Delta并聯機器人靜剛度理論分析與仿真

孔凡國, 柯子旭

（五邑大學 智能制造學部,廣東 江門 529000）

0 引言

隨著制造業發展水平的提高以及中國制造2025的提出，高速與輕量化是并聯機器人的發展方向。為降低慣性以易于控制，各桿件通常會使用輕質材料，若仍將其視為剛體已不符合實際情況，故應考慮靜平衡狀態下因彈性形變對末端精度的影響。因此許多學者針對不同類型的并聯機構采用有限元軟件對其進行靜剛度仿真分析，以探究靜剛度的分布規律。李育文等[1]預估了6-UPS并聯機床在其指定工作空間內的靜剛度性能分布，并通過相關實驗進行了驗證。張海偉等[2]以Stewart并聯平臺為研究對象，建立了平臺的有限元模型，對傳動鏈中的鉸鏈進行了適當簡化，得到特定姿態下指定區域內的動平臺靜剛度分布規律。由此可見，利用計算機有限元分析計算并聯機構靜剛度具有通用性強、結果可靠度較高的優點，但同時具有計算耗時較長、在改變位姿后需要重新劃分網格以建立模型的缺點。為便于并聯機構剛度性能分析及其參數優化設計，仍需通過理論推導建立其靜剛度矩陣，因此許多學者也對不同類型的并聯機構開展了靜剛度解析或半解析模型建立的研究[3]。孫濤等[4]對一類混聯可重構機械手進行了全域靜剛度預估，并對其工作空間中典型位姿進行了靜剛度解析模型驗證。Yoon Woo-Keun等[5]考慮了Delta并聯機器人桿件和軸承的彈性變形，建立了剛度矩陣，并對其結構參數進行了改進。Gueners[6]提出了一種優化約束纜索驅動并聯機器人的剛度及求解其工作空間的方法，并依此對設計變量進行了參數優化，并通過實驗進行了驗證。本文沿用Belkacem Bounab[7]提出的建模思想，將相對剛度大的構件視為剛體以簡化建模難度，將驅動臂和從動桿理想化為線彈性桿件，采用卡式第二定理對簡化后的Delta并聯機器人進行靜剛度理論建模，揭示其動平臺變形量在指定區域中的分布規律，最后利用ISIGHT聯合仿真對理論模型進行驗證。旨在為這種機器人的結構參數、軌跡規劃和誤差補償等方面提供設計依據。

1 理論分析

1.1 機構參數定義

Delta并聯機器人的典型結構如圖1所示。靜平臺用于機器人安裝定位，3個驅動電動機分別安裝在靜平臺外接圓三等分處，為整個系統提供動力輸入，驅動臂近端通過轉動關節連接驅動電動機，其遠端由短連接桿通過球鉸與從動桿近端相連。從動桿遠端同樣通過球鉸與靜平臺相連。顯然，Delta并聯機器人是一個具有3條相同支鏈所組成的系統，其中每條支鏈又可以繼續拆解。

圖1 Delta機器人典型結構

將Delta并聯機器人典型結構抽象簡化處理，如圖2所示。在靜、動平臺中心處分別建立固定坐標系O－XYZ和O′－X′Y′Z′，兩坐標系除原點位置不同外，兩坐標系坐標軸方向均相同，其中X軸方向與靜平臺邊線B1B2平行，Z軸方向豎直向上，Y軸方向根據右手定則判定。靜平臺各頂點Bi（i=1,2,3）與X軸正方向的夾角ηi=（4i-3）π/6。

圖2 Delta機器人結構簡圖

1.2 卡氏第二定理

由于驅動臂和從動桿均可以視為線彈性的桿件，故可以對其應用卡氏第二定理，其表達式如下：

1.3 從動桿應變能

根據圖2所示，靜力平衡下從動桿是二力桿，只受軸向力，設其大小為Nij（i=1，2，3）（j=1，2），其在靜坐標系下的矢量表達為

1.4 驅動臂應變能

式中：ELb為彈性模量；ALb為橫截面積；λ為剪切形狀系數（矩形λ=1.2）；GLb為切變模量；IzLb為截面對中性軸Z方向的慣性矩；IyLb為截面對中性軸Y方向的慣性矩；IPLb為截面極慣性矩。

本文僅對式（8）其中一項彎曲應變能進行推導，其余類似推導即可。驅動臂BiiEii受到力FiSz作用的彎矩方程為

1.5 總應變能與變形

1.6 理論驗證

根據上述表達，結構參數如表1所示，材料參數如表2所示，在MATLAB中進行函數編程，規定動平臺受到外界作用力和力矩wext=［0 0 -1 0 0 0］T模擬實際情況下末端執行器所受到的負載情況。在可達工作空間內截面z=-350 mm處，中心半徑為150 mm的圓形范圍中，通過理論分析得到的動平臺X方向位移變形量δx分布如圖3（a）所示，其Y方向位移變形量δy分布如圖3（b）所示，其Z方向位移變形量δz分布如圖3（c）所示，其總位移變形量δs分布如圖3（d）所示；動平臺繞X軸轉角變形量θx的分布如圖4（a）所示，其繞Y軸轉角變形量θy的分 布 如 圖4（b）所示，其繞Z軸轉角變形量θz的分 布 如 圖4（c）所示，其總轉角變形量θs分布如圖4（d）所示。

圖3 Delta 并聯機器人靜剛度模型的坐標系示意圖

表1 結構參數表

表2 材料參數表

通過對圖3、圖4的觀察可以得出，動平臺產生的總位移變形量和總轉角變形量整體向外呈現喇叭口狀分布，其數值大小與距離Z軸的距離呈正比例，當處于Z軸上（x=0，y=0）時位移變形量和轉角變形量數值最小時，柔性最小，剛度最大。越靠近工作空間中心，機構柔性越小，剛度越大；越靠近工作空間邊界，機構柔性越大，剛度越小。且總位移變形量和總轉角變形量呈現三邊對稱分布，沿驅動臂方向的剛度要明顯大于兩驅動臂之間的剛度。綜上，可以通過合理的軌跡規劃，將末端的軌跡分布于剛度大的區域，減少靜剛度對運行精度的影響；也可通過對驅動電動機角度進行主動誤差補償，以進一步消除其靜剛度變形量對運行精度的影響。

圖3 位移變形量

圖4 轉角變形量

2 仿真分析

為驗證前文靜剛度理論的正確性，本節將借助計算機輔助設計軟件SolidWorks和有限元分析軟件ANSYS Workbench導入至多學科優化軟件ISIGHT聯合仿真進行試驗設計，并將結果文件導出至MATLAB中進行分析，探究前文指定過的圓形范圍內靜剛度的分布規律。為預估Delta并聯機器人靜態性能提供可靠依據。分析流程如圖5所示。

圖5 靜剛度有限元聯合仿真分析流程圖

2.1 聯合仿真

2.1.1 SolidWorks部分

依據表1在SolidWorks中分別依次建立Delta并聯機器人各零件三維模型，在靜平臺建模過程中將驅動角度參數化便于后續ISIGHT中進行更改，以靜平臺中心點作為地面參考點設定各配合關系，將所有零件進行裝配，保存裝配體模型文件同時導出中性文件。

2.1.2 ANSYS Workbench部分

在ANSYS Workbench中建立靜力學分析，將前文生成的幾何模型中性文件導入至工程文件中，依據前文描述定義各部件剛柔屬性、材料屬性及聯接方式，設定合理的網格大小，采用遠端位移約束限制靜平臺自由度，采用遠端力模擬動平臺所受到的外界作用力和力矩wext，采用位移探測獲取動平臺各方向變形量和總變形量并將其參數化，采用遠端點和旋轉變形探測獲取動平臺各方向轉角變形量并將其參數化，保存靜力學分析工程文件。

2.1.3 ISIGHT部分以ISIGHT軟件為平臺，采用試驗設計方法(DOE)。在Design Gateway中添加DOE組件，然后依次添加SolidWorks組件和ANSYS Workbench組件，建立試驗分析流程，如圖6（a）所示。在組件中分別添加裝配體模型文件和靜力學分析工程文件，并添加前文已經參數化的各參數作為設計參數，進行數據流匹配，使參數和文件可以在各軟件內進行運行并順承，如圖6（b）所示。在DOE組件中導入通過MATLAB逆解生成驅動角度的試驗數據文件作為試驗設計的自定義數據點[10]。

圖6 分析流程和數據流匹配

2.2 結果驗證與分析

將ISIGHT中生成的結果文件導出至MATLAB進行分析。同樣在可達工作空間內截面z=-350 mm處，中心半徑為150 mm的圓形范圍中，通過有限元聯合仿真得到的動平臺X方向位移變形量δx分布如圖7（a）所示，其Y方向位移變形量δy分布如圖7（b）所示，其Z方向位移變形量δz分布如圖7（c）所示，其總位移變形量δs分布如圖7（d）所示。動平臺繞X軸轉角變形量θx的分布如圖8（a）所示，其繞Y軸轉角變形量θy的分布如圖8（b）所示，其繞Z軸轉角變形量θz的分布如圖8（c）所示，其總轉角變形量θs分布如圖8（d）所示。

圖7 位移變形量

圖8 轉角變形量

通過對比上述理論與仿真的各結果，可以得出兩者數值和趨勢均十分接近，證明了利用卡氏第二定理對Delta并聯機器人進行靜剛度分析的合理性。

3 結語

采用卡氏第二定理對合理簡化后的Delta并聯機器人進行靜剛度建模，揭示了其在工作空間中的分布規律和特點：沿驅動臂方向的剛度明顯大于兩驅動臂之間的剛度，且越靠近其工作空間邊界，剛度越小，總位移變形量和總轉角變形量整體向外呈現三邊對稱喇叭口狀分布。利用ISIGHT進行聯合仿真，得到了相似的結果，驗證了理論建模的正確性。