多模態耦合的覆冰導線風致舞動分析

張會然，楊雄駿，劉中華

(廈門大學建筑與土木工程學院，福建 廈門 361005)

輸電導線舞動是影響輸電線路安全的重要因素，是對電網安全運行危害較大的故障類型.舞動主要是由于導線上有不均勻覆冰，從而在風力作用下產生的低頻大幅度自激振動現象.關于覆冰導線舞動已經有不少研究，主要的研究方法是通過建立有限元模型[1-2]和建立覆冰導線非線性動力理論模型進行覆冰導線舞動分析.其中以索結構為基礎建立覆冰導線連續體非線性動力計算模型[3-6]，可以定性地討論覆冰導線舞動的非線性運動特性.但目前基于覆冰導線非線性三維連續體動力模型的舞動分析多集中于各方向上第一階模態的耦合.劉海英等[7]和樓文娟等[8]運用Galerkin方法進行一階模態截斷將偏微分方程轉化為常微分方程，分析覆冰導線的舞動隨系統參數的變化規律.輸電導線是三維連續體，在發生舞動時不僅只有第一或某階模態的振動，舞動分析時考慮多階模態的耦合振動是有必要的，可以更清楚地分析導線發生舞動時各階模態的振動情況.Luongo等[9]建立了只考慮面內多階模態耦合的模型，初步分析了覆冰導線在面內多階模態耦合的舞動.霍冰等[10]考慮了覆冰導線面內前4階和扭轉前4階模態耦合動力模型，研究分析了在不同風速、初始拉力等條件下各階模態的舞動，但沒有考慮面外的振動.

覆冰導線的舞動是在風致作用下發生的自激振動，通常還需要考慮風場的隨機性.諧波疊加法是用于脈動風時程模擬的傳統方法之一，在諧波疊加法中，Cholesky分解與三角級數疊加將耗費大量的計算時間，但是對于像輸電導線這樣的大跨度結構，需要模擬的點數較多，因此提高模擬效率變得十分重要.Yang[11]在模擬過程中引入快速傅里葉變換(FFT)，大大提高了三角級數疊加的計算效率.Ding等[12]在互譜密度矩陣的Cholesky分解中引入三次Lagrange插值，減少了Cholesky分解的次數.目前關于覆冰導線舞動在隨機風場中的研究，大多是基于有限元模型，劉小會等[13]和嚴波等[14]通過ABAQUS軟件建立有限元模型，研究了四分裂導線在隨機風場中的舞動和防舞裝置.樓文娟等[15-16]通過ANSYS軟件建立覆冰導線的有限元模型，研究了覆冰導線在三維瞬態風場下的舞動響應和脈動氣動力特性及風偏響應.考慮多模態耦合的非線性覆冰導線模型在隨機風場中的舞動研究還較少.

本文在覆冰導線非線性三維連續體動力模型基礎上，運用Galerkin方法進行多階模態截斷，得到面內-面外-扭轉方向多模態耦合的動力分析模型，通過Lyapunov穩定性理論對覆冰導線穩定性進行判斷，分析穩定風場中不同風速下覆冰導線各階模態振動情況.并為了提高脈動風場模擬效率，采用Hermite插值改進Cholesky分解的脈動風場模擬方法，模擬輸電導線所在的隨機風場，進一步分析在隨機風場下覆冰導線各階模態的舞動特性.

1 考慮多模態耦合的覆冰導線模型建立

1.1 覆冰導線三維連續體模型

圖1 覆冰導線三維模型Fig.1 The model of iced-conductor

沿導線長度方向選取微元分析，得到覆冰導線面內-面外-扭轉三向耦合的偏微分動力方程[12]：

(1)

覆冰導線截面有新月形、扇形、D形等，以新月形截面為例，覆冰導線截面風攻角示意圖如圖2所示.基于準定常假定，作用在覆冰導線單位長度上的氣動荷載表示為：

圖2 覆冰導線截面(新月形為例)Fig.2 Iced-conductor section(crescent shaped)

(2)

1.2 基于Galerkin法進行多模態離散

為詳細分析覆冰導線舞動時各模態之間的耦合作用，采用Galerkin法對得到的覆冰導線偏微分方程進行離散.離散后的面內、面外和扭轉位移可表示為：

(3)

式中：Ui(t)、Vj(t)、Wk(t)為系統的模態坐標，φn為各階振動模態.

以各個方向各展開2階模態為例，即令M=N=Q=2，得到系統面內-面外-扭轉3個方向耦合的二階6自由度常微分非線性動力方程：

(4)

式中：aij、bij、cij和gIij(i=j=1,2)為幾何線性項積分系數和氣動荷載線性項積分系數，QIj和GIj為幾何非線性項和氣動荷載非線性項.為進一步進行穩定性分析，將公式(4)轉化為：

(5)

2 覆冰導線在穩定風場中的舞動分析

2.1 覆冰導線舞動穩定性判斷

(6)

其中A為系統線性化矩陣:

(7)

N為系統的非線性項，Apq(p=q=1,2,…，6)為狀態運動方程中各狀態變量的系數.

2.2 穩定風場下覆冰導線舞動響應的求解

3 覆冰導線在隨機風場中的舞動分析

3.1 基于Hermite插值改進Cholesky分解的隨機風場模擬

對于n維零均值平穩隨機過程，將互功率譜密度矩S(ω)進行Cholesky分解可得：

S(ω)=H(ω)·H*(ω)T,

(8)

式中H*(ω)T為H(ω)的轉置共軛矩陣.而隨機過程uJ(t)的樣本可由下式來模擬：

(9)

采用三階Hermite函數近似表達H矩陣，需要計算插值點處的函數值與其一階導數值.建立區間內的Hermite插值函數：

(10)

(11)

3.2 隨機風場下覆冰導線舞動響應的求解

(12)

4 算例分析

4.1 覆冰導線特征段線路參數

本文選取單根新月型截面覆冰導線為研究對象，覆冰截面如圖2所示，導線型號為XLGJ-400/50，物理參數如表1所示[8]，覆冰導線初始風攻角α0為60°.得到各階模態的固有頻率如表2所示.

表1 單根新月型覆冰導線物理參數

表2 面內-面外-扭轉方向各階固有頻率

4.2 穩定風場中的舞動分析

根據建立的覆冰導線多模態耦合非線性動力分析模型，得到的系統穩定特征曲線(圖3)，求得兩個模態的臨界風速4.3 m/s和7.3 m/s.進一步數值求解得到在不同的風速下，各階模態的響應時程.

圖3 系統穩定特征曲線Fig.3 System stability characteristic curve

圖4 面內-面外-扭轉各階模態的振動響應時程Fig.4 Time history responses of in-plane,out-plane and torsion m/s)

圖5 面內-面外-扭轉各階模態的振動響應時程Fig.5 Time history responses of in-plane,out-plane and torsion modes m/s)

圖6 面內-面外-扭轉各階模態的振動響應時程Fig.6 Time history responses of in-plane,out-plane and torsion modes m/s)

4.3 隨機風場中的舞動分析

脈動風速時程曲線、模擬風場功率譜與目標功率譜如圖7所示，采用本文提出方法所模擬的脈動風的功率譜密度函數和互相關函數均與目標值擬合很好.

圖7 脈動風場數值模擬結果Fig.7 Numerical simulation results of fluctuating wind field

圖8 隨機風場中面內-面外-扭轉各階模態的舞動時程響應Fig.8 Time history responses of in-plane,out-plane and torsion modes in stochastic wind m/s)

為進一步分析脈動風對覆冰導線的舞動影響，得到面內-面外-扭轉方向的位移響應頻譜，如圖9所示，在只考慮了平均風速的覆冰導線舞動中，面內-面外-扭轉各階模態振動以第一階模態為主，其頻率接近于面內一階固有頻率(見表2)，且面內一階模態舞動幅值最大，考慮了脈動風影響后，各階模態振動頻率發生改變，激起了面外一階頻率，扭轉方向也出現了扭轉一階的頻率成分，對比各階模態的響應幅值，相比穩定風場面外一階模態幅值中增大，舞動模式發生改變，面內-面外-扭轉的耦合更加強烈.由于脈動風具有較寬的激振頻率區間，能夠激起覆冰導線各階模態的振動.

圖9 面內-面外-扭轉的位移響應頻譜Fig.9 Displacement response spectrum of in-plane,out-plane and torsion

5 結 論

本文基于覆冰導線面內-面外-扭轉方向多模態耦合的非線性動力分析模型，對面內-面外-扭轉各方向分別展開兩階模態進行分析.在穩定風場中，應用Lyapunov理論對覆冰導線穩定性進行判斷，得到了兩個臨界風速，結合四階變步長Runge-Kutta法，計算不同風速下覆冰導線各階模態的振動響應.可以發現，隨著風速的增加，某些模態的穩定性發生改變，從而引起覆冰導線的舞動,詳細分析了多模態耦合下各階模態的舞動特性.利用Hermite插值改進Cholesky分解的脈動風場模擬方法，提高了模擬的計算效率，模擬得到脈動風速時程.進一步計算了隨機風場下覆冰導線的振動響應，并與穩定風場中的振動進行對比，通過位移時程響應和位移頻譜分析了脈動風對覆冰導線各階模態振動的影響.結果表明，由于脈動風具有較寬的激振頻率區間，能夠激起覆冰導線穩定風場中沒有發生舞動的面外和扭轉方向的低階模態.