應用過程中，WOA 存在一定的收斂速度慢、易陷于局部最優等問題。基于此，國內外學者主要通過以下3個方面進行改進完善：（1）改進初始種群生成方式。文獻[9-11]通過混沌初始化策略，促進初始種群的多樣化；文獻[12]通過Sobol 序列生成不重復且均勻的點，來實現對解空間的全覆蓋；文獻[13-17]基于對立學習策略生成對立點，并根據適應度進行初始種群個體的精英選擇。（2）改進算法參數。部分學者通過優化算法參數，提高WOA 的收斂精度及速度，如：收斂因子a、收縮系數A等[10，18-21]；文獻[22-24]則將混沌理論、PSO權重等理論引入WOA 優化過程，實現算法參數的調整優化。（3）改進后期種群的聚集方法。在WOA 迭代后期，種群多樣性下降，所有個體趨向中心聚集，極易陷入局部最優；因此，對抗個體中心化的關鍵是增強種群后期的隨機游動。如文獻[25-27]分別引入共生生物（SOS）、萊維飛行（Levy）等搜索方式，以加強算法后期的全局搜索能力；文獻[28]將差分算法中的變異算子與WOA相結合提出混合算子，更好地平衡了后期的搜索和開發；此外，還有學者提出了柯西變異[12，17，29]、多項式變異[30]、高斯變異[5，17]等增強種群后期的隨機游動的方案。上述改進均在一定程度彌補了WOA的缺點，但在性能分析中，部分測試函數的性能確實有所提高，但往往對另一部分測試函數的計算性能反而下降，且在實際運用中仍存在易陷入局部最優的現象。

基于此，本文對WOA的初始種群生成方式、算法參數和后期種群的隨機優化方式進行改進：采用中心游移以及鄰域修正更新策略來提高初始解的質量；根據迭代過程前期偏全局搜索后期偏局部開發的特點對收斂因子a進行優化；引入PSO 權重策略，提出基于雙權重的隨機擾動策略調節個體的更新，防止算法陷入局部最優。最終提出了一種耦合中心游移和雙權重因子策略的改進鯨魚優化算法（C-A-WWOA）。本文在18種通用測試函數（單峰、多峰、固定維數多峰）進行了數值實驗和結果分析（尋優精度分析、誤差分析、高維函數優化分析、復雜度分析和3種改進策略的有效性分析）。同時，本文將提出的改進算法應用于兩個工程實際問題（壓力容器設計問題、拉伸/壓縮彈簧設計問題），并取得了很好的效果。

1 耦合中心游移和雙權重因子的鯨魚算法（CA-WWOA）

1.1 鯨魚算法（WOA）的基本思路

根據座頭鯨特殊的群體狩獵行為，將參與捕獵行為的每頭鯨魚視為種群個體x；將滿足條件的鯨魚個體作為一個候選解；將每次更新后最優鯨魚的位置作為獵物所在位置。在優化搜索過程中，WOA 采取3 種捕食策略的更新方式，即：包圍捕食、隨機搜索和螺旋氣泡。具體更新方式如下：（1）當捕食策略概率p<0.5 時，鯨魚群根據系數|A|選擇更新方式，當|A|≤1 時，鯨魚會在原始位置與最優鯨魚位置之間進行更新，鯨魚由原來的位置向獵物靠近（收縮包圍機制），即執行包圍捕食式（1），以實現局部開發；當|A|>1 時，即不滿足收縮包圍機制時，鯨魚群不再根據當前最優鯨魚位置進行更新，而是隨機選擇一個鯨魚位置進行隨機更新，即執行隨機搜索式（2），以實現全局搜索。（2）當p≥0.5 時，鯨魚以螺旋運動向最優鯨魚位置游動，并產生氣泡包圍獵物，完成狩獵，即執行式（3）的螺旋氣泡更新[3]。

1.2 C-A-WWOA的改進策略及算法流程

WOA相較于其他優化算法而言，優勢在于其操作簡單、調節的參數少。但是，WOA仍存在初始種群多樣性差、收斂速度慢、后期易陷于局部最優等問題[31]。針對上訴問題，本文提出了三點改進措施：第一使用中心游移種群初始化和邊界鄰域更新策略，保持種群的多樣性；第二利用收斂因子a調控并優化算法參數；第三模仿PSO的權重因子避免WOA后期種群陷于局部最優的問題。

1.2.1 耦合中心游移初始化及邊界鄰域更新策略（C-WOA）

（1）耦合中心游移的初始化策略

WOA 的種群初始化方式是隨機生成，該方法的種群個體質量往往會降低，會影響算法的求解速度[32-33]。對立學習策略已被證實是提高隨機優化算法初始解質量的一個重要策略，其通過生成對立點，進行初始解的擇優選擇[13-16]。此方式在搜索空間較小時，處理效果往往較好，但搜索空間較大時，該方法的作用就會被削減，并會大范圍的搜索空間點。本文通過中心游移公式對初始解進行隨機偏移，以此分隔定位尋優空間，并實現鯨魚個體當前最優位置的多點同步搜索，從而提升種群多樣性。該初始化流程為：生成初始解(xti,r)并計算其反向點式（4）；再根據式（5）對初始解進行中心游移，并通過其適應度值貪婪選擇。

（2）耦合邊界鄰域更新的修正策略

在迭代過程中，WOA 對于越界鯨魚的處理方式通常是使用臨近界限值代替。該方法在越界鯨魚數量較少時對種群影響較小，但若存在大量越界鯨魚時，采用以上處理方式就會降低種群多樣性及尋優效率[34]。故本文提出通過邊界鄰域更新方式對越界鯨魚位置進行修正，該方法通過在邊界內一段鄰域內生成隨機且均勻的點，來保持種群的多樣性。具體修正公式如下：

式中，U表示在區間上的均勻分布。

1.2.2 耦合非線性收斂因子的改進策略（A-WOA）

WOA主要有兩個調整參數（A和C）；它們決定了算法的收縮包圍能力，協調算法全局探索與局部搜索。根據A=2a·(r1?1)和C=2a·r2，A和C均會隨收斂因子a變化；當a值越大，算法的全局探索能力越強；當a值越小，算法的局部搜索能力越強。WOA 采取的a值是線性遞減，該方式會降低鯨魚種群的靈活性和多樣性[35]。為了更好地WOA 的平衡全局和局部尋優能力，本文采取多項式形式對a進行曲線擬合，通過對多項式參數進行測試和優化，以大幅度提高收斂精度。具體表達式如下：

式中，α、β、γ、λ為多項式參數，采用逐次逼近法依次對算法參數進行求解，其最優取值為α=?3.6,β=7.8,γ=?6.2 和λ=2.0。

1.2.3 耦合雙權重因子的隨機更新策略（W-WOA）

WOA會根據捕食策略概率p在圓環運動和螺旋運動之間進行切換，即：包圍捕食和螺旋氣泡更新，但兩種更新本質上都是鯨魚群對最優鯨魚位置的局部開發。在迭代后期，鯨魚種群不斷向最優鯨魚靠攏，逐步尋找最優解，但此過程是一種從全局到局部的變化過程，極易陷入局部最優。因此，本文借鑒粒子群算法（PSO）的權重因子ω策略，提出一種雙權重因子的隨機擾動策略。該策略通過兩個反向變化的權重因子（ω1和ω2）更新鯨魚，其中，ω1采用非線性遞減，使得其他鯨魚在最優鯨魚方向動態更新，進而一定程度上增大了種群多樣性，ω2采用非線性遞增，隨著迭代過程的進行，其他鯨魚獲得更大的隨機更新步長，以滿足其在大范圍內隨機移動，增強其跳出局部最優的能力。相較于單權重因子的PSO，本文的雙權重因子策略其優勢是：從最優鯨魚和隨機步長兩方面進行隨機擾動，進一步增強了后期鯨魚種群的更新能力，以實現鯨魚種群在可行域內的廣度與深度覆蓋。改進后的包圍捕食和螺旋氣泡更新公式如下：

本文簡單測試了正弦、線性、多項式和指數4 種曲線變化策略，最終發現正弦反向變化策略對算法精度的提升最大，其具體公式如下：

1.2.4 算法流程

本文從初始種群方式、算法參數、后期種群個體的隨機擾動三方面著手，對WOA 進行改進，提出了CA-WWOA。算法流程如圖1所示，步驟如下：

圖1 C-A-WWOA算法流程圖Fig.1 Flow chart of C-A-WWOA

步驟3 判斷迭代條件：當t≤Tmax時，重復步驟2，直至退出迭代過程，輸出最優鯨魚及最優適應度值。

2 數值實驗

2.1 測試函數

通過對WOA 進行分析改進，采取以上改進策略提出C-A-WWOA，為了測試和驗證改進算法的性能，本文通過選取國際通用的標準測試函數（包括單峰、多峰、固定維多峰測試函數）進行數實驗，并全面分析算法性能。其中，單峰函數F1～F6 只有一個全局最優值，以充分評估算法的局部開發能力；多峰函數F7～F18 與單峰函數不同，伴隨著多個局部最優解，以評估算法的全局勘探能力。具體函數信息見表1。試，運行環境為：Windows 10（64位），CPU Intel?Core?i5-10210U with 16 GB。其中仿真實驗種群規模N=30，最大迭代次數為Tmax=500，每種算法分別獨立運行30次。

表1 單峰、多峰以及固定維數多峰測試函數Table 1 Single-peak，multi-peak and fixed-dimension multi-peak test functions

根據表2 結果，對于單峰測試函數F1～F4，C-AWWOA 的尋優精度最高，其最優解（Min）和平均值（Avg）均為理論最優解（Min=Avg=0），且標準差（Stv）為0；相較于WOA、EGolden-SWOA 和IMWOA，本文提出的C-A-WWOA 的尋優能力和穩定性得到了極大的提升，證明了改進算法極強的局部開發能力。對于單峰測試函數F5 和F6，C-A-WWOA 雖然未收斂到理論最優值，但相較于WOA 仍有一定提升。對于多峰測試函數（F7～F18），C-A-WWOA可收斂到理論值最優值的數量n為8，均大于WOA(n=5)和EGolden-SWOA(n=5)，這表明C-A-WWOA擁有更強的適用性和更好的全局勘探以及跳出局部最優的能力，此外，C-A-WWOA對于固定維多峰函數表現極其出色，其大多數可以收斂到最優值，說明其做到了全局勘探和局部開發之間的平衡，可以搜尋并收斂到最優值。因此，無論是單峰還是多峰測試函數，C-A-WWOA的求解結果總體上更加穩定，且更接近理論最優值，結果證實了C-A-WWOA 很好地解決了WOA在函數優化上尋優精度不高和容易陷入局部最優的問題。

表2 4種算法的尋優結果對比Table 2 Comparison of four algorithms for finding best results

2.2.2 誤差分析

針對不同算法進行定量分析，通過對算法尋優結果計算其在標準測試函數的平均誤差（MAE），將計算結果進行排序，可以驗證算法求解精度的穩定性。表3所示為基準測試函數的MAE排序，具體計算公式如下：

2.2 實驗結果及算法性能分析

2.2.1 尋優精度分析

為了測試本文中所改進的C-A-WWOA的可行性與有效性，本文將C-A-WWOA 與標準WOA 以及近期兩個改進效果較好的鯨魚優化算法進行測試分析。為了公平對比算法性能，各種算法均在同一條件下進行測式中，mi表示算法求解結果的平均值，fi為第i個基準測試函數的理論值，Nf表示基準函數的個數。

由表3 可知，C-A-WWOA 在求解18 個標準測試函數的MAE排名優于WOA、EGolden-SWOA和IMWOA。這說明本文的C-A-WWOA在求解函數優化問題上具有更小的誤差，也反映出該算法應用時更強的適用性。

表3 不同算法MAE排名Table 3 MAE ranking of different algorithms

2.2.3 復雜度分析

2.2.4 高維函數優化分析

本小節利用表1 中前12 組測試函數，計算了C-AWWOA 在不同維數下（D=100，D=200，D=500 和D=1 000）下的優化結果（見表4和圖2），進一步分析不同維數下C-A-WWOA的優化性能。

圖2 不同維數下C-A-WWOA算法的優化曲線（以F11為例）Fig.2 Optimization curves of C-A-WWOA under different dimensions（taking F11 as example）

尋優結果表明（表4），在不同維數下（即：D=100，D=200，D=500和D=1 000），C-A-WWOA算法能在6個函數（F1、F2、F3、F4、F8和F10）穩定地收斂到理論最優值0，且Stv=Avg=0，這很好地說明了C-A-WWOA在處理不同維數的優化問題時具有較高的收斂精度和較強的魯棒性。對于函數F6、F7、F9、F11和F12雖未能收斂到理論最優值，但其尋優結果仍具有一定的精度，且對比不同維數的尋優結果（表2 和表4）發現，不同維數下C-A-WWOA 優化結果相差不大，這說明了C-AWWOA 在處理優化問題時不易受到問題維數的影響，具有較強的穩定魯棒性。

表4 不同維數下C-A-WWOA的尋優結果Table 4 Optimization results of C-A-WWOA under different dimensions

圖2 給出了不同維數下C-A-WWOA 對F11 的優化結果。可以看出，隨著函數維數的增大，C-A-WWOA對函數的優化結果不會出現太大變化，基本保持不變，如30 次最優值和30 次平均值基本保持穩定，這說明C-AWWOA在優化不同維數問題時具有較強的適用性和較強的魯棒性。

2.2.5 3種改進策略的有效性分析

為分析每個改進策略的算法有效性，本小節利用表1 中的18 組測試函數，進一步分析了C-A-WWOA 的3種改進策略的尋優結果（表5）；耦合中心游移和邊界鄰域更新的C-WOA、耦合非線性收斂因子的A-WOA 和基于雙權重因子的W-WOA。基于此，通過與WOA 的對比，分析C-WOA、A-WOA、W-WOA 和C-A-WWOA的改進策略對尋優精度的影響。同時，還根據迭代曲線，分析了不同策略對迭代尋優速度的影響（如圖3）。

相較于WOA，3 種改進策略（C-WOA、A-WOA 和W-WOA）和C-A-WWOA的尋優精度均有一定提升（見表5）。首先，C-A-WWOA提升最明顯，其在多數函數問題上快速收斂，且保證了很高的精度。其次，W-WOA對精度也有了極大的提升，其Avg 和Stv 明顯優于WOA，這表明雙權重因子的改進對算法擺脫局部最優和提高尋優精度有很大作用。再者，C-WOA和A-WOA分別在F2、F8 和F9 上也起到了很好的效果，部分函數（如F2 和F8）還可以收斂到理論最優值。C-WOA 對于多峰函數的提升更明顯，其是由于多峰函數對初始種群的依賴比較強，采用中心游移策略的C-WOA 具有更高的初始種群質量；而A-WOA側重于單峰函數求解精度的提升，其證明了改進算法參數可以進一步提高其局部開發能力。最后，對比C-A-WWOA 和3 種改進策略（C-WOA、A-WOA和W-WOA）的求解結果（如表5），可以看出，C-A-WWOA具有更高的精度，這表明不同改進策略之間有促進作用，如：C-A-WWOA 在單峰函數F2和F4問題上可以收斂到理論值（Min=0）。

表5 不同策略下改進算法與WOA的優化結果對比Table 5 Comparison of optimization results of improved algorithms with different improvement strategies and WOA

根據算法迭代曲線圖分析（如圖3），相較于WOA，改進算法（C-WOA、A-WOA、W-WOA和C-A-WWOA）其求解精度和速度均有一定或大幅的提升。從圖3（a）～（f）看到，采用3種策略改進的C-A-WWOA曲線具有更高質量的初始種群質量和極快的收斂速度，這也證明了改進策略的高效性。同時，W-WOA在單峰函數圖3（a）和（b）以及多峰函數圖3（c）和（d）的迭代曲線，可以明顯得到，W-WOA 具有很高的尋優精度和速度：對于單峰函數（如F2、F4），W-WOA可以收斂到理論最優值；對于多峰函數（如F10、F12），W-WOA尋優精度極高，由此說明W-WOA可以提高單峰和多峰函數的尋優精度，其原理是通過雙權重因子來擾動后期種群的更新過程，使其不局限于某一個局部空間，而在更大的范圍搜索更新，從而進一步提高了精度。與W-WOA不同的是，A-WOA可以提高單峰函數（如F2）的尋優精度，但收斂速度未見明顯提升（圖3（a）），而求解多峰函數（如F4、F10）時，不僅收斂精度有了一定的提高，收斂速度也提高了2～5倍（圖3（c）和（e）），這說明改進算法參數的A-WOA 除了提高單峰和多峰函數的尋優精度外，還可以加快部分多峰函數的收斂速度。此外，采用了中心游移策略的C-WOA求解多峰函數（如F12、F14、F15）時也取得了不錯的效果（圖3（d）～（f）），圖像表明，C-WOA 具有更高的初始種群質量，其求解精度和速度也優于WOA，這說明C-WOA 可以提高初始種群質量并進一步提高求解精度。

圖3 不同改進策略的迭代曲線Fig.3 Iteration curves with different improvement strategies

3 工程實例

工程設計優化問題是群體智能優化算法的一個重要應用領域和研究熱點，因此，本文將C-A-WWOA應用于壓力容器與拉伸/壓縮彈簧兩個典型工程優化問題，并將求解結果與幾種不同算法進行對比。為保證公平，所有對比算法需在同一條件下進行優化計算，具體條件為：種群規模N=30，最大迭代次數Tmax=500，運行次數均為30次。

3.1 壓力容器設計問題

壓力容器設計是一類常見的化工機械設備優化設計問題。該問題有4 個決策變量，其取值范圍分別是：殼體厚度x1(0 ≤x1≤99)，封頭厚度x2(0 ≤x2≤99)，殼體半徑x3(10 ≤x3≤200)和圓柱形截面長度x4(10 ≤x4≤200)。目標函數是成本最小值（minF），包括材料費、成型費和焊接費，并存在4 個約束條件，具體數學模型如下所示。

g4(x)=x4?240

表6 給出了7 種算法求解壓力容器設計問題的最優方案，結果表明，相較于其他算法，改進WOA算法求解方案明顯優于其他算法，如C-A-WWWOA、RD-WOA和EGolden-SWOA 算法。對于4 種改進WOA 算法，C-A-WWOA所求解的容器設計最小成本minF=5 909.09，對應決策變量取值分別為x1=0.79，x2=0.36 和x3=40.45，x4=196.95，說明本文算法具有較高的收斂精度，在求解此問題時更具競爭力。

表6 不同算法求解壓力容器設計問題最優方案Table 6 Optimal solutions for different algorithms to solve pressure vessel design problems

3.2 拉伸/壓縮彈簧設計問題

拉伸彈簧優化設計廣泛地應用于國防、汽車、模具、醫學航天、鐵路、工程機械、礦山機械、建筑機械、電梯等領域。該問題有3 個決策變量，其取值范圍分別是：線徑x1(0.05 ≤x1≤2.00)，平均線圈直徑x2(0.25 ≤x2≤1.30)和活性線圈數量x3(2.00 ≤x3≤15.00)。目標函數是質量最小值（minF），其存在4個約束條件，具體數學模型如下所示。

此問題中，計算了C-A-WWOA的優化方案，并將求解結果和文獻[3]中的WOA 算法、文獻[6]中的GSA 算法、文獻[7]中的PSO 算法、文獻[15]中的EGolden-SWOA 算法和文獻[36]中的RD-WOA 算法的求解結果進行比較，其結果如表7 所示。C-A-WWOA 求解拉伸/壓縮彈簧時結果優于其他算法，其求解質量為minF=0.126 70，僅次于RD-WOA 中minF=0.126 65，但RDWOA在優化求解時迭代次數遠遠大于500。因此，表7結果一定程度上說明本文改進的算法（C-A-WWOA）在求解此類問題時具有較高的精度。

表7 不同算法求解拉伸彈簧設計問題最優方案Table 7 Optimal solutions for different algorithms to solve extension spring design problems

4 結論

WOA 是近年來新提出的一種群體智能優化算法，針對WOA 在求解精度低等問題，本文提出了一種耦合中心游移和雙權重因子策略的改進鯨魚優化算法（C-A-WWOA）。改進算法通過中心游移對種群進行初始化；通過鄰域更新對越界鯨魚進行修正；通過調整參數對算法性能進行優化；通過雙權重因子對種群進行隨機擾動更新。將改進算法應用于函數優化問題（18個測試函數），結果表明改進算法具有更高的收斂精度，很好地解決了其易陷入局部最優的問題。在此基礎上，本文還將改進算法應用工程設計最優化問題（壓力容器設計問題和拉伸/壓縮彈簧設計問題），其結果充分證明了C-A-WWOA 在處理工程實際問題的強適用性和高求解精度。