指令制導中雷達測量誤差對制導精度的影響

張 贏，趙興隆，丁云鵬，郭 甜，劉本慧，黃書平，張鳳崗

（上海機電工程研究所，上海 201109）

指令制導是遙控制導體制的一種，是導彈的一種重要制導方式，尤其是在地對空導彈制導中的應用十分廣泛[1-2]。對于近程戰術導彈來說，指令制導可作為全程制導。對于遠程導彈來說，一般作為中制導。

指令制導多通過應答機實現導彈與地面的交互通信，在攔截目標過程中，由地面相控陣制導雷達測量得到導彈和目標的相對角偏差和距離等信息，根據設定的導引和控制規律，經過計算形成制導指令，并通過指令發射裝置發送至彈上，彈上應答機接收到制導指令后，將其傳送至自動駕駛儀完成對導彈的控制。指令制導的優點是彈上制導控制系統簡單，技術上容易實現，且價格低廉。

在采用指令制導的防空導彈系統中，地面制導雷達多采用相對測角體制，即測量導彈與目標之間的相對運動參數，完成彈目分配后，在對目標跟蹤后即切換時序對打擊該目標的導彈進行跟蹤測量，絕對系統誤差中的標定誤差、平臺舉升誤差、俯仰倒伏機構平臺電機安裝誤差、調平誤差等在計算相對測角系統誤差時可以抵消，剩余隨機誤差成為影響制導精度的主要因素。

雷達測量信息包括距離、高低/方位角、速度，均包含測量誤差。地面制導雷達測量誤差可分為系統誤差和隨機誤差[3]。系統誤差指隨測量時間的變化其幅度大小保持恒定或按照某種規律緩慢變化的誤差，該誤差在某種程度上可預測，因此在測量前或測量后應用合適的校準和補償技術可以進行部分修正。隨機誤差是指隨測量時間變化其幅度大小不確定或快速變化的誤差，這種誤差不能通過校準修正，但可以通過濾波來減小。

針對雷達測量誤差，需要做以下兩方面工作：①建立誤差模型，通過試驗測量和理論分析，得到誤差的統計規律；②通過信號處理手段，想辦法抑制誤差噪聲，得到所需信號的最優估計，提高制導精度。

雷達測量隨機誤差大多為白噪聲，卡爾曼濾波是處理此類型噪聲的有效手段[4-5]，基于隨機估計理論，建立輸入、輸出、噪聲作用的狀態方程，利用噪聲的統計特性形成濾波算法，由于其在時域下工作，可對非平穩、多維隨機過程進行統計。同時卡爾曼濾波是遞推的，便于在計算機上實現實時應用。對于制導系統來說，彈目相對運動過程中，含有非線性環節，因此，系統的狀態方程或觀測方程是非線性方程[6]。

針對非線性相對運動方程，擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）是常用的有效手段。EKF 方法是對非線性方程做線性化近似，不可避免地會引入近似處理誤差；UKF 沿用傳統卡爾曼線性濾波框架，進行一步預測時，使用無跡變化來處理均值和協方差的非線性傳遞問題[7-11]。UKF 算法是對非線性函數的概率密度分布進行近似，用一系列確定樣本來逼近狀態的后驗概率密度，由于無線性近似誤差，且不需要對狀態方程系數矩陣進行求導，因此對于非線性分布的統計量有較高的計算精度。

1 指令制導相關導引規律

指令制導大多采用三點法或半前置點法導引律，縱向平面內彈目運動關系如圖1 所示。

圖1 中，Rt為制導站與目標的相對距離，Rm為制導站與導彈的相對距離，εt、εm為目標、導彈高低角，Vm、Vt分別為導彈和目標的運動速度，θm為彈道傾角，θt為目標速度傾角。

圖1 彈目運動關系

導引規律如下：

式（1）—（4）中：m 為導彈；t 為目標；εg、βg為角度補償量分別為目標俯仰、方位角速度；k為前置量；ΔR、ΔR˙分別為導彈距離和目標距離之差及其導數；R0為初始目標距離。

角度補償量保證在ΔR=0 及ΔR=R0時，都滿足εg=0、βg=0，且在補償量公式中引入目標角速度量，能夠更好地跟蹤運動目標。

當k=0 時，為三點法，是指導彈在攻擊目標的運動過程中導彈始終處于制導站與目標的連線上。

當k=-0.5 時，為半前置點法導引律，此時導彈角加速度與目標角加速度無關，可令目標機動加速度對導彈彈道傾角的影響最小。

利用三點法及半前置點法仿真結果對比如圖2 和圖3 所示，半前置點法對目標運動有一定的補償作用，但在目標低速運動時，半前置點法的改善并不明顯，且本文主要研究雷達測量誤差的影響，因此僅考慮低速運動目標的攔截仿真，因此采用三點法導引規律。

圖2 三點法與半前置點法軌跡對比

圖3 三點法與半前置點法方位角跟蹤對比

2 雷達測量誤差對制導精度的影響

根據圖1，由二維狀態擴展至三維狀態，可以列出導彈運動方程如下，目標運動方程同樣可以得出：

式（5）—（9）中：Ψv為彈道偏角；βm為方位角。

制導雷達測量得到導彈相對于目標矢徑的縱向和側向線偏差，導引律根據測量線偏差信息解算得到俯仰和偏航過載指令。

式（10）中：kα為導彈高低線偏差比例系數；kβ為導彈方位線偏差比例系數。

駕駛儀經過解算后通過操縱舵面偏轉實現彈體姿態控制從而付出過載，原理圖如圖4 所示。

圖4 制導控制系統原理

雷達測角系統差包括由機械結構標定、舉升、調平、機電安裝帶來的誤差。雷達測角起伏誤差包括由天線指向、量化（移相器量化、數據量化）、A/D 轉換、熱噪聲、掃描、角閃爍、低空多徑等帶來的誤差。

假設雷達測量誤差如下：測距系統誤差6 m，隨機誤差3 m（σ）；測角系統誤差0.05°，隨機誤差0.05°（σ）；測速系統誤差5 m/s，隨機誤差5 m/s（σ），均符合正態分布。攔截軌跡如圖5 所示。引入誤差前后數字仿真結果如圖6 所示。

圖5 攔截軌跡

圖6 引入誤差前后制導精度對比

可以看出，雷達測量誤差導致制導精度明顯下降。解決思路如下：①雷達測量得到的誤差包括系統誤差和隨機誤差，系統誤差在相對測量體制下明顯減小，主要受隨機誤差影響，可通過卡爾曼濾波進行處理；②濾波處理前需要建立狀態方程和觀測方程，由于彈目相對運動過程中，含有非線性環節，因此采用無跡卡爾曼濾波進行處理。

3 無跡卡爾曼濾波處理

進行無跡卡爾曼濾波處理前，需根據導彈的動力學方程建立所需的狀態方程和觀測方程，狀態方程用于描述導彈運動過程中相關狀態變量的變化過程，觀測方程用于描述觀測變量與狀態變量之間的關系。

根據導彈動力學方程，建立狀態方程如下：

式（11）—（15）中：Rmxk、Rmyk、Rmzk、Vmxk、Vmyk、Vmzk分別為導彈k時刻距離及速度在慣性系下的分量；amxk、amyk、amzk為導彈慣性系下加速度信息，此信息可通過彈上慣測組件測得并通過坐標轉換后，由彈上應答機下傳得到；f為非線性狀態方程函數；T為仿真步長。

根據雷達測量信息，建立觀測方程如下：

式（16）中：h為非線性觀測方程函數。

雷達測量噪聲W（k）具有協方差陣R：

導彈非線性系統描述為式（13）和（16），目標認為勻速直線運動，系統描述得同樣得到。首先利用無跡變換，在估計點附近確定采樣點，用這些樣本點表示的高斯密度近似狀態的概率密度。狀態向量x為n維隨機變量，其均值為方差為P，通過無跡變換得到2n+1 個采樣點X和響應的權值ω：

對于正態分布的情況，當狀態變量為單變量時，選擇κ=2；狀態變量為多變量時，對于κ的選擇，一般使之滿足n+κ=3；a控制采樣點分布的距離，調節a以使得高階項的影響達到最小。0≤a≤1，一般取較小的數值，以避免在狀態方程強非線性情況下取樣的非局部效應。適當調節a和κ可以提高均值的精度。

計算上面得到采樣點的一步預測：

計算系統狀態量的一步預測及協方差矩陣，由采樣點集的預測值加權求和得到：

根據一步預測值，再次使用無跡變換產生新的采樣點集，并將生成的點集代入觀測方程，得到預測的觀測量Z（i）（k+1|k）。通過加權求和得到系統預測的均值及協方差：

計算卡爾曼增益矩陣，并計算系統的狀態更新和協方差更新：

按上述過程進行濾波處理，雷達測距、測角信息及數字仿真結果如圖7—圖10 所示。高低、方位角能較好地擬合真實值，隨機誤差被有效抑制，剩余系統誤差在相對體制下影響較小。同樣彈道仿真條件下，制導精度如圖11 所示，脫靶量均值和方差均有明顯改善，制導精度明顯提高。

圖7 導彈斜距

圖8 雷達測距信息濾波效果

圖9 彈目高低、方位角

圖10 雷達測角信息濾波效果

圖11 濾波前后制導精度對比

4 總結

在指令制導系統中，雷達測量誤差對制導精度影響較大，在相對測量體制下，主要需消除隨機誤差干擾。利用彈上通過應答機下傳的慣測信息及地面制導雷達的測量信息，可建立濾波方程，基于UKF 方法實現了導彈高低、方位角的估計值，最后通過數字仿真表明：此種方法可有效抑制隨機誤差干擾，同時可提高制導精度。