善用對比概括 發展高階思維

◎衡華麗(南京市江寧上坊新城小學，江蘇 南京 210000)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出：數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感態度與價值觀等方面的發展.日常教學中，努力提升學生的思維品質仍然是小學數學教學的核心任務.

一、深度學習與高階思維

深度學習是有意的理解性學習.根據知識的內在關聯和有意加工，將知識串聯成線，并聯成網.全身心投入感知并參與學習的過程，能夠實現知識的遷移和運用.小學生數學學習的過程是有意建構、完善、內化自己知識體系的過程.

數學思維分為記憶、理解、運用、分析、評價和創造.其中“記憶、理解和運用”是低階思維，“分析、評價和創造”是高階思維.高階思維是發生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次上的認知能力，包含批判性思維、決策思維、創新性思維、分析思維、實踐思維、系統思維、問題求解能力等.高階思維具有深刻、綜合、靈活等特征.“學起于思，思源于疑.”高階思維是高階能力的核心，從具象到抽象，從低階到高階是思維發展的重要途徑.培養高階思維是小學數學課堂教學目標的核心.

二、“對比”“概括”的內涵詮釋

“對比”：異與同相生.對比是把兩個相反、相對的事物或某一類事物相反、相對的兩個方面放在一起，用比較的方法加以描述或說明.運用對比方法，能把相同點和不同點進行對照，直逼數學本質.

“概括”：直觀至抽象.“概括”一詞在字典中有兩個義項，其一是指“把事物的共同特點歸結在一起”，其二是指“簡明扼要”.作為一種思維方法，概括是“在思想中從某類事物的個別、少數對象具有某種屬性，推廣到某類事物的全體對象都具有這種屬性”.所以概括是形成普遍性認識的一種思維方法.

“對比”和“概括”在數學教學中如影隨形.例如，在教學加法交換律和加法結合律中，學生通過觀察發現不同類型的兩個數相加的結果可以用等式表示，再通過對比不同的算式找出其相同點，繼而運用不完全歸納法概括出加法交換律和加法結合律的數學表達式.通常“對比”在前，是為了發現相同點和不同點，“概括”在后，是為了去除表象和非本質屬性，直達數學知識本質.

三、探尋數學課堂教學中高階思維培養的路徑

如今的數學課教學基本遵循生活原型、活動創造、總結特征、練習鞏固等過程.小組合作、創造性活動充斥課堂，然而，不足的一點是教師雖設計了任務、活動，但小組合作和創造性活動卻僅停留在程序化的匯報、交流、展示、核對正誤的低級層面，這樣的活動是不利于學生有意建構深度學習，不利于學生形成高階思維的.除卻上述步驟，教學時教師作為“組織者、引導者、合作者”更應該引導學生深入活動，在匯報中即時對比、抽象、概括，繼而帶領學生潛入數學的核心之處.

(一)以境生思——激活高階思維意識

1.借力已有經驗，制造表達與經驗之沖突

“數學源于生活，又應用于生活.”數學本質往往藏在生活中直觀物體的表象之下，學生的經驗不足以突破這一點，此時，不妨借力已有經驗，服務教學.以“角的初步認識”為例，學生對“角”的認知不是一張白紙，眼角的“角”、墻角的“角”，三角形中的“角”都是學生的已有經驗.物中的“角”和形中的“角”既有聯系又有區別.

(出示被遮住的圓；圓露出一半)

師：猜猜看，老師手里拿的可能是什么圖形？

生：上面是彎彎的，所以是圓.

(出示被遮住的三角形；三角形露出一角)

師：猜猜這又是什么圖形？

生：我猜是三角形，因為有一個角.(板書：角)

師：思維敏捷，表達也很清楚.三角形的角在哪兒呢？誰來指指看.

(生上臺指出角的頂點)

師：老師把你們說的“角”畫在了黑板上，這是角嗎？

生：不是，這是3個點.

師：誰再來指一指角在哪兒？(生規范地指出兩條邊和頂點)老師幫你把角描下來，留在黑板上的是角嗎？

生：是角，角有兩條直直的線.

……

學生憑借生活經驗會說物體上“尖尖的”部分是角，其實就是凸起的那一“點”.這只是數學上角的一部分，因此這一“點”是學生正確理解“角”概念的難點.教師不妨“將錯就錯”，直接讓學生在準備好的三角形硬紙上指出心中的“角”.此時學生會“點”出三處凸起的地方，教師將學生指的“角”畫在黑板上.拿下三角形后，黑板上留下的只有三個“點”，此時學生的已有經驗和表達產生沖突，如何清楚地指出數學上的“角”？教師順勢在三角板上進行示范，學生在原有的知識經驗下迅速理解數學上“角”的含義，如醍醐灌頂.

2.借助視覺表象，構建直觀與抽象之模型

“對比”也可以在情境體驗中進行，當學生置身于真實情境體驗時，思維是最活躍的.也是最容易進行表象的提取和運用的.以“認識線段”為例：

師：孩子們，老師這兒只有一根繩子，你們能玩出兩種游戲嗎？想玩什么？

生：拔河、跳繩.

師：滿足你們.(出示活動要求)

游戲攻略：

(1)真人體驗：同桌兩人選擇合適的活動場地(可以離開座位)現場拔河、跳繩，體驗結束后立刻回座位.

(2)腦力比拼：把兩次活動中繩子的樣子分別畫下來.

(師展示3幅作品)

師：玩游戲時還能用心觀察，老師為你們點贊.這么多線，你們要怎么分類呢？

生：直的一類，彎的一類.

師：從哪兒到哪兒是直的？

(生伸手指)

師：一根繩子怎么會有時彎，有時直呢？

生：用力拉時就是直的，松的時候就彎了.

師：在哪兒用力拉呢？

生：在兩頭.

師：數學上用一根短短的小豎線來表示，稱作端點.

……

數學不應脫離生活，而應時刻在生活的每一處閃光.課前思考時，筆者在觀看拔河視頻和學生真實情境體驗兩者間猶豫不決，思及學生作為旁觀者觀看視頻未必能調動學生的積極參與性，不利于經驗的完整提取.同時個人的跳繩體驗不能代替所有人的感受，因此最終采取全員參與跳繩的體驗活動.學生通過跳繩和拔河的活動體驗，情緒高漲，每個人都在腦海里建構出了線的直觀表象，有直有彎，都能在對比中發現線段的本質屬性，建立數學模型.

(二)以拓引思 ——提升高階思維能力

1.適時拓展，讓知識在創意中精彩

教學中的“行”不是為了“秀”而做，而應致力于學生數學思維的進階，直逼數學本質.創造的目的是什么？創造的目的不僅僅是為了造，而是為了去掉物之后還原本質.仍以“角的初步認識”為例：組內做角時是根據角的特征做角，去掉實物后做出的痕跡依然滿足角的特征，所以做成的才是一個角.做成后不符合角的特征，說明不是角.

在“創造角”的活動中：

(1)出示活動要求

①每人選擇一種感興趣的材料創造角.

②把你創造的角畫在“橙子”上.

③比一比哪個小組的方法多.

小組材料：兩根紅色小棒(兩頭有磁鐵)，一根毛線，一張圓形紙片，一根塑料吸管.

(2)展示匯報，對比概括

階段一：展示匯報

生1：我把圓片對折再對折，可以有一個角，繼續對折，還是角.畫出來的角是這樣的.

生2：我和萱萱合作，把毛線拉直，這樣就做出了一個角.頂點在這里，這是角的兩條邊.

生3：吸管對折就創造出了一個角.這是角的頂點，這是角的兩條邊.

生4：把兩個小棒的一頭放在一起就做出了一個角.這是角的頂點，這是角的兩條邊.

生5：我有補充，我把圓折成三角形，就會出現三個角.

……

階段二：對比概括

師：瞧，通過對折，圓片由無角變為有角；用力一拉，彎彎的毛線變成了直直的邊；通過對折，吸管變出了一個頂點；兩根小棒一端重合，就形成了一個角.我們用不同的材料做出了不同的角.仔細觀察黑板上大家創造出的角，你們發現了什么相同點？

生：不管是什么物體上的角，畫下來都有一個頂點，兩條邊.

生：所有的角必須都有一個頂點和兩條邊，否則就不是角.

……

“創造角”活動材料豐富，匯報時學生展示了很多不同形狀的角.可是課堂上總感覺缺少了點“數學味”.究其原因，在認識角時，教師更側重于概念的記憶；尋找角時，缺少特征歸納；創造角時，只有展示、匯報、核對，缺乏對比、發現、質疑和概括，僅停留在“形”而忽略了“意”.由于材料和時間的限制，組內活動時各做各的，互相間不溝通，缺少組內成員概括特點的環節.這時需要教師創設環節讓學生的思考留下痕跡：將學生用圓片做成的角，描下來，看一看，是不是一個角？用吸管做的呢？據此學生就會標出頂點、兩條邊，即角的特征.

2.討論鑒別，讓知識在比較中凸顯

數學教學中的活動探究應該提供給學生所有材料，教師需要引導學生在活動中留下學習的痕跡，并適時展開討論交流，在對比、發現、質疑、概括中使學生的數學思維有“跡”可循.例如，在“角”的大小比較中：

層次一：邊長固定

師：看，這是做成的一個角，誰來做一個和它一樣大的角？

(生演示兩條邊重合)

師：誰來做一個比它大的角？

(生演示移動一條邊)

師：誰再來做一個比它小的角？有什么秘訣？

生：頂點合在一起，一條邊重合起來，另外一條邊在原角對應邊的里面就行.

師：看來角有大有小.兩條邊叉開得越大，角就越……，叉開得越小，角就越……

層次二：邊長變化

師：(出示一個長邊的綠色角)比一比，現在哪個角大呢？在小組里說說自己的想法.

生1：我覺得綠色角大，因為綠色角的邊比紅色角的邊長.

生2：紅色角比綠色角大.(生上臺移動紅色角和綠色角使其一邊重合)你看，用剛才的方法，這樣一邊重合在一起，紅色角的另外一條邊在綠色角的外面.

生3：(點頭)是的，紅色角叉開得大，紅色角就大.

師：看來，角的大小和什么有關？

生：角的大小和兩條邊叉開的大小有關.叉開得越大，角就越大；叉開得越小，角就越小.

師：邊的長短對角的大小有影響嗎？

生：沒有影響.

數學概念有的抽象于現實實物，例如“線段”；有的和生活經驗產生“沖突”，例如“角”；有的是其他概念的“特例”，例如“周期”.

“簡單的周期”一課中，教材中呈現了彩旗、彩燈、盆花；教師教學時提出如下問題：“盆花、彩旗、彩燈的擺放有什么共同點？”學生可能會說：盆花、彩燈和彩旗的排列都有規律；彩旗是按紅紅、黃黃、紅紅、黃黃2面為一組依次排列的.對此大部分教師會引導學生觀察盆花、彩燈的依次重復規律，引導學生發現兩面為一組并不合適，即和盆花、彩燈出現的規律不符.事實上，學生對此心里是有疑惑的.對此，筆者覺得可以通過以下三個層次明晰周期內涵，層次一：發現三排物體的擺放規律，層次二：討論三排物體的擺放規律.層次三：排列的順序有什么共同點.教師應以此引導學生明確彩旗按兩面一組排列是曾經學過的間隔排列規律，進而幫助學生明確周期和規律的包含關系.

(三)以辨凝思 —— 優化高階思維品質

1.溫故知新，拓寬概念外延

“溫故而知新，可以為師矣！”數學知識的學習盤根錯節，呈螺旋式上升.新知的學習必須建立在舊知上，但于舊知又有進階.知識體系的擴容依賴于新舊知識的對比，并在對比中明確新知的方向.

以“認識一個整體的幾分之一”為例.

生1：都是雙數.

小組交流、匯報.

師：這節課我們一起再來學一學幾分之一.

小學階段分數的認識主要經歷了“一個物體的幾分之一”“一個整體的幾分之一”和“分數的意義”三個過程.教師在教學時應分別關注“一個物體”“一個整體”和單位“1”，從無形的“圈”、有形的“圈”到隱形的“圈”.教學新知要承上啟下，關注知識的“前世”與“今生”.倘若教師在教學新知時只是一味地關注于當下而不回顧舊知，放眼知識的走向，那么教學的重心將有失偏頗.

再如，在“7的乘法口訣”教學中，學生已經積累了一定的口訣編制經驗，教學時教師不妨放手讓學生自主表示“三七二十一”這一句口訣的意思.學生會選擇畫直觀圖、方陣圖，列連加算式、乘法算式甚至乘加算式.教師對此可要求學生對不同表征進行匯報時不能僅停留在展示核對的層面，還應進行深入對比、質疑、分析、概括，溝通口訣、意義、算式間的聯系，體會“一圖兩式”的簡潔，理解連加算式輔助乘法算式計算的作用，為“編口訣”指名研究路徑.

2.由此及彼，拓寬知識網絡

建構主義理論指出：知識的學習是學生有意識地主動建構.知識建構不是線性的，而是網狀的.每個節點之間都有著千絲萬縷的聯系.有意識地進行知識的延伸和對比，有利于學生拓展數學思維，拓寬知識網絡.

在“創造線段”時，學生會想到“畫”“折”“撕”等創造方法，這時教師可出示臺球桌、臺球等實物圖片引導學生思考：能不能用臺球做一條線段呢？基于生活經驗和思維的進階，學生會想到球沿直線滾動就會形成一條線.

再如，學生所說的“邊”和我們數學上所表述的邊并不完全吻合，教師此時應及時追問：“你說的邊有什么特點？”學生概括出“邊”的特點：直直的.教師可借此引導學生將尖尖的地方和直直的地點和邊相關聯，學生得出點和“尖”有關，邊和“直”有關，頂點和邊組成了角.學生有了結論性的知識，但并不一定懂得其中的道理，教師需要解釋其中的數學本質，以將學生的經驗上升到數學意義上的角，將物體上的角升華到數學意義上的角，體現了知識的自然生長.

學生已有經驗和思維水平的不同導致在解決問題的過程中會暴露出思維方式的多樣性和差異性.有了交流，便會讓這種多樣和差異成為不同層次學生積累思維經驗的重要資源.數學課堂中時時刻刻都能聽到學生思維拔節生長的聲音.故當下，亟須教師做的是給學生多樣的學習材料，讓學生經歷、體驗，借助非本質的模型豐富表征，在交流時多運用對比、概括方式，去“偽”存“真”.唯如此方能直達數學核心，發展學生高階思維！