離散分數階憶阻系統建模及其在Logistic 映射中的應用

李小敏,王 震

(西京學院 理學院,陜西 西安 710123)

根據電路基本變量組合完備性原理,1971 年蔡少棠[1]教授預測存在一種描述電荷量與磁通量關系的非線性雙端無源電路元件,并將這種元件定義為記憶電阻器,簡稱憶阻器。長久以來,由于沒有發現滿足憶阻特性的實際元件,使得憶阻器及其電路的研究沒有引起研究者的重視。直到2008 年,惠普公司實驗室Strukov 團隊[2]使用納米技術摻雜TiO2薄膜成功研制了具有憶阻器特性的實物器件,首次報道了憶阻器硬件的實現,在全世界引起了轟動。

憶阻器包括荷控(或稱為流控)憶阻器和磁控(或稱為壓控)憶阻器兩類非線性元件,其主要區別在于主導量的不同,荷控憶阻器的主導量是電荷量,磁控憶阻器的主導量是磁通量。憶阻模型又分為物理器件模型和數學理論模型兩大類。常見的有HP TiO2線性雜質遷移憶阻模型、HP TiO2非線性窗函數憶阻模型、分段線性憶阻模型和二次、三次非線性憶阻模型。緊磁滯回線是憶阻的最基本特征,是判斷一個模型是否為憶阻模型的重要依據。包伯成教授[3]在其著作《憶阻電路導論》 中詳細介紹了各種類型的憶阻模型。由于憶阻器是一種有記憶功能的非線性電子元件,并且具有模擬人類大腦神經功能的超級能力。因此,憶阻模型被廣泛應用于混沌系統[4-5]、控制工程[6]、神經網絡[7-9]及信號處理[10]等領域。

上述憶阻器模型都是整數階模型,然而,相比于整數階,分數階微積分可以更好地描述具有記憶和遺傳特性的系統。近年來,分數階微積分在各個領域的研究成果層出不窮,如生物學[11-12]、物理學[13]、信息安全[14]及圖像處理[15]等。與分數階微積分概念相比,分數階差分的研究是一個新的課題。由于分數階差分理論可以直接引入混沌映射來構造分數階混沌映射,分數階混沌映射的建模和應用成為近年來的一個熱點[16-19]。包伯成教授等[20]研究了一類含有電容和憶阻的二階離散憶阻系統的混沌特性,并提出該模型可應用于圖像加密。Peng 等[21]討論了離散憶阻系統在Hénon 映射中的應用,結果表明,基于憶阻器的Hénon 映射具有更大的混沌區域以及更高的復雜性。曹穎鴻等[22]運用ADM 算法,研究了一個含有電容、電感及憶阻的串聯分數階系統,該分數階憶阻系統具有豐富的動力學特性,當階次在一定范圍時,系統的隨機性和復雜性最好,得到了分數階憶阻系統適用于保密通信領域的結論。方淼等[23]研究了一個含有電容、電感及憶阻的并聯憶阻系統,通過特征值分析了系統的穩定特性。除此之外,憶阻器在混沌映射[24]、憶阻混沌電路[25]及同步控制[26-27]等方面也有很多研究成果。

然而,目前有關離散分數階憶阻模型的研究卻很少見,賀少波教授等[28]基于HP TiO2線性雜質漂移模型,設計了離散分數階憶阻模型,并用數值模擬驗證了緊縮磁滯回線滿足憶阻器的三個特性。離散模型的優點是輸入信號可以是時間序列的形式。本文提出了一種三次非線性磁控憶阻模型,將模型進行離散化并取分數階次,利用分數階差分理論,得到系統的Volterra 和分解,數值模擬顯示,該模型滿足憶阻器的三個特征。最后,將該離散分數階憶阻模型應用于Logistic 映射中,構造離散分數階憶阻Logistic 映射,數值結果表明,該映射在分數階次下能夠產生新的混沌序列,并表現出多穩定性的特征。

1 憶阻器

憶阻器是一種具有記憶效應的非線性電子元件,可表示電荷量q與磁通量φ的關系,其數學表達式為:

式中:M(q)為憶阻;W(φ)為憶導。因此,憶阻器分為荷控憶阻器和磁控憶阻器。

荷控憶阻器數學模型為:

磁控憶阻器的數學模型為:

憶阻器的本質特征有:(1)當一個雙極性周期信號驅動時,伏安關系為一條緊縮滯回曲線;(2)緊磁滯回線的旁瓣面積隨施加信號頻率的增加而單調減小;(3)當頻率趨于無窮時,緊磁滯回線緊縮成一條直線。

該領域的學者提出用分段線性函數以及二次、三次非線性函數等描述憶阻的數學理論模型,這些模型是具有憶阻特征的簡單模型,適用于基于憶阻模型的各種應用電路。

本文采用三次非線性函數描述的磁控憶阻:

2 磁控型憶阻器基本模型

2.1 連續型磁控憶阻模型

磁控憶阻的基本模型可定義為[3]:

式中:i(t)為憶阻電流;u(t)為憶阻電壓;φ(t)為磁通量;k為常數。由式(7)第二個方程得:

取雙極性周期信號u(t)=Asin(ωt),參數a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;繪制不同頻率ω(如圖1(a))和不同振幅A(如圖1(b))的憶阻器u(t)-i(t)曲線,如圖1 所示。

從圖1(a)可以看出,收縮的磁滯回線隨頻率ω的增大而收縮,當頻率ω增加到20 時,緊磁滯回線收縮為一個單值函數;從圖1(b)可以看出,收縮的磁滯回線以不同振幅A保持在原點收縮。顯然,該模型滿足憶阻器的三個特征。

圖1 連續憶阻器的緊磁滯回線Fig.1 Pinched hysteresis loops of the continuous memristor

2.2 離散磁控型憶阻模型

以相同時間間隔τ進行取值,磁控憶阻基本模型式(7)可離散化為:

式中,Δφ(tn)=φ(tn+1)-φ(tn)。這里采用向前差分格式,取c=kτ,由式(10)中第二個方程可得:

則

式中,φ(t0)為初始條件,對應憶導W[φ(t0)]。

類似于連續型憶阻模型,同樣取雙極性周期信號u(tn)=Asin(ωtn),參數a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;繪制不同頻率ω(如圖2(a))和不同振幅A(如圖2(b))的憶阻器u(tn)-i(tn)曲線,如圖2 所示。從圖2(a)可以看出,收縮的磁滯回線隨頻率ω的增大而收縮,當頻率ω增加到20 時,緊磁滯回線收縮為一個單值函數;從圖2(b)可以看出,收縮的磁滯回線以不同振幅A保持在原點收縮。顯然,該離散模型同樣滿足憶阻器的三個特征。

圖2 離散憶阻器的緊磁滯回線Fig.2 Pinched hysteresis loops of the discrete memristor

3 離散分數階磁控憶阻模型

3.1 離散分數階微積分

這里,首先介紹分數階差分與和分的相關概念。

考慮階乘多項式:

式中:Γ(·)為Gamma 函數,Γ(z)=zΓ(z),Γ(n+1)=n!。

對n進行擴展,則有:

定義前向差分Δf(t)=f(t+1)-f(t),離散時間尺度Na={a,a+1,a+2,…},a∈R。

定義1 設函數u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則α階和分定義為:

定義2 設函數u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則Caputo 型α階差分定義為:

式中:n=[α] +1。

引理1 設函數u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則Caputo 型分數階差分方程為:

利用預估-校正算法,與式(17)等價的Volterra 和分方程為:

3.2 離散分數階磁控憶阻模型

設Nt0={t0,t0+1,t0+2,…},t0∈R,t0=t0+nτ(n=1,2,3,…),則式(7)所對應的離散化分數階模型為:

根據引理1:

取j=s-(m-α),則:

當0＜α＜1 時,

當α=1 時,式(22)等價于:

同樣取雙極性周期信號u(tn)=Asin(ωtn),參數a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;分別取不同階次α=0.9,0.8,0.85 下不同頻率ω(如圖3(a)),不同振幅A(如圖3(b)),不同頻率ω與振幅A(如圖3(c))及相同頻率ω和振幅A下的不同階次α=0.95,0.85,0.75,0.65(如圖3(d)),繪制出u(tn)-i(tn)曲線,如圖3 所示。

圖3 離散分數階憶阻器的緊磁滯回線Fig.3 Pinched hysteresis loops of the discrete fracmemristor

采用控制變量法,分析了不同階次下不同頻率和振幅對u(tn)-i(tn)關系的影響。顯然,分數階模型同樣滿足憶阻器的三個特性,但不同的是,由圖3(d)可以看出,不同階次的u(tn)-i(tn)圖像,緊磁滯回線旁瓣面積隨著階次的降低而減小,直至近似收縮為一條直線。

3.3 離散分數階模型分析

對比式(22)和式(23),分數階差分方程與整數階差分方程的解在形式上的區別是由每一步的迭代權重系數Γ(n-j+α)/Γ(n-j+1)及平均迭代系數1/Γ(α)引起的。分別取輸入電壓u(tn)=sin(tn)和u(tn)=1,初值t0=0.01,φ0=0.1,對比不同階次α=1,0.9,0.8,0.7,0.6 時的tn-φ(tn)曲線,如圖4 所示。從圖4 可以看出,隨著階次的減小,φ(tn)的值呈現出減小趨勢,這表明分數階次模型的記憶效應使得分數階模型在運算過程中占有相對較小的內存。

圖4 不同階次下記憶權重系數曲線Fig.4 Memory weight coefficient curves at different orders

4 離散分數階憶阻模型

通過對比發現,整數階模型是分數階模型的特殊形式,因此,分數階模型更具有一般性。下面給出憶阻模型離散分數階化的分析步驟:

(1)將憶阻模型按時間進行離散化,用分數階差分算子代替整數階微分算子,得到離散分數階憶阻模型;

(2)設定初值,利用分數階差分方程的求解方法求解離散分數階憶阻模型;

(3)調整參數,使其具有憶阻特性。

廣義憶阻器數學模型:

當x(t)、y(t)、z(t)分別為電流i(t)、電壓u(t)和電荷q(t)時,式(24)為荷控型憶阻器;當x(t)、y(t)、z(t)分別為電壓u(t)、電流i(t)和磁通φ(t)時,式(24)為荷控型憶阻器。

取初始時刻為t0,時間間隔為τ,分數階差分算子代替整數階微分算子,得到式(24)所對應的離散分數階模型為:

其中分數階次0＜α≤1。根據分數階差分定義,當α＞1 時,先求[α]階差分,接下來與分數階次0＜α≤1時分析方法一致。

根據式(19)和式(22),由式(25)第二個方程可得:

以荷控型憶阻器為例,給定初值t0與時間間隔τ即可得到tj=t0+jτ(j=1,2,…,n)。給定輸入電流和電荷量的時間序列x(tj)和z(tj),通過式(26)即可得到z(tn),代入式(25)第一個方程可以得到模型的u-i關系,通過調節參數,使模型(25)滿足憶阻特征。

5 在Logistic 映射中的應用

隨著非線性科學的興起,對混沌的研究逐漸成為一個富有挑戰性的課題。由于混沌信號的隨機性、不可預測性及較為復雜的特性,使其在自然科學領域有著廣泛的應用。常見的Logistic 映射是混沌系統中較為簡單的混沌映射,它的形式為:

式中:x(n+1)和x(n)為混沌序列值;k為混沌控制參數。

當0＜k＜3 時,迭代結果是一個確定值,趨于一個不動點,這相當于一個穩定態;當3 ＜k＜3.449 時,x(n)在兩個值之間往復跳躍;當3.449 ＜k＜3.544,x(n)在四個值之間往復跳躍,系統在此過程中發生了倍周期分岔;當3.5699＜k＜4 時,系統進入混沌狀態,此時系統會產生偽隨機序列。

雖然Logistic 映射具有良好的混沌特性,但該系統結構略為簡單。隨著大數據時代的到來,信息安全成為了一個不容忽視的問題。密碼學是信息安全的核心學科,主要解決信息傳輸、存儲過程中的安全問題。目前,常見的信息加密算法重點關注加密系統中隨機序列的生成方式,在信息加密策略中,隨機序列的生成方式大部分基于混沌系統。由于加密系統的安全性強烈依賴于混沌系統的復雜性,因此,在基于混沌序列的信息加密算法中,混沌映射的構造顯得尤為重要。本文基于離散分數階憶阻模型,提出了一種分數階憶阻Logistic 映射,該映射定義為:

式中:W[φ(n)]=p+q[φ(n)]2為磁控憶阻器;φ(n)為電磁信號序列。根據離散分數階微積分定義:

當0＜α≤1 時,

當φ0=0.2,y0=0.1,p=1.3,q=0.3 時,分別取:μ=3.856,階次α=0.8,0.65,0.5;μ=3.941,階次α=0.8,0.65,0.5,得到分數階憶阻Logistic 映射序列如圖5 所示。

圖5 分數階憶阻Logistic 映射序列圖Fig.5 Sequence diagram of fractional-order memristor Logistic mapping

從混沌映射的定義式及圖像可以看出該映射較Logistic 映射具有更強的復雜性,能夠在不同階次生成偽隨機序列,并且在混沌映射系數μ=0.856,階次α=0.5 時表現出了多穩定性的特征。在混沌系數μ=0.941 時,隨著階次的降低,混沌范圍有增大的趨勢。

6 結論

本文通過引入分數階差分概念,研究了一類三次非線性磁控型憶阻模型,對給定輸入電壓u(t)=Asin(ωt)進行離散化,通過調節參數,用MATLAB 進行數值仿真,結果表明該離散分數階模型具有憶阻特性。根據分數階差分方程解的形式可以看出,整數階模型是分數階模型的特殊形式,因此,分數階模型更具有一般性。最后,給出離散分數階憶阻模型的分析方法,對于離散模型,輸入電壓或電流可以不是電壓或電流函數,而是電壓或電流的時間序列。因此,該模型在不同領域中具有廣泛的應用,例如,非線性混沌映射、神經網絡及憶阻混沌電路等。