一道數學競賽題的推廣

蔡少毅 鄭雪靜

1 問題提出

不少學者致力于對數學競賽題的推廣與研究得到了豐碩的成果，參見文[1-6].以下從2011年世界少年奧林匹克數學競賽（中國區）選拔賽全國總決賽五年級的一道試題為例展開討論：在1-100的100個數中取出兩個不同數相加，使其和是3的倍數，問有多少種不同取法？

解在1，2，3，…，100這100個數中，模3的余數為0，1，2的依次有33，34，33個.

①在余數為0的33個數中任意取2個，兩數

②在余數為1的34個數中任意1個，在余數為2的33個數中任意1個，兩數相加是3的倍數的有34x33 =1122種取法.

從而，從100個數任意取2個，兩數相加是3的倍數的共有528+1122 =1650種取法.1650.由此，猜想該問題的答案是否是在所有數中取出不同的兩數的組合數的三分之一.但我們很快發現：在1，2，3，…，50這50個數中取出不同的兩數，要使取出的兩數相加的結果是3的倍數有409種取法.而這50個數中取出不同的兩數的組合數為1225，其三分之一顯然不是409.可見問題的答案未必是所有數中取出不同的兩數的組合數的三分之一.因此我們對該問題作進一步的探究，得到以下結論：

（1）當1，2，3，，，.，n時的結果

證明 只需求從余數為O的數中任取2個數相加，或者從余數為1的數中任取1個數，再從余數為2的數中任取1個數相加的所有取法，即為所求.

參考文獻

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